許樹森

[摘? 要] 習(xí)題變式教學(xué)就是以課本例習(xí)題為指引，通過習(xí)題的變式，幫助學(xué)生富有創(chuàng)造性地思考數(shù)學(xué)問題，以達到善于解題的目的. 文章通過實例具體說明數(shù)學(xué)習(xí)題變式的方法，并提出習(xí)題變式需基于課本，卻又超越課本;需循序漸進，恰到好處地發(fā)展思維;需注重張弛有度，提升核心素養(yǎng)，進而實現(xiàn)數(shù)學(xué)習(xí)題變式教學(xué)的價值.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);習(xí)題變式;思維;核心素養(yǎng)

■問題的提出

數(shù)學(xué)是以研究規(guī)律為主旋律的一門科學(xué)，毋庸置疑，習(xí)題教學(xué)具有學(xué)科所在的規(guī)律及本質(zhì)屬性，也就是數(shù)學(xué)本質(zhì). 新課程理念倡導(dǎo)“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學(xué)”. 在習(xí)題教學(xué)中，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)就是以數(shù)學(xué)問題的本源為指引，通過習(xí)題的變式，引領(lǐng)學(xué)生共同探究數(shù)學(xué)問題的規(guī)律與根本屬性，從而幫助學(xué)生富有創(chuàng)造性地思考數(shù)學(xué)問題，以達到善于解題的目的.

查閱歷年高考試卷不難看出，近幾年高考試題源于課本卻又高于課本，也就是教材例習(xí)題的變式，那么，如何進行習(xí)題的變式成了數(shù)學(xué)教師需要研究的問題. 筆者認為，教師需精選課本例習(xí)題，以考為綱，使其審視課本習(xí)題，超越課本習(xí)題，始終圍繞教材進行變式教學(xué)，使習(xí)題教學(xué)以學(xué)引思. 這才是真正領(lǐng)悟了課本，用活了課本，真正關(guān)注到學(xué)生的思維發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

■習(xí)題變式的設(shè)計

一方面，在新課程實施中，偏重于以優(yōu)質(zhì)的教材資源培養(yǎng)創(chuàng)新能力，素材需要教師精挑細選，源于這些素材的變式教學(xué)活動具有舉足輕重的意義;另一方面，從某種程度上來說，數(shù)學(xué)習(xí)題變式教學(xué)，尤其是針對高考復(fù)習(xí)這種關(guān)鍵時期，過程需充分發(fā)揮教學(xué)“指揮棒”的功效，以滲透數(shù)學(xué)思想方法為指引，以提升思維能力和解題能力為目標，而不能游離于該體系之外.

原題1：嘗試畫出函數(shù)f（x）=x2-5x+6的圖像，并據(jù)圖像說一說函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，以及各單調(diào)區(qū)間上函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)還是減函數(shù).

方案1：條件特殊化.

所謂“條件特殊化”，就是變原題中的一般性條件為特定性條件，從而令題目更具特殊性，以達到考查特定概念的效果. 如原題進行如下變式：

變式1：嘗試畫出函數(shù)f（x）=x2-5x-6的圖像，并據(jù)圖像說一說函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，以及各單調(diào)區(qū)間上函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)還是減函數(shù).

設(shè)計意圖：數(shù)形結(jié)合加強了知識的融合度，幫助學(xué)生多角度認識和理解絕對值概念和一元二次方程. 這里從問題的特殊性入手研究問題，符合學(xué)生認識的一般規(guī)律，利于創(chuàng)新能力的發(fā)展.

方案2：改變習(xí)題的背景.

改變習(xí)題的背景就是不改變原題中的某些條件，另一些條件的背景和形式稍作演變，即可為習(xí)題增添難度，為學(xué)生的解題留下回味的余地，為學(xué)生提供深入探究的舞臺，自然提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

變式2：嘗試畫出函數(shù)f（x）=x2-5x-6的圖像，并據(jù)圖像說一說函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，以及各單調(diào)區(qū)間上函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)還是減函數(shù).

設(shè)計意圖：以上變式雙管齊下，考查學(xué)生對函數(shù)圖像以及偶函數(shù)的定義與性質(zhì)的掌握情況，使其對函數(shù)的認識進一步豐富與深化.

變式3：試求出函數(shù)f（x）=x2-5x-6在區(qū)間[-3，5]上的最值.

變式4：試求出函數(shù)y=log■（x2-5x-6）的單調(diào)區(qū)間.

設(shè)計意圖：教師設(shè)計以上常規(guī)性變式練習(xí)，強調(diào)解決問題的角度可以多樣化，可以作圖解析，也可以以數(shù)學(xué)方法求解，不同方法和角度的求解可以反映思維策略水平，利于學(xué)生的全面發(fā)展.

原題2：已知數(shù)列{an}，有a■=1，當n≥2時，若an-an-1=5，則有數(shù)列{an}為等差數(shù)列，試寫出數(shù)列{an}的通項公式.

變式1：已知數(shù)列{an}，當n≥2時，若a■=1且a■-a■=n，求該數(shù)列的通項公式.

解析：將原題中的等差數(shù)列的常數(shù)d轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞縩，那便不再是等差數(shù)列，此處可以通過疊加法求解得出該數(shù)列的通項公式.

