吳俊英

[摘? 要] 文章以空間中平行與垂直為例，闡述微專題在復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用模式.精選例題及測試題，用微型精細(xì)化原則將有關(guān)空間的平行與垂直分割成“小切口”的6個(gè)微專題，通過例題及變式練習(xí)，落實(shí)直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，最后給出結(jié)合利用微課進(jìn)行微專題教學(xué)實(shí)踐的建議.

[關(guān)鍵詞] 微課;微專題;平行與垂直;直觀想象

■引言

立體幾何在高考考查中一般占據(jù)22分，其題型與題量一般是1個(gè)解答題，1～2個(gè)選擇題或填空題.高考中立體幾何的解答題常以棱柱或棱錐為載體，解答題一般采用分步設(shè)問的方式，常見的兩個(gè)考查熱點(diǎn)：一是定性分析，二是定量分析. 其中定性分析，文科主要是以平行、垂直的證明為主;而定量分析，文科試題主要考查表面積、體積的計(jì)算. 經(jīng)過高三一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、平面平行垂直的判定及其性質(zhì)，對空間概念有一定的基礎(chǔ). 但是，絕大多數(shù)的學(xué)生在定性分析時(shí)由于定理?xiàng)l件不清楚，推理的邏輯欠清晰，常造成“會(huì)而不全”，導(dǎo)致失分. 同時(shí)學(xué)生的抽象概括能力、空間想象能力還有待提高，轉(zhuǎn)化意識(shí)還有待加強(qiáng).

當(dāng)課堂教學(xué)完成后，微專題可以作為課后復(fù)習(xí)工具應(yīng)用. 學(xué)生在課堂上吸收的知識(shí)屬于短時(shí)記憶，需要通過及時(shí)復(fù)習(xí)加以鞏固. 微課視頻可以將課堂上教師講解過程再次回放，并可以反復(fù)播放，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)，特別是加深對重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)的認(rèn)知. 使用時(shí)應(yīng)當(dāng)提前做好微課視頻，引導(dǎo)學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)和移動(dòng)工具開展課后補(bǔ)償性學(xué)習(xí)，及時(shí)復(fù)習(xí)課堂新授知識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生抓住零散時(shí)間開展學(xué)習(xí)，進(jìn)行知識(shí)的查漏補(bǔ)缺.

■微專題設(shè)計(jì)

1. 學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)目標(biāo)分析

在點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系中，直線、平面的位置關(guān)系是中心內(nèi)容，其中直線、平面的平行與垂直尤為重要. 本微專題課擬通過學(xué)生在問題探索、應(yīng)用過程中，對空間直線、平面的平行與垂直進(jìn)行判定方法的結(jié)構(gòu)性整合，進(jìn)一步明確直線、平面的平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系. 教學(xué)重點(diǎn)是直線、平面平行與垂直的判定方法.

本專題采用問題——引導(dǎo)的模式，通過對各學(xué)習(xí)任務(wù)單問題的解決，理清空間直線、平面的平行與垂直證明之間的聯(lián)系，復(fù)習(xí)鞏固、熟練掌握空間直線、平面平行與垂直的判定方法，進(jìn)一步明確空間直線、平面平行與垂直的相互聯(lián)系. 在具體問題的探索中，整合平面平行與垂直的判定方法，從整體上掌握所學(xué)的知識(shí)并能靈活運(yùn)用.

學(xué)生已具備空間直線、平面平行與垂直判定的基本知識(shí)及較為單一的判斷方法，面對問題有一定的思維，能動(dòng)手一試，但對直線、平面平行與垂直相互之間的聯(lián)系的應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，對問題解決中知識(shí)交匯應(yīng)用和綜合歸納的意識(shí)不強(qiáng).因此確定教學(xué)難點(diǎn)為直線、平面平行與垂直的判定方法的結(jié)構(gòu)化整合.

根據(jù)以上分析，空間中的平行與垂直總計(jì)開發(fā)6個(gè)課時(shí)微專題，每節(jié)課提供以下內(nèi)容：學(xué)習(xí)任務(wù)單、微視頻（對學(xué)習(xí)任務(wù)單進(jìn)行解析）、在線微檢測.

2. 學(xué)習(xí)資源及學(xué)習(xí)測評的設(shè)計(jì)

微專題1：教學(xué)設(shè)計(jì)“線面平行的證明1——利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)化”.

