趙 欣，魏 偉，張 杰

（1.北京航天時(shí)代激光導(dǎo)航技術(shù)有限責(zé)任公司，北京100094；2.空裝駐北京地區(qū)第四軍事代表室，北京100041；3.北京控制與電子技術(shù)研究所，北京100038）

0 引言

激光捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)以其性能穩(wěn)定、工作壽命長(zhǎng)、精度高、環(huán)境適應(yīng)性好等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于運(yùn)載航空、航天、武器、艦船、汽車等領(lǐng)域[1]。目前，激光捷聯(lián)慣性導(dǎo)航設(shè)備主要采用二頻機(jī)抖激光陀螺作為其敏感器件，二頻機(jī)抖激光陀螺采用抖頻偏頻技術(shù)消除了閉鎖效應(yīng)的影響，從而提高了陀螺的測(cè)量精度[2]。陀螺的抖動(dòng)效率和本體響應(yīng)與其結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān):一方面，結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)不合理可能影響陀螺的抖動(dòng)幅度，使得陀螺測(cè)量精度下降，甚至失去功能[3]；另一方面，陀螺抖動(dòng)成為激光慣導(dǎo)不可避免的激勵(lì)源帶動(dòng)本體產(chǎn)生偽圓錐運(yùn)動(dòng)[4-5]，對(duì)陀螺的測(cè)量造成誤差，結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)不合理可能導(dǎo)致本體響應(yīng)過(guò)大，進(jìn)而降低陀螺的測(cè)量精度。

目前，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)慣性單元抖動(dòng)效率及測(cè)量誤差的影響主要有兩種方法:1）直接進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)仿真或有限元仿真[3-6]；2）進(jìn)行動(dòng)力學(xué)理論建模和分析[7-9]。采用有限元仿真的方法相對(duì)直觀，但是難以提取規(guī)律性的結(jié)論；采用動(dòng)力學(xué)理論建模的方法進(jìn)行研究，更容易找到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、頻率、阻尼等結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)抖動(dòng)效率及測(cè)量誤差的影響規(guī)律。吳美平等[7]較為完整地建立了激光捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的矢量動(dòng)力學(xué)模型，從理論上分析了部分結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)圓錐誤差的影響規(guī)律。李志華等[8]建立了激光慣組結(jié)構(gòu)系統(tǒng)二自由度動(dòng)力學(xué)模型，能夠?qū)ο到y(tǒng)抖動(dòng)效率進(jìn)行計(jì)算。但是，一方面，二自由度系統(tǒng)忽略了箱體剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，無(wú)法對(duì)其影響進(jìn)行估計(jì)；另一方面，該研究也沒(méi)有對(duì)各關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響規(guī)律進(jìn)行具體討論。

本文建立了激光慣導(dǎo)系統(tǒng)三自由度標(biāo)量動(dòng)力學(xué)模型，并結(jié)合Matlab仿真，從工程實(shí)際出發(fā)，得到了各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)陀螺抖動(dòng)效率和本體響應(yīng)的影響規(guī)律曲線，總結(jié)了基于慣導(dǎo)動(dòng)特性設(shè)計(jì)的激光慣導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原則和方法，有利于實(shí)現(xiàn)激光慣導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的定量化和標(biāo)準(zhǔn)化。

1 動(dòng)力學(xué)建模

如圖1所示，軟捷聯(lián)激光慣導(dǎo)的慣性測(cè)量本體（含陀螺、加速度計(jì)等慣性敏感器件）通過(guò)減振器與箱體實(shí)現(xiàn)連接。在慣性測(cè)量本體中，陀螺通過(guò)抖輪與本體結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)連接。如圖2所示，對(duì)物理系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，考察單陀螺的情況，將結(jié)構(gòu)體的彈性和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行分離，將物理系統(tǒng)簡(jiǎn)化為三自由度扭簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)進(jìn)行研究。由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本理論[10]可建立激光慣導(dǎo)箱體—本體—陀螺三自由度動(dòng)力學(xué)方程，如式（1）所示。

圖1 激光慣導(dǎo)物理模型Fig.1 Physical model of laser inertial navigation system

圖2 激光慣導(dǎo)三自由度系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simplified model of 3-DOF laser inertial navigation system

式（1）中，I1為箱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；I2為本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；I3為陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；k1為箱體剛度；k2為減振器剛度；k3為陀螺抖輪剛度；c1為箱體阻尼系數(shù)；c2為減振器阻尼系數(shù)；c3為陀螺抖輪阻尼系數(shù)，包含結(jié)構(gòu)阻尼、安裝阻尼、材料阻尼等；θ1為箱體相對(duì)載體系轉(zhuǎn)角；θ2為本體相對(duì)載體系轉(zhuǎn)角；θ3為陀螺相對(duì)載體系轉(zhuǎn)角；M·eiωt為陀螺抖動(dòng)驅(qū)動(dòng)力矩，所選取的轉(zhuǎn)軸方向?yàn)橥勇荻秳?dòng)軸方向。

