王山林　張瀚斤

中圖分類號：G633.6 ? ?文獻標(biāo)識碼：B ? ?文章編號：1009-010X（2019）29-0047-05

2019年3月22日，在石家莊市教育科學(xué)研究所組織的“素養(yǎng)指向的深度教學(xué)‘京冀名師工作室教學(xué)研討活動”中，北京11學(xué)校的張瀚斤老師作了一節(jié)示范課（人教版教材七年級下冊“三角形內(nèi)角和定理”第1課時）。筆者有幸到會觀摩學(xué)習(xí)，結(jié)合該課例作以下分析，愿與數(shù)學(xué)同仁分享。

一、回顧舊知，引發(fā)思考

1.師：請同學(xué)們說一說：你在對一個命題進行說理時，通常是怎么理清思路的？

生1：我先找到題中的已知條件，然后確定要找到的目標(biāo)，通過已知條件得知我所知道的角和線段它們之間的關(guān)系，然后一步一步推導(dǎo)出來。

師：老師能感覺到同學(xué)們對這個問題是有一定了解的，通過本節(jié)課對三角形知識的學(xué)習(xí)，我們會對這個問題有更深入的理解。

【分析】課始，并沒有采取“創(chuàng)設(shè)情境”的“時尚”做法，而是單刀直入回憶如何“說理”。根據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)引入，而不是為情境而情境。一方面抓住了本單元的重點“訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范的表達”;另一方面抓住了新知所需的基礎(chǔ)“如何思考問題”。學(xué)生要回答這個問題，就需在調(diào)用原有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，組織語言，進行歸納、表達。

2.師：我們學(xué)習(xí)了關(guān)于三角形三條邊關(guān)系的一個重要結(jié)論是什么？

生2：兩邊之和大于第三邊。

師：研究三角形可以從角和邊入手研究邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系、邊與角的關(guān)系。請你推測一下，這節(jié)課會從哪個角度研究三角形呢？

生3：從“角”的角度。

師：咱們學(xué)過從“角”的角度刻畫三角形的相關(guān)結(jié)論嗎？

生4：從角的角度劃分，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。

生5：三角形內(nèi)角和是180°。

生6：三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和。

師：真厲害，都知道后邊要學(xué)的內(nèi)容了。剛才同學(xué)們提到的確實是咱們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的，就是“三角形內(nèi)角和定理”。

【分析】讓學(xué)生去推測研究內(nèi)容，是培養(yǎng)問題意識，培養(yǎng)提出問題能力的策略。讓學(xué)生推測不僅僅是簡單的提出推測要求，而是給出了推測的基礎(chǔ)，讓學(xué)生能猜測;給出了推測的方向，使學(xué)生不亂猜測，有推測的價值，結(jié)果是本課需深入研究的問題。由推測進而思考已有相關(guān)知識儲備，已經(jīng)隱含了解決問題的一般思路，對學(xué)生起到潛移默化的作用。

3.師：在小學(xué)階段我們學(xué)過“三角形的內(nèi)角和都是180°”，回憶一下，小學(xué)是怎么說明這個結(jié)論是正確的呢？

生7：小學(xué)是把三個角剪下，并將它們的頂點重合在一起，將它們的相應(yīng)邊重合在一起，形成一個平角，這說明了三角形的內(nèi)角和是180°。（師出示圖2）

生8：用量角器量的方法。

師：很好，是不是還有折拼的方法（圖3）：

這樣折拼看起來也是一個平角。

師：有同學(xué)對原來的研究方法有什么質(zhì)疑嗎？

生9：我感覺原來都是目測的，測量有可能有誤差。

師：這確實是原來咱們在實驗階段存在的局限性，所以今天我們又拿出來，看能否從邏輯說理的角度去把這件事情證明清楚。

【分析】在回憶舊知的過程中比較、分析、反思，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識已有知識的局限性，培養(yǎng)了抽象思維能力、反思能力、質(zhì)疑精神，并達到引發(fā)對新問題探究的欲望之目的——從邏輯說理的角度去把事情證明清楚。

4.師：先看學(xué)習(xí)單第1小題：與180°相關(guān)的定理和定義有哪些？

生10：平角都是180°的角。

生11：三角形內(nèi)角和是180°。

生12：互補的兩個角的和是180°。

生13：如果兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補。

師：總結(jié)一下有這么兩條：

1.一個平角的度數(shù)是180°。

2.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補。

師：平角是180°;兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。我們的證明有沒有一個明確的方向了？