第一，明確專題指向，直擊思路方法.

教師小結(jié)空間平行的證明中常見的方法.

設(shè)計(jì)意圖：開門見山，進(jìn)行方法歸納.

第二，精選典型例題，煉思路揭本質(zhì).

學(xué)習(xí)任務(wù)單（2016年高考全國Ⅲ卷，文科19題節(jié)選）：

如圖2，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).

①證明：MN∥平面PAB;

②略.

解題思路簡析：

法一（利用線線平行）：取BP的中點(diǎn)T，可證四邊形AMNT是平行四邊形，進(jìn)而得到MN∥平面PAB.

法二（利用面面平行）：取BC的中點(diǎn)Q，連接MQ，NQ，可證平面MNQ∥平面PAB，進(jìn)而得到MN∥平面PAB.

設(shè)計(jì)意圖：以高考真題吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 本題較為簡單，通過本題鞏固證明線面平行常見的兩個(gè)轉(zhuǎn)化思路.小專題微課的例題應(yīng)該具有基礎(chǔ)性、針對性、典型性和研究性. 例題的選擇必須針對重點(diǎn)內(nèi)容，鞏固“雙基”，貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，不要過于追求難度.

第三，精選變式訓(xùn)練，促進(jìn)技能形成.

在線微檢測：如圖4，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=■CD=1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖5. 求證：AM∥平面BEC.

選題分析：本題的解題思路和例題相似.

設(shè)計(jì)意圖：基本技能的掌握必須通過變式練習(xí)才可能內(nèi)化鞏固完成，練習(xí)是學(xué)生形成技能的有效途徑.利用變式訓(xùn)練可以讓學(xué)生把握問題的本質(zhì)特征和解題的核心方法，加深對問題的理解，變套路為新式，從模仿到創(chuàng)新.

第四，自主小結(jié)方法，反思領(lǐng)悟提高.

學(xué)生自主小結(jié)本節(jié)課的方法，反思內(nèi)化.

設(shè)計(jì)意圖：反思例題、訓(xùn)練題，感悟出運(yùn)用平行四邊形轉(zhuǎn)換證明平行的方法是解題的要領(lǐng)和注意事項(xiàng)，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)更明確到位.

微專題2：教學(xué)設(shè)計(jì)“線面平行的證明2——逆用平行線分線段成比例定理”.

第一，明確專題指向，直擊思路方法.

第二，精選典型例題，煉思路揭本質(zhì).

學(xué)習(xí)任務(wù)單（2017年3月福州市質(zhì)檢節(jié)選）：

如圖6，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB于A. 將△PAD沿AD折起，構(gòu)成如圖7所示的四棱錐P-ABCD，點(diǎn)M在棱PB上，且PM=■MB.

①求證：PD∥平面MAC;

②略.

解題思路簡析：逆用“平行線分線段成比例定理”（利用線線平行）：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OM，可證得PD∥OM，進(jìn)而得到PD∥平面MAC.

第三，精選變式訓(xùn)練，促進(jìn)技能形成.

在線微檢測：如圖8，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，點(diǎn)E在棱PD上，且PE=2ED.求證：PB∥平面AEC.

選題分析：本題的解題思路和例題相似.

第四，自主小結(jié)方法，反思領(lǐng)悟提高.

微專題3：教學(xué)設(shè)計(jì)“線面平行的證明3——利用三角形的中位線”.

第一，明確專題指向，直擊思路方法.

第二，精選典型例題，煉思路揭本質(zhì).

學(xué)習(xí)任務(wù)單（2018年高考全國Ⅲ卷，文科19題節(jié)選）：

如圖9，矩形ABCD所在平面與半圓弧■所在平面垂直，M是■上異于C，D的點(diǎn).

①略;

②在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說明理由.

解題思路簡析：利用三角形的中位線進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化：當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD.

第三，精選變式訓(xùn)練，促進(jìn)技能形成.

在線微檢測（2016年高考四川卷，理科18題節(jié)選）：

如圖10，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=■AD，E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°.

①在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由;

②略.

解題思路簡析：在梯形ABCD中，AB與CD不平行. 延長AB，DC，相交于點(diǎn)M（M∈平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn). （說明：延長AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，可證得平面PBE∥平面DMN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）.

第四，自主小結(jié)方法，反思領(lǐng)悟提高.

