李家枝

【摘要】文章闡述了化歸思想的應(yīng)用要素及方法，并分別具體探討了化歸思想在初中數(shù)學(xué)一元一次方程中的應(yīng)用、在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用、在幾何數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用等。初中數(shù)學(xué)老師在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分運(yùn)用化歸思想，能夠幫助學(xué)生將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變成簡單的問題，進(jìn)而尋找到更優(yōu)的解決問題的方法。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)教學(xué);化歸思想;應(yīng)用

一、緒論

化歸思想是一種數(shù)學(xué)思想，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中最基本的一種方法。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中應(yīng)用化歸思想可以更加有效地培養(yǎng)初中生應(yīng)用知識(shí)的能力和解決問題的能力。初中數(shù)學(xué)老師可以在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中充分運(yùn)用蘊(yùn)含化歸思想的教學(xué)知識(shí)，有意識(shí)地培養(yǎng)初中生的化歸思想，將學(xué)生感到陌生的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變成熟知的數(shù)學(xué)問題，使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變成簡單的問題，進(jìn)而尋找到更優(yōu)的解決問題的方法。

二、化歸思想的應(yīng)用要素及方法

化歸思想是指“在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程當(dāng)中，將數(shù)學(xué)知識(shí)里蘊(yùn)含的各種矛盾關(guān)系積極應(yīng)用起來，使在轉(zhuǎn)化過程當(dāng)中讓問題的分析與解答變得更加規(guī)范，將需要解決的陌生問題轉(zhuǎn)換成規(guī)范化的問題內(nèi)容，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜的問題變得更加簡單的一種解決方法”[1]。而“化歸思想的規(guī)范問題”是指“已經(jīng)具備解決方案與解決措施的問題”。尤其，模式問題是規(guī)范問題當(dāng)中十分常見的一種。模式在數(shù)學(xué)思想方法中是指相關(guān)理論知識(shí)和有關(guān)研究方法的數(shù)學(xué)模型，比如數(shù)學(xué)知識(shí)中的公式、法則、定理等均屬數(shù)學(xué)模式，而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、對(duì)數(shù)學(xué)問題的研究均為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模式的過程。通常將一個(gè)問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模式，也就實(shí)現(xiàn)了問題的模式化。因此，化歸思想本質(zhì)上就是將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化得更加模式化，更加規(guī)范化。

化歸思想主要包括化歸的目標(biāo)、化歸的對(duì)象、化歸的方法三大基本要素。其中，化歸的對(duì)象主要是思考將什么樣的問題進(jìn)行化歸;化歸的目標(biāo)主要是思考化歸到哪里去;化歸的方法主要是思考怎樣進(jìn)行問題化歸[2]。比如說，運(yùn)用化歸思想去解答一元一次方程問題，其中化歸的對(duì)象就是一次方程，而一元一次方程就是需要化歸的目標(biāo)，化歸的方法就是換元。最后，在解答問題過程當(dāng)中，運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)方法與理論去分析問題，將問題轉(zhuǎn)化成規(guī)范化，也就形成了化歸思想的解題思路。

以“兔雞同籠”為案例來闡釋化歸思想：“一個(gè)籠子里共有50個(gè)頭，140只腳，問兔雞各有多少只？”首先需對(duì)該問題中的已知條件進(jìn)行化歸變形，可以變形為籠子里的雞獨(dú)腳站立、兔雙腳站立，此時(shí)問題就變成了“籠子里共有50個(gè)頭，70只腳”。其次，變形后的雞頭數(shù)量與獨(dú)腳站立的雞腳數(shù)量相等，而兔的頭與腳數(shù)量不相等，但是變形后每多一只兔則多一只腳，因此兔的數(shù)量是70-50=20，雞的數(shù)量是50-20=30。

三、化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）化歸思想在一元一次方程中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“一元一次方程”這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，該知識(shí)點(diǎn)安排了從易到難、從簡單到復(fù)雜幾道不同難度的例題。老師通過對(duì)這些不同難度的例題進(jìn)行探究講解與分析講解，使得學(xué)生逐漸了解和掌握了具體解決一元一次方程的方法。在一元一次方程教學(xué)中應(yīng)用化歸思想方法，每當(dāng)給學(xué)生講解完一個(gè)數(shù)學(xué)問題以后，老師則需立即引導(dǎo)學(xué)生通過觀察來分析下一道例題跟已經(jīng)講解過的上一道例題有哪些異同點(diǎn)，然后鼓勵(lì)學(xué)生一同來分析新的例題解法，并引導(dǎo)學(xué)生借助已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和上一道題目的分析方法來將新的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

