全宇暉

（華南理工大學 計算機科學與工程學院，廣東 廣州 510000）

大學本科計算方法是一門與計算機使用密切結(jié)合的實用性很強的數(shù)學課程，它既有純數(shù)學的高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有應(yīng)用廣泛性與實際試驗的高度技術(shù)性的特點。作為一門數(shù)學課程，它與其他基礎(chǔ)數(shù)學課程又有著本質(zhì)區(qū)別，它不僅研究自身的理論，而且更多地與實際問題相結(jié)合，提供真正具有應(yīng)用價值的理論成果。掌握計算方法的基本理論及其應(yīng)用對理工科大學生提高專業(yè)素養(yǎng)和從事專業(yè)研究都具有重要意義。

一、計算方法課程教學中存在的問題

計算方法同時具有較強的理論性和實踐性，如何讓學生在有限的教學課時中有效地學習知識的本質(zhì)內(nèi)涵和思想并辯證地加以運用，是該課程教學中需要重點考慮的問題。

1.理論教學。一般計算方法的理論教學大綱和教學內(nèi)容由教育部統(tǒng)一設(shè)定。課程具體講授時，其內(nèi)容會根據(jù)教材選取的不同和教員講課風格的差異而有所側(cè)重和不同。學習計算方法課程需要較強的邏輯性、抽象性和較堅實的數(shù)學基礎(chǔ)。對于工科學生而言，其數(shù)學理論基礎(chǔ)較為薄弱，如果按數(shù)學類專業(yè)課程教學模式進行理論教學，同學們很容易在學習時產(chǎn)生畏難情緒，從而對這門課程缺乏學習興趣。

2.實踐教學。傳統(tǒng)上計算方法課程把教學重點放在理論的嚴謹性和完整性方面，而淡化了實用性和實驗性的技術(shù)特征。這一點為普遍的計算方法課程教學者所認同。對于需要解決實際問題和完成具體工程任務(wù)的工科學生而言，僅僅掌握理論層面的知識是不夠的。在教學中需要結(jié)合行業(yè)特點和學生的具體數(shù)學背景，培養(yǎng)學生對數(shù)值計算方法在實際工程背景中應(yīng)用的理解和其解決問題的思維與能力。

二、計算方法教學新方法

針對上述問題，我們在現(xiàn)有的計算方法課程教學內(nèi)容中引入研究性教學內(nèi)容，采用基于問題的啟發(fā)式問答的交互教學方式，并安排課時適時進行實踐應(yīng)用，以提升學生的學習興趣和改善教學的質(zhì)量與效果，教學模式如圖1所示。研究性啟發(fā)式教學是教師基于教與學實踐的真實問題，精心設(shè)計教學內(nèi)容，啟發(fā)學生在接近真實的研究性情境中通過合作、探究、發(fā)現(xiàn)等方法提出、理解和解決問題，因而幫助學生學習方式由淺層（如聽講、記筆記、埋頭苦學而不進行深度反思等方式）向深度學習（如探究、討論、質(zhì)疑、小組合作、批判、發(fā)現(xiàn)等），由被動學習向主動學習轉(zhuǎn)變的一種教學模式。我們依托精心設(shè)計的教學內(nèi)容、教學過程和科學的考核方式，使學生在解決問題的過程中既能掌握理論和實踐相關(guān)知識，又能逐步熟悉和掌握計算思維的相關(guān)概念和方法。

1.設(shè)計啟發(fā)式的研究性教學內(nèi)容。研究性教學方法采用的一種重要模式是“問題解決模式”，問題是本課程研究性啟發(fā)式教學的中心。在計算方法的具體教學中，我們選擇恰當?shù)膯栴}，創(chuàng)建合適的問題情境以激發(fā)學生的學習興趣，合理安排知識導入點，并且充分挖掘教材中蘊含的相關(guān)研究性問題，拓展學生的知識面，再結(jié)合研究性場景實踐教學，培養(yǎng)學生的各項能力。

圖1 基于問題的研究性啟發(fā)式計算方法新教學模式

（1）精心安排知識導入點。本課程使用啟發(fā)式教學的方式，通過選擇來自實際生活中的例題，再抽象出數(shù)學問題，最后使用計算方法求解。將“啟發(fā)”貫穿研究性教學過程的各個環(huán)節(jié)。計算方法課程的教學大綱如表1所示。在具體的教學過程中，我們根據(jù)教學各個章節(jié)的內(nèi)容，將相應(yīng)問題情境呈現(xiàn)在學生面前，啟發(fā)學生提出問題和探究解決方案，并由此引出教學知識點。例如，在講解第二章線性方程時，選擇了圖像去模糊作為一個啟發(fā)式的引入問題。首先，由實際問題建立對應(yīng)的數(shù)學模型：一幅圖像從清晰退化成模糊圖像的過程，實際上是從一個矩陣通過矩陣乘法變換成到另一個矩陣的數(shù)學過程。這個變換過程，通常通過矩陣乘法Ax=b實現(xiàn)，其可以分解成由A的行向量和x進行點乘得到b的等式組成的線性方程組。假設(shè)我們已知退化的圖像矩陣b和變換矩陣A，需要求解清晰圖像的矩陣x，這個過程可以實際上就是一個求解線性方程組的過程。