生15：找平行、同旁內(nèi)角。

師：對，平行、同旁內(nèi)角互補或平角。但是從這個圖上看既沒有平角，也沒有兩直線平行同旁內(nèi)角互補，怎么辦？

生16：作輔助線。

師：對，我們要創(chuàng)造性地去搭建一個橋梁，使得沒有平角也沒有同旁內(nèi)角互補的三角形走到我們思路的中間。

【分析】通過讓學(xué)生回憶小學(xué)階段學(xué)習(xí)過的“三角形”相關(guān)知識，并且在回憶過程中對學(xué)生進行積極地肯定，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知做好了三個方面的鋪墊：一是抓住新知的生長點回顧舊知，為新知識的學(xué)習(xí)做了知識上的鋪墊;二是通過問題思考、回答、辨析，為解決新問題做了遷移能力上的準(zhǔn)備，也是思維活動的預(yù)熱過程;三是通過回顧舊知中相關(guān)問題的順利解決，建立起學(xué)習(xí)新知的“腳手架”。以上教學(xué)內(nèi)容通過對原有知識、原有探究經(jīng)驗的提取，到引導(dǎo)歸納出“作輔助線”，真正起到了激情誘趣、引發(fā)思考的作用，引導(dǎo)學(xué)生走向深層、深刻、深度學(xué)習(xí)，打好了深度教學(xué)的基礎(chǔ)。

二、動手實踐，初探新知

1.師：在學(xué)習(xí)單第2小題下面寫一寫：怎樣說明三角形內(nèi)角和是180°。

師：我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們已經(jīng)寫出了至少一種說明方法，請你參考學(xué)習(xí)單上證明三角形內(nèi)角和定理的“量規(guī)”，給自己一個評價，看自己寫的怎么樣。然后小組之間討論一下，能否在別人的啟示下找到更多種說理的方法。

證明三角形內(nèi)角和定理的量規(guī)

【分析】在喚醒已有知識的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨立思考，動手操作，實驗驗證，嘗試說理，這充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)遷移的作用，使學(xué)生潛移默化中逐步掌握以舊知解決新問題的方法。隨后，讓學(xué)生利用“量規(guī)”自我評價，進一步將思維引向高階思維——反思、評價，學(xué)生又經(jīng)歷一次深度分析、綜合、評價的實踐過程，從低階思維走向高階思維，這是數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的提升與發(fā)展的需要。最后，小組討論交流，思維碰撞，互相啟發(fā)，重新生成。

2.師：哪個小組說一說自己是怎么解決的呢？

（3個小組的代表展示）

師：3個小組分別過A、B、C作平行線，用到

同位角、內(nèi)錯角，都是把三角形的三個角轉(zhuǎn)化到一個平角的位置。還有其它不一樣的嗎？

生17：首先作CD∥AB，根據(jù)兩直線平行，

內(nèi)錯角相等，可知∠1=∠4，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，我們可知∠2+∠3+∠4=180°，因∠1=∠4，所以∠1+∠2+∠3=180°.（見圖5）

師：他是過點C構(gòu)造了一組同旁內(nèi)角，過A呢？行不行？其實，我巡視時發(fā)現(xiàn)還有同學(xué)跟剛才這些做法都不一樣，他不過三個頂點，很有創(chuàng)造力的同學(xué)，來請這位同學(xué)展示一下！（見圖6）

師：怎么用平行線的性質(zhì)說明白這個事。

生19：平行線中同旁內(nèi)角互補，

∠2+∠6=180°，∠4+∠6=180°，

所以∠2=∠4，同理∠5=∠3，∠1=∠7.

然后由對頂角定理，說明∠8=∠5，∠9=∠4，∠7=∠10，所以2∠2+2∠3+2∠1=360°，再把這個式子除以2（見圖7）。

師：他用了兩倍的180°，把問題說明白了。我們在做平行時并不僅僅局限于過點A、點B、點C，在三角形內(nèi)部、在三角形的邊上、在三角形的外面都是可以的。我們最終的目的是構(gòu)造“平角”和“同旁內(nèi)角”，并不局限于在哪個位置。

【分析】本環(huán)節(jié)把學(xué)習(xí)的時空交給學(xué)生，讓學(xué)生充分展示探究結(jié)果，通過追問還有沒有不一樣的方法，促使學(xué)生發(fā)散思維。展示是最好的評價，給學(xué)生充分的展示機會，既突出了“訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范的表達”，鍛煉學(xué)生的語言表達能力，又引導(dǎo)學(xué)生進行嚴(yán)格的推理，培養(yǎng)了反思、質(zhì)疑、合作交流能力，深度學(xué)習(xí)成效明顯。老師抓住巡視中發(fā)現(xiàn)的具有創(chuàng)造性的特例，順應(yīng)了學(xué)生的思維，不是為突出解法多樣化或一題多解，而主觀上增加難度。將課堂生成資源作為新問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，使學(xué)生思維處在憤悱狀態(tài)，從而引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑、生成問題，并形成頓悟，進一步發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)問題解決能力。學(xué)生樂享創(chuàng)造的愉悅、成功的體驗。