例如，學(xué)習(xí)完上一道例題2x-2=18后，新一道例題為3x+5=5x-3。上一道例題和新一道例題不同之處在于新一道例題等式兩邊均含有常數(shù)項(xiàng)和未知項(xiàng)。為此，老師需要引導(dǎo)學(xué)生通過移項(xiàng)來將常數(shù)項(xiàng)與未知項(xiàng)進(jìn)行重新排列，然后通過合并同類項(xiàng)將問題轉(zhuǎn)化成上一道例題的類型，進(jìn)而達(dá)到讓學(xué)生應(yīng)用上一道例題的解題方法來解答新的例題的目的。

又如，在講解新例題“去括號(hào)”解一元一次方程6x +6（x-2000）=150000時(shí)，老師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)怎樣把方程中包含的括號(hào)去掉，然后轉(zhuǎn)換成上面兩道例題的解題模式即可。所以，在一元一次方程解答過程當(dāng)中運(yùn)用化歸思想方法，可以將復(fù)雜的方程式轉(zhuǎn)換成學(xué)生學(xué)過的簡單方程進(jìn)行計(jì)算。

（二）化歸思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

新一輪課程教學(xué)改革的持續(xù)深入對(duì)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提出了更高要求。為了適應(yīng)打造高效課堂的新要求，有必要積極在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中建構(gòu)數(shù)學(xué)建模意識(shí)。當(dāng)前，初中生解決問題的能力和思維能力主要通過對(duì)實(shí)際問題的解答來加以培養(yǎng)，通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題分析能力，可以幫助學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)總結(jié)歸納數(shù)學(xué)實(shí)踐問題，進(jìn)而學(xué)會(huì)通過數(shù)學(xué)模型的建立來有效解決問題。數(shù)學(xué)老師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)當(dāng)中應(yīng)用化歸思想，首先要在教學(xué)過程當(dāng)中有意識(shí)、有目的地培養(yǎng)初中生的認(rèn)知能力，只有這樣才可以在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中真正落實(shí)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和學(xué)習(xí)創(chuàng)造思維的培養(yǎng)[3]。

比如：“當(dāng)y取何值時(shí)，代數(shù)式3y-6的值等于0?！边@道題屬于一元一次方程，同學(xué)們首先需要依照數(shù)學(xué)問題的內(nèi)容列出方程式“3y-6=0”，通過移項(xiàng)變成“3y=6”。通過這樣的分析，將問題與一元一次方程的解答方法有效地聯(lián)系在一起，得出問題的解決方法。因此，數(shù)學(xué)老師在教學(xué)過程當(dāng)中應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)引導(dǎo)初中生進(jìn)行問題分析，并應(yīng)用化歸思想成功地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。

（三）化歸思想在幾何問題中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)平面幾何知識(shí)過程當(dāng)中，無論概念、定理還是公式，均需用到化歸思想。在幾何解題過程當(dāng)中需根據(jù)幾何圖形中包含的各種線段以及角度來計(jì)算出幾何圖形的面積。在解析平面幾何圖形時(shí)，十分考驗(yàn)初中生的數(shù)學(xué)思維能力，一些幾何題目甚至需借助輔助線才能完成，這個(gè)過程實(shí)際上就涉及應(yīng)用化歸思想。

比如在學(xué)習(xí)人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)關(guān)于四邊形的邊與角之間的關(guān)系時(shí)，就可以通過使用輔助線，化歸成為三角形的知識(shí)，借助三角形有關(guān)理論進(jìn)行問題解答。除此以外，針對(duì)一部分多邊形的計(jì)算問題，也可利用輔助線來化歸成為直角三角形的有關(guān)知識(shí)在進(jìn)行解答。

此外，未知問題的化歸在幾何數(shù)學(xué)問題中也有廣泛應(yīng)用。例如在人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)“梯形”知識(shí)點(diǎn)中有一道例題：“在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線相交于點(diǎn)O且相互垂直。AD=3cm，BC=5cm，求AC的長?！边@個(gè)問題的核心為梯形對(duì)角線垂直，即AC⊥BD，利用已知進(jìn)行化歸，當(dāng)梯形的對(duì)角線相互垂直時(shí)，可判斷梯形為等腰梯形，以等腰梯形對(duì)角線的交叉點(diǎn)所組成的兩個(gè)三角形為等腰三角形，即△AOD和△BOC為等腰三角形。又因?yàn)樘菪螌?duì)角線垂直，所以△AOD和△BOC為等腰直角三角形，因此BO=CO，AO=DO，又因AD=3cm，BC=5cm，所以AO2+DO2=32，CO2+BO2=52，則AC=AO+CO=4。

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳艷麗.初中數(shù)學(xué)化歸思想方法的教學(xué)策略研究[D].天津：天津師范大學(xué)，2009.

[2]林茂.化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].福建基礎(chǔ)教育研究，2014（02）：37-39.

[3]石啟亮.淺析化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2013（20）：4.