設(shè)計(jì)說明：可以發(fā)現(xiàn)利用線線平行證明線面平行是其中的關(guān)鍵題型，而平面中證明線線平行的常用方法有：利用平行四邊形的性質(zhì)（微專題1），逆用“平行線分線段成比例定理”（微專題2），利用“中位線定理”（微專題3），其中微專題1和微專題3也可以先證明面面平行得到線面平行.這三個(gè)專題的難度逐漸遞增，供不同情況的學(xué)生自主選擇用于課后鞏固，在題目的選擇上，盡量選擇高考題引起學(xué)生重視.

微專題4：教學(xué)設(shè)計(jì)“垂直的轉(zhuǎn)化”.

第一，明確專題指向，直擊思路方法.

第二，精選典型例題，煉思路揭本質(zhì).

學(xué)習(xí)任務(wù)單（2017年全國高考Ⅰ卷，文科18題）：

如圖12，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

①證明：平面PAB⊥平面PAD;

②若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱錐P-ABCD的體積為■，求該四棱錐的側(cè)面積.

解題思路簡析：①由條件得AB⊥PD，AB⊥PA，從而AB⊥平面PAD，進(jìn)而得到平面PAB⊥平面PAD.

②在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E. 由①知，AB⊥平面⊥PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD. 可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為6+2■.

第三，精選變式訓(xùn)練，促進(jìn)技能形成.

在線微檢測（2015年全國高考Ⅰ卷，文科18題）：

如圖14，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.

①證明：平面AEC⊥平面BED;

②若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為■，求該三棱錐的側(cè)面積.

解題思路簡析：①先證AC⊥平面BED，再得到平面AEC⊥平面BED. ②三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2■.

第四，自主小結(jié)方法，反思領(lǐng)悟提高.

微專題5：教學(xué)設(shè)計(jì)“垂直的證明”.

第一，明確專題指向，直擊思路方法.

第二，精選典型例題，煉思路揭本質(zhì).

學(xué)習(xí)任務(wù)單（2014年全國高考Ⅰ卷，文科19題）：

如圖15，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C.

①證明：B1C⊥AB;

②若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，求三棱柱ABC-A1B1C1的高.

解題思路簡析：①先證B1C⊥平面ABO，再得到B1C⊥AB.②三棱柱ABC-A1B1C1的高為■.

第三，精選變式訓(xùn)練，促進(jìn)技能形成.

在線微檢測（2013年高考全國Ⅰ卷，文科19題）：

如圖16，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

①證明：AB⊥A1C;

②若AB=CB=2，A1C=■，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

解題思路簡析：①取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，先證AB⊥平面OA1C，再得到AB⊥A1C. ②先證OA1⊥平面ABC，所以O(shè)A1為棱柱ABC-A1B1C1的高，又△ABC的面積S△ABC=■，所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC×OA1=3.

第四，自主小結(jié)方法，反思領(lǐng)悟提高.

微專題6：教學(xué)設(shè)計(jì)“垂直的綜合應(yīng)用”.

第一，明確專題指向，直擊思路方法.

第二，精選典型例題，煉思路揭本質(zhì).

學(xué)習(xí)任務(wù)單（2016年全國卷Ⅰ，文科18題）：

如圖17，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.

①證明：G是AB的中點(diǎn);

②在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.

解題思路簡析：①利用線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化以及等腰三角形“三線合一”證明. ②V=■.

第三，精選變式訓(xùn)練，促進(jìn)技能形成.

在線微檢測（2018年高考全國卷Ⅱ，文科19題）：

如圖19，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2■，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).

①證明：PO⊥平面ABC;

②若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.

解題思路簡析：①連接OB，先證OP⊥OB，又OP⊥AC，再推出PO⊥平面ABC.②點(diǎn)C到平面POM的距離為■.

第四，自主小結(jié)方法，反思領(lǐng)悟提高.

設(shè)計(jì)說明：本設(shè)計(jì)從學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)出發(fā)，以學(xué)生為中心，精選例題及測試題，用微型精細(xì)化原則將有關(guān)空間的平行與垂直分割成“小切口”的6個(gè)微專題，每個(gè)微專題解決一個(gè)問題，每節(jié)課充分考慮學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，適度適量鞏固已有知識(shí)和方法.