三、歸納總結(jié)，升華認(rèn)知

1.師：剛才用“量規(guī)”評價達到三項示范級的同學(xué)，舉手給老師看看。

師：能達到兩項示范級的呢？下課結(jié)合“量規(guī)”看能不能把自己說理的過程再做進一步的改進！

【分析】用時不多，看似作用不大，實則是照應(yīng)了前面布置的自評環(huán)節(jié)，在充分展示、交流后學(xué)生對“量規(guī)”中的評價標(biāo)準(zhǔn)更明確、對自己的評價更準(zhǔn)確、對自己的不足更清晰，再次反思評價，找到差距，從思維發(fā)展來說，也是一次由“馳”到“張”的過程，利于學(xué)生在緊張思維后“反芻”，加深理解，捋順?biāo)悸贰！八季S之舟”暫時離開浪尖劃向相對平緩的水面。

2.師：剛才同學(xué)們給出了這么多方案，有什么共同的地方？

生20：這些證法都是用我們上個單元學(xué)的平行線的性質(zhì)求出來的。

生21：最終都是把三個角放在同一直線上，然后證明它們的和是180°。

生22：都作了輔助線。

師：都做了“平行”，“平行”的輔助線干了一件什么事？

生23：移角。

師：對，通俗易懂。就是實現(xiàn)了角的“轉(zhuǎn)移”，在“轉(zhuǎn)移”的過程中，我們實現(xiàn)了從原來什么也沒有的三角形中，找到了我們想要的“平角”、“同旁內(nèi)角”。

師：我們最初有一個三角形，我們想要證明它的三個內(nèi)角的和是180°，于是，我們開始回憶跟180°相關(guān)的結(jié)論和定義、定理，我們想到平角的定義、兩直線平行同旁內(nèi)角互補，我們清楚了“起點”和“終點”之后，于是又想到構(gòu)造平行線這種輔助線，通過角的轉(zhuǎn)移實現(xiàn)從起點走向終點的連接。

【分析】在學(xué)生思維短暫的休整后，結(jié)合學(xué)生對問題的探究、展示過程，圍繞如何構(gòu)造“輔助線”這一難點內(nèi)容，適時引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)。因有充分的展示、交流、評價基礎(chǔ)，學(xué)生的表達內(nèi)容真實、豐富、規(guī)范;有了充分的了解，深入的理解，學(xué)生產(chǎn)生了“通俗易懂”的頓悟——“移角”，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法被學(xué)生形象地表達出來時，他，真明白了。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法目標(biāo)的落實對學(xué)生認(rèn)知能力的提升會有幫助，借助于轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的滲透，課堂上思維活動又掀起一個小高潮。

3.師：回到開始的問題：你在對一個命題進行說理的時候，通常是怎么理清思路的呢？請同學(xué)們再說一說。

生24：先看我要處理的命題，然后再進行思考，從已知知識中尋找可以使用的，然后綜合地進行演繹，再構(gòu)造，最后再寫上去。

生25：可以先看已知條件，把已知條件標(biāo)在圖上。然后看問題，需要求什么，再運用已知知識構(gòu)造輔助線，然后得出。

生26：如果條件需要的話，我可能會列出關(guān)鍵知識點的一個大綱，可以列出過去的知識解決這些問題。

師：老師這樣總結(jié)合不合適：推理的關(guān)鍵是建立新命題與已有定理、定義的聯(lián)系。

師：這個聯(lián)系可能是平行線的性質(zhì)，可能是平行線的判定，可能是三角形的定理，可能是我們學(xué)過的所有的定理或性質(zhì)。

【分析】羅增儒教授指出，問題解決完成之后，信息過程并沒有結(jié)束，“解答”依然向我們輸入信息，表現(xiàn)為解題后的探究反思。所以，教師要發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、參與者、引導(dǎo)者作用，科學(xué)把握教學(xué)進程，適時安排一個必要的環(huán)節(jié)——回顧與反思，此時，“照應(yīng)”課始問題“對一個命題進行說理的時候，通常是怎么理清思路的呢？”在學(xué)生經(jīng)歷合情推理和演繹推理過程后，引導(dǎo)學(xué)生再次反思、歸納說理的一般規(guī)律。倡導(dǎo)學(xué)后反思，不僅完善了教學(xué)，而且提煉出對未來學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用的信息，突出了重點，梳理了思路，升華了思維。

四、鞏固練習(xí)，學(xué)以致用

一個三角形中兩個內(nèi)角的角平分線相交所形成的鈍角（如圖9中∠P），與第三個角有什么樣的關(guān)系？請猜想結(jié)論，并說理論證（見圖9）。