當n≥2時，？搖an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+（n-2）+2+1？搖=■.

同樣的，深化變式1的難度，則有：

（1）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，an-a1-1=3n-1（n≥2），求該數(shù)列的通項公式.

（2）已知數(shù)列{an}，滿足a1=3，an-an-1=■（n≥2），求該數(shù)列的通項公式.

變式2：已知數(shù)列{an}中，當n≥2時，若a1=1且an-can-1=d，求該數(shù)列的通項公式.

解析：當c=1時，數(shù)列{an}為等差數(shù)列;

當c≠1，d=0時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

當c≠1，d≠0時，可構(gòu)造等比數(shù)列求解，方法如下：

設(shè)an+1+λ=c（an+λ），可得an+1=can+（c-1）λ.

與題設(shè)an-can-1=d比較系數(shù)，可得（c-1）λ=d，所以λ=■（c≠0），所以有an+■=can-1+■.

所以，數(shù)列an+■構(gòu)成以a1+■為首項，c為公比的等比數(shù)列.

所以an+■=a■+■cn-1，即an=a■+■cn-1-■.

變式3：已知數(shù)列{an}中，若a■=1且an+1-can=qn+1，求該數(shù)列的通項公式.

解析：當c=1時，與變式1形式相同，同樣可用疊加法求解得出該數(shù)列的通項公式;

當c≠1時，可通過構(gòu)造等比數(shù)列求解得出該數(shù)列的通項公式，方法如下：

an+1-can=qn+1變式為an+1=can+qn+1，等式兩邊同時除以qn+1，即可化為■=■·■+1. 令■+t=■■+t，再與原始比較系數(shù)，并求出待定t，構(gòu)造出■+t為等比數(shù)列，公比為■，t=■.

設(shè)計意圖：運用變式訓(xùn)練的靈魂在于基礎(chǔ)知識的鞏固，精髓在于滲透常規(guī)解題思路和創(chuàng)造性解題思路，獲得簡捷的解法，訓(xùn)練分析和解決問題的能力，以達到能力與方法層面上的可持續(xù)性發(fā)展.

■習(xí)題變式教學(xué)的幾點注意點

1. 基于課本，卻又超越課本

課本是專家和學(xué)者們仔細鉆研并精心編寫而成的，課本中的例習(xí)題都是精心挑選的. 在習(xí)題變式教學(xué)中，我們不能滿足于把原題拋給學(xué)生，而是要基于課本，而又超越課本，把例習(xí)題以動態(tài)的方式呈現(xiàn)和復(fù)活，根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)習(xí)需求，或延伸拓展，或變式訓(xùn)練等，真正意義上關(guān)注學(xué)生的思維路徑，讓學(xué)生的思維在拉長的“問題鏈”中淺入深出，讓數(shù)學(xué)思維在持續(xù)不斷的訓(xùn)練中深化.

2. 循序漸進，恰到好處地發(fā)展思維

同時，對習(xí)題的變式需注意縱向推進，循序漸進地加大難度，使思考坡度層層深入，使學(xué)生積極思維，恰到好處地發(fā)展學(xué)生的思維.

原題3：一動圓M與圓C1：（x+2）2+y2=1外切，與圓C2：（x-2）2+y2=9外切，試求出該動圓圓心M的軌跡方程.

變式1：已知一個坐標原點為圓心，半徑為2的圓，從該圓上任意一點P向y軸作垂線PP1，P1為垂足，試求出線段PP1的中點M的軌跡.

變式2：已知圓C1：（x+2）2+y2=1與圓C2：（x-2）2+y2=9，若有一動圓M同時與圓C1和C2外切，則該動圓圓心M的軌跡是什么？

變式3：已知圓C1：（x+2）2+y2=1與圓C2：（x-2）2+y2=9，若有一動圓M同時與圓C1和C2內(nèi)切，則該動圓圓心M的軌跡是什么？

設(shè)計意圖：上述三個變式將常規(guī)題轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄款}，教師的變式基于學(xué)生的思維，學(xué)生的解題圍繞思維，學(xué)生可以多角度地運用發(fā)散思維去分析，加深了學(xué)生對此類問題的理解和認識.

3. 注重張弛有度，提升核心素養(yǎng)

習(xí)題變式教學(xué)要把學(xué)生的核心素養(yǎng)滲透到各種習(xí)題課中. 在新授課中，變式需與本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容相融合，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和想象能力;在習(xí)題課中，變式需與本章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和推理能力;在復(fù)習(xí)課中，變式不僅需密切聯(lián)系考試大綱，還需滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和數(shù)學(xué)抽象. 習(xí)題變式是教師基于教學(xué)目標和學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，注重張弛有度，通過不斷變化問題，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，習(xí)題變式是一種技藝，在于它的“火候”，要善于掌握火力;在于它的“節(jié)律”，要善于分輕重和快慢;在于它的“深度”，順著學(xué)生的思維前進. 教師只有對課本知識透熟于胸，對學(xué)習(xí)現(xiàn)狀了如指掌，才有可能做到掌握變式的火候、節(jié)律和深度，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，提升解題能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).