殷開(kāi)勇

摘 要：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面。本文闡述了在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和建構(gòu)能力以及在公式定理的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力等兩個(gè)方面的策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象能力;邏輯推理能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1992-7711（2019）21-017-2

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵包含了數(shù)學(xué)核心知識(shí)、核心能力與核心品質(zhì)。主要由數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析這六個(gè)方面所組成。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的最高體現(xiàn)，是學(xué)生在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷積累養(yǎng)成的。筆者現(xiàn)談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和建構(gòu)能力和數(shù)學(xué)邏輯推理能力。

一、在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和建構(gòu)能力

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)，使學(xué)生養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，更好地理解數(shù)學(xué)的概念、命題、結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力及建構(gòu)能力。

案例1 角的推廣——任意角的概念

問(wèn)題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了銳角、直角、鈍角、平角等角度，而現(xiàn)實(shí)生活有些角度是不能用這些角度來(lái)表示的，大家能舉出一些例子嗎？

學(xué)生：體操中的轉(zhuǎn)體720°、時(shí)針周而復(fù)始地旋轉(zhuǎn)等。

教師：體操中的轉(zhuǎn)體還可以分為向前轉(zhuǎn)體，向后轉(zhuǎn)體，又該如何表示這類(lèi)角度呢？

無(wú)論是現(xiàn)實(shí)生活中，還是研究需要，都需要將角度進(jìn)行推廣。

問(wèn)題2：怎樣對(duì)角的概念進(jìn)行推廣呢？

通過(guò)學(xué)生自行動(dòng)手作圖，教師動(dòng)畫(huà)演示等，發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以產(chǎn)生角，改變旋轉(zhuǎn)的方向可以改變角度的方向，超過(guò)360°的角度可以通過(guò)增加旋轉(zhuǎn)圈數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。進(jìn)而確立“旋轉(zhuǎn)”可以形成角這個(gè)認(rèn)知。

教師：旋轉(zhuǎn)方向可以是順時(shí)針?lè)较?，也可以是逆時(shí)針?lè)较?。那么，如何區(qū)分這兩種具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量呢？

學(xué)生：可以采用類(lèi)似于數(shù)可以分為正數(shù)和負(fù)數(shù)的方式來(lái)區(qū)分。

為了區(qū)分不同旋轉(zhuǎn)方向所形成的角，我們作如下規(guī)定：

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角;

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角;

如果射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，那么也可以看成是一個(gè)角，叫做零角。

教師：角的概念推廣后，它就由我們熟悉的那幾個(gè)角度推廣到了任意角，它可以是正角、負(fù)角、零角。請(qǐng)大家自己動(dòng)手作出α=390°，β=-120°。

（學(xué)生獨(dú)立作圖后互相交流、討論）

本章節(jié)的設(shè)計(jì)通過(guò)讓學(xué)生從生活中尋找與角度有關(guān)的現(xiàn)象，進(jìn)而從中抽象出角度這個(gè)概念。通過(guò)規(guī)定旋轉(zhuǎn)的方向，就可以把角度擴(kuò)展到正角、負(fù)角。后面學(xué)習(xí)了弧度制以后，角的度數(shù)就可以擴(kuò)充到全體實(shí)數(shù)，角的概念也就推廣到了任意角。從生活到數(shù)學(xué)，從具體到抽象，學(xué)生親身經(jīng)歷了“任意角”這個(gè)概念的由來(lái)，對(duì)概念的產(chǎn)生和發(fā)展有著更直觀的認(rèn)識(shí)，形成了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

案例2 “任意角的三角函數(shù)”教學(xué)案例

情境引入：周末，小王到游樂(lè)園游玩，小王坐上半徑為r的摩天輪，摩天輪繞著其中心O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為θ）假設(shè)小王的起始位置在點(diǎn)A處。隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，小王的位置在不斷變動(dòng)，如何刻畫(huà)小王在每一個(gè)瞬間的位置P呢？

（學(xué)生經(jīng)過(guò)幾分鐘思考、討論）

學(xué)生：可以以水平線為x軸，圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）來(lái)表示。

設(shè)計(jì)意圖：隨著摩天輪的旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生通過(guò)直觀想象和數(shù)學(xué)抽象，可以把摩天輪抽象為一個(gè)圓，小王所在的位置抽象為圓上的一個(gè)點(diǎn)，這樣小王隨著摩天輪的旋轉(zhuǎn)就可以抽象為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在一個(gè)圓周上的運(yùn)動(dòng)。

教師：在摩天輪旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，哪些量在發(fā)生變化？

學(xué)生：r不變，θ，x，y發(fā)生了改變。

教師：在三個(gè)改變量中，哪一個(gè)量的改變占據(jù)著主導(dǎo)地位？

學(xué)生：x，y的變化是由θ的變化引起的。

教師：那么，隨著θ的變化，r，x，y之間到底有怎樣的聯(lián)系？這種情況下我們可以采用由特殊到一般的方法來(lái)觀察θ的變化是如何影響x，y的變化。比如當(dāng)θ為一個(gè)銳角的時(shí)候？

學(xué)生：如圖，當(dāng)θ為一個(gè)銳角時(shí)，角θ的終邊在第一象限。此時(shí)可以構(gòu)建出一個(gè)直角三角形。由初中里直角三角形的邊角關(guān)系，可得：sinθ=PMOP=yr，cosθ=OMOP=xr，tanθ=PMOM=yx。