■微專題開發(fā)

微專題開發(fā)中的微課視頻制作是一個(gè)系統(tǒng)工作，一般從以下幾個(gè)環(huán)節(jié)逐步展開：確定學(xué)習(xí)內(nèi)容——撰寫教學(xué)設(shè)計(jì)——制作PPT——錄制微課視頻——優(yōu)化微課視頻——開發(fā)配套資源——上傳和管理微課視頻. 其中微課視頻制作是微專題開發(fā)的重要環(huán)節(jié)，本研究用Camtasia Studio軟件錄制微課視頻. Camtasia Studio是一種專業(yè)視頻錄制和編輯軟件，錄制完視頻可以基于時(shí)間軸進(jìn)行編輯，如字幕、貼標(biāo)簽、畫中畫、媒體庫、特效場景變化、畫外音和主題編輯等，支持多種源文件格式及輸出格式，使用方便，簡單易懂. 錄制微課視頻時(shí)，Camtasia Studio會(huì)一起錄制所選定的屏幕畫面和講授者的聲音.錄制視頻中教師可充分利用信息技術(shù)分析題目，比如借助幾何圖霸動(dòng)態(tài)展示變化過程.

微課視頻制作完成后可發(fā)布在公共學(xué)習(xí)平臺(tái)如班級QQ群或微信公眾號上，由學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)，再收集學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行評價(jià)和反饋優(yōu)化微專題資源.

■微專題教學(xué)實(shí)施建議

（1）考慮到學(xué)生的直觀想象水平不一，作為課外學(xué)習(xí)的一種方法就是制作合適的微課以供學(xué)生自學(xué)鞏固.通過動(dòng)態(tài)的形式給學(xué)生展示圖形的變化，演示各種截面、各種展開圖、不同觀察角度的動(dòng)畫. 在初學(xué)階段可以多借助實(shí)物觀察去體會(huì)，初步培養(yǎng)學(xué)生的空間感覺;后續(xù)階段主要是引導(dǎo)學(xué)生通過解決空間位置關(guān)系的證明以及根據(jù)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化解決一些空間角、空間距離、空間最值等問題. 在大量的自身體驗(yàn)之后獲得經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展直觀想象素養(yǎng). 針對比較復(fù)雜的綜合性問題，可采取分層次的方式逐一突破，化整為零;也可細(xì)分為某一些微專題，再整合成一個(gè)整體. 因此教師可以利用微專題為學(xué)生鋪設(shè)臺(tái)階逐步提升直觀想象素養(yǎng).

（2）加強(qiáng)現(xiàn)代教育技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的融合. 利用信息技術(shù)多媒體輔助教學(xué)，比如幾何畫板、幾何圖霸、希沃白板等多媒體技術(shù)演示動(dòng)圖讓學(xué)生體會(huì)空間關(guān)系. “動(dòng)則悅，靜則思”. 在立體幾何教學(xué)中可以讓學(xué)生在三維動(dòng)態(tài)中沉浸體驗(yàn)，在直觀圖注視上寧靜思考.比如空間幾何體的不同視角的動(dòng)態(tài)展示，三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)換過程，以及平面圖形的翻折與展開問題，借助信息技術(shù)動(dòng)態(tài)演示，能便捷直觀地了解圖形的特點(diǎn).

（3）微課的優(yōu)點(diǎn)是主題突出、時(shí)長較短，便于學(xué)生利用零碎時(shí)間針對自身的疑難問題進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，能夠更好地滿足學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需求，作為課堂的延續(xù)可以給課堂教學(xué)擴(kuò)容，提高學(xué)生的自學(xué)能力，實(shí)現(xiàn)效益最大化. 微課不同于文本，能從視聽角度給學(xué)生不一樣的刺激，可視，共享，儲(chǔ)存方便，借助網(wǎng)絡(luò)突破時(shí)間、空間的局限，學(xué)生可以更自由地把握學(xué)習(xí)時(shí)間，對重點(diǎn)、難點(diǎn)的問題可以反復(fù)觀看，也可以自主選擇薄弱知識(shí)或題型總結(jié)的微課反復(fù)觀看.

總之，應(yīng)合理設(shè)置微專題幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)并鞏固重點(diǎn). 積極有效地將微課的直觀和微專題的短平快、高效簡潔的特點(diǎn)結(jié)合起來，發(fā)揮二者“因微而準(zhǔn)、因微而細(xì)、因微而深”等優(yōu)勢.