課程中每次講解新類型的算法時，均先由實際問題建立數(shù)學模型，然后通過討論分析得到解決該模型的算法及其理論基礎(chǔ)，最后比較評估算法的優(yōu)缺點并對算法進行提煉和改進。在講解完一類算法后，適時總結(jié)，指出這類算法所能解決問題的類型，講清這類算法中各種算法之間的區(qū)別和聯(lián)系，并盡可能地幫助學生分析如何改進已有的算法。

（2）挖掘教材中蘊含的研究性問題。數(shù)值計算方法可以運用到計算機科學的各個研究方向中，也蘊含著許多研究性問題。我們以較為熟悉的圖像處理和分析方向為基礎(chǔ)，有意識地將各種最新的研究方向在課程教學中體現(xiàn)出來。例如，在講解多項式插值的方法之后，引入多項式的不同應(yīng)用例子，如圖像修補和圖像超分辨率。在課堂教學中，強調(diào)學生主動發(fā)現(xiàn)問題、參與課堂討論，鼓勵學生在適當?shù)囊龑е凶约旱贸鼋Y(jié)論，以提高學生的主觀能動性，也增強自信心；強調(diào)學生對課程所學知識舉一反三；通過在教學過程中有意識地引入科學前沿的問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、實踐動手能力和基礎(chǔ)的科研能力。

表1 計算方法課程教學大綱

（3）實踐教學。在有限的教學課時中，我們專門安排了學時來進行基礎(chǔ)實踐教學和研究性場景實踐教學，便于學生及時學以致用。結(jié)合課程教學內(nèi)容，我們設(shè)計相關(guān)實踐任務(wù)，啟發(fā)學生主動思考相應(yīng)的對策，再跟專家的計算方法進行比較，分析優(yōu)劣，進而轉(zhuǎn)入算法的思想、流程和設(shè)計的反復(fù)教學，剖析所學計算方法解決工程問題的實際效果及適用范圍。實踐教學具體形式以計算機進行上機實驗的形式進行，內(nèi)容包括MATLAB使用基礎(chǔ)、數(shù)值函數(shù)實現(xiàn)基礎(chǔ)、線性方程組求解與圖像去模糊任務(wù)等。圖2為計算機創(chuàng)新班學生利用計算方法進行圖像去模糊的實驗結(jié)果展示。從實際應(yīng)用背景出發(fā)的啟發(fā)式教學體現(xiàn)了數(shù)值算法的價值和意義，不但能提高學生的學習興趣和思考能力，而且能讓他們在系統(tǒng)掌握理論知識的同時熟悉如何運用數(shù)學知識去解決實際問題的基本過程。

圖2 圖像去模糊實驗結(jié)果示例

2.構(gòu)建合理的教學評價體系。傳統(tǒng)教學考核方式僅以筆試成績來評定學生對知識的掌握情況，無法體現(xiàn)學生對計算思維的理解和運用程度。其評價指標應(yīng)該由原來單一的知識技能測評轉(zhuǎn)向?qū)W生在研究性教學過程中展現(xiàn)的知識、能力和態(tài)度等綜合素質(zhì)進行測評。評價內(nèi)容包括：學生在研究性教學過程中的態(tài)度、方法，收集整理信息的能力、團隊意識合作精神、成果的表達等方面，對于計算機科學專業(yè)的學生而言，計算方法的編程實現(xiàn)能力也應(yīng)是考核的一個重點。本課程的考核由平時成績、實踐成績和卷面成績?nèi)糠纸M成。實踐成績的評定通過實驗成績和項目成績組成，主要考查學生基本的編程能力、項目成績。除了編程能力外，還考查了分析、解決問題的能力，以及團隊分工協(xié)作能力。平時成績的考核較為靈活多樣，包括課程的提問、項目小組答辯、學生相互評價等。教學過程、實踐和理論考核相結(jié)合，既體現(xiàn)了考核的客觀性，滿足對學生培養(yǎng)目標的基本要求，也體現(xiàn)了公平性，使得有主動性、創(chuàng)新性的學生得到相應(yīng)的優(yōu)秀評價結(jié)果。

三、效果與結(jié)語

我們通過分析計算方法課程教學中存在的問題，對其教學方法進行改革。經(jīng)過兩年的教學實踐，學生的評教結(jié)果均為優(yōu)秀，且反饋都比較正面。通過學校教學問卷調(diào)查，計算機學院本科學生反映該課程教學內(nèi)容設(shè)置合理，通過該課程不僅能掌握課程相關(guān)的理論和實踐知識，還較好地培養(yǎng)自己的計算思維以及動手能力。甚至有部分學生反映該課程的教學極大地提高了其科研興趣。這一定程度上表明以研究性啟發(fā)式教學和實踐教學相結(jié)合的方式來進行計算方法課程的教學，對于激發(fā)學生學習興趣，幫助其理解掌握及運用計算知識有著較好的作用。目前我們在課程中引入的研究性課題只是大千世界的冰山一角，在今后的教學實踐中我們將嘗試引入更全面的研究應(yīng)用方向。