教師：很好！那么在上圖中，這幾個(gè)比值與P點(diǎn)在射線上的位置有關(guān)嗎？

學(xué)生：當(dāng)改變P點(diǎn)的位置，由相識(shí)三角形的知識(shí)可知，這三個(gè)比值保持不變，所以和P點(diǎn)的位置是無(wú)關(guān)的，只和角θ的終邊位置有關(guān)。

教師：很好！這樣我們便可以得到銳角三角函數(shù)的定義了。由前面任意角的定義可知，射線OP不僅可以表示銳角θ的終邊，也可以表示所有第一象限角的終邊，這樣一來(lái)，我們便可以把銳角三角函數(shù)的定義推廣到所有第一象限角的三角函數(shù)了。

教師：當(dāng)θ的終邊落在第二象限時(shí)，r，x，y與θ有什么關(guān)系呢？當(dāng)θ的終邊落在其它兩個(gè)象限呢？

學(xué)生：當(dāng)θ的終邊落在其它象限時(shí)，猜想yr，xr，yx也都只與θ的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在角θ的終邊上的位置無(wú)關(guān)。即恒有sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yx。

對(duì)于學(xué)生的猜想，可以借助幾何畫(huà)板予以驗(yàn)證，最終總結(jié)得出任意角θ的三角函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：引領(lǐng)學(xué)生從最熟悉的銳角出發(fā)，借助初中里所學(xué)的直角三角形中的邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“邊長(zhǎng)比”到“坐標(biāo)比”的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到三個(gè)三角函數(shù)的表達(dá)式。培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)意識(shí)和轉(zhuǎn)化思想。由于有銳角三角函數(shù)作為鋪墊，再通過(guò)幾何畫(huà)板的演示，學(xué)生可以比較順利地進(jìn)行任意角的三角函數(shù)的建構(gòu)活動(dòng)，將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的情形，培養(yǎng)學(xué)生的抽象、建構(gòu)、分析能力。

二、在公式定理的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力

數(shù)學(xué)邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過(guò)程。主要包括兩類(lèi)，一類(lèi)是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，主要有歸納、類(lèi)比;一類(lèi)是從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)也成立的推理，主要有演繹推理。邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)命題以及論證命題正確與否的重要手段，也是構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式。

案例3 輔助角公式的推導(dǎo)

在三角函數(shù)的教學(xué)中，輔助角公式是一個(gè)極其重要的公式。在課堂教學(xué)中，可通過(guò)如下問(wèn)題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

教師：利用兩角和與差的正余弦公式化簡(jiǎn)

①12sinx+32cosx。

學(xué)生：可以把12，32分別改寫(xiě)成cosπ3和sinπ3，所以12sinx+32cosx=cosπ3sinx+sinπ3cosx=sin（x+π3）。

教師：我們利用兩角和公式的逆運(yùn)算，把同一個(gè)角的兩個(gè)不同名三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成了同一個(gè)三角函數(shù)。

試化簡(jiǎn)②sinx+3cosx。

學(xué)生：觀察到②式整體是①式的兩倍，

所以sinx+3cosx=2（12sinx+32cosx）=2sin（x+π3）。

教師：很好！再試試這兩個(gè)式子：③3sinx+3cosx;④5sinx+12cosx。

學(xué)生：③式可以采用類(lèi)似②式的處理方法：3sinx+3cosx=3（3sinx+cosx）=3·2（32sinx+12cosx）=23sin（x+π6）。

④式和前面的不一樣，不能與特殊角度聯(lián)系起來(lái)。

教師：我們不妨猜測(cè)一下，如果④這個(gè)式子也能進(jìn)行類(lèi)似化簡(jiǎn)的話，會(huì)是怎樣的一個(gè)表達(dá)式？

學(xué)生：應(yīng)該也是類(lèi)似的式子：5sinx+12cosx=Asin（x+θ）。

教師：我們就假設(shè)5sinx+12cosx=Asin（x+θ）吧，將等式右邊展開(kāi)。

學(xué)生：Asin（x+θ）=Asinxcosθ+Acosxsinθ=5sinx+12cosx，

所以Acosθ=5，Asinθ=12，（Acosθ）2+（Asinθ）2=A2=52+122=169，所以A=13，cosθ=513，sinθ=1213。θ可以看作一個(gè)不是特殊角的銳角。

教師：很好！那形如Asinα+Bcosα這類(lèi)式子是否都能進(jìn)行類(lèi)似的化簡(jiǎn)呢？

學(xué)生：令A(yù)sinα+Bcosα=Csin（α+θ），將等式右邊展開(kāi)運(yùn)算可得C=A2+B2，cosθ=AA2+B2，sinθ=BA2+B2。

所以，Asinα+Bcosα=A2+B2sin（α+θ），其中cosθ=AA2+B2，sinθ=BA2+B2。

教師：我們推導(dǎo)出來(lái)的這個(gè)結(jié)論就是三角函數(shù)里一個(gè)非常重要的公式——輔助角公式。在這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了“由特殊到一般”的思維方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，注重邏輯推理能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)生理解一般結(jié)論的來(lái)龍去脈、形成舉一反三的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣和交流能力，有利于學(xué)生提高探究事物本源的能力。

三、反思與感悟

高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立，又互相交融，形成一個(gè)有機(jī)整體。對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，絕不是一蹴而就的事情。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的多種核心素養(yǎng)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]孫宏安.談直觀想象[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（11）.

[2]李剛，楊志文.例談學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，2018（05）.

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)平望中學(xué)，江蘇 蘇州215000）