2 方程組求解

將式（2）～式（6）代入式（1）中， 經(jīng)推導(dǎo)可得轉(zhuǎn)角θ3的動(dòng)力放大系數(shù)D3

3 參數(shù)獲取與模型仿真驗(yàn)證

在推導(dǎo)出D1、D2、D3的表達(dá)式后，只需要確定系統(tǒng)參數(shù)即可精確求解。其中，I1、I2、I3（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）可通過(guò)CAD模型從工具軟件中直接獲取；p1、p2、p3（頻率）和c1、c2、c3（阻尼）可通過(guò)產(chǎn)品試驗(yàn)獲得；k1、k2、k3（剛度）可通過(guò)相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和頻率求取。得到系統(tǒng)參數(shù)后，可通過(guò)Matlab求取系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，如圖3～圖5所示。

圖3 陀螺抖動(dòng)激勵(lì)下箱體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨激勵(lì)頻率變化曲線Fig.3 Response curve of the shell dynamic amplification factor with excitation frequency under gyroscope dither excitation

圖4 陀螺抖動(dòng)激勵(lì)下本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨激勵(lì)頻率變化曲線Fig.4 Response curve of the IMU dynamic amplification factor with excitation frequency under gyroscope dither excitation

圖5 陀螺抖動(dòng)激勵(lì)下抖輪響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨激勵(lì)頻率變化曲線Fig.5 Response curve of the dither mechanism dynamic amplification factor with excitation frequency under gyroscope dither excitation

經(jīng)實(shí)際測(cè)試，安裝于固定支座的單陀螺抖動(dòng)放大系數(shù)一般為20～40，在計(jì)算中采用的抖輪安裝阻尼比為0.0125。

當(dāng)將三自由度系統(tǒng)設(shè)置為質(zhì)量無(wú)窮大或剛度無(wú)窮大時(shí)，都可以將一個(gè)三自由度系統(tǒng)等效為二自由度系統(tǒng)。將二自由度系統(tǒng)設(shè)置為質(zhì)量無(wú)窮大或剛度無(wú)窮大時(shí)，都可以將其簡(jiǎn)化為一個(gè)單自由度系統(tǒng)。在三自由度模型中，將I1設(shè)置為一個(gè)較大值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖6所示，這個(gè)結(jié)果與二自由度系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果完全一致。將I1和I2同時(shí)設(shè)置為一個(gè)較大值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖7所示，這個(gè)結(jié)果與單自由度系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果完全一致。由此，三自由度系統(tǒng)的模型正確性可以得到驗(yàn)證。

圖6 三自由度系統(tǒng)I1設(shè)置為一個(gè)較大值時(shí)得到的陀螺響應(yīng)曲線Fig.6 Response curve of gyroscope when I1has a large value

圖7 三自由度系統(tǒng)I1和I2均設(shè)置較大值時(shí)得到的陀螺響應(yīng)曲線Fig.7 Response curve of gyroscope when I1 and I2have large values

4 陀螺抖動(dòng)激勵(lì)下慣導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)抖動(dòng)效率的影響

抖動(dòng)效率是指以陀螺抖動(dòng)固有頻率為載荷頻率對(duì)陀螺抖動(dòng)系統(tǒng)施加交變電壓時(shí)的陀螺響應(yīng)反饋電壓幅與激勵(lì)電壓幅之比，即

陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)是載荷頻率與陀螺抖動(dòng)系統(tǒng)固有頻率相同或接近時(shí)陀螺響應(yīng)幅值與靜載荷激勵(lì)下陀螺響應(yīng)的比值，即

抖動(dòng)效率與陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)都能夠反應(yīng)抖動(dòng)系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，即在陀螺抖動(dòng)動(dòng)力系統(tǒng)中，動(dòng)力放大系數(shù)大的系統(tǒng)抖動(dòng)效率一定高。

圖8～圖15分別以陀螺抖動(dòng)固有頻率（圖8）、陀螺抖輪安裝阻尼（圖9）、本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（圖10）、減振器剛度（圖11）、減振器阻尼系數(shù)（圖12）、箱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（圖13）、箱體剛度（圖14）、箱體阻尼系數(shù)（圖15）為變量考察陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)的變化情況。

圖8 陀螺響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨陀螺抖頻變化曲線Fig.8 Response curve of the gyroscope dynamic amplification factor with the dither frequency

圖9 陀螺響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨陀螺抖輪阻尼變化曲線Fig.9 Response curve of the gyroscope dynamic amplification factor with the dither mechanism damping

圖10 陀螺響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化曲線Fig.10 Response curve of the gyroscope dynamic amplification factor with the IMU rotational inertia

圖11 陀螺響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨減振器剛度變化曲線Fig.11 Response curve of the gyroscope dynamic amplification factor with the absorber stiffness

圖12 陀螺響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨減振器阻尼變化曲線Fig.12 Response curve of the gyroscope dynamic amplification factor with the absorber damping

圖13 陀螺響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨箱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化曲線Fig.13 Response curve of the gyroscope dynamic amplification factor with the shell rotational inertia

圖14 陀螺響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨箱體結(jié)構(gòu)剛度變化曲線Fig.14 Response curve of the gyroscope dynamic amplification factor with the shell stiffness

圖15 陀螺響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨箱體阻尼變化曲線Fig.15 Response curve of the gyroscope dynamic amplification factor with the shell damping

由圖8～圖15可得到如下結(jié)論:

1）減振器剛度不變時(shí)，陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)隨本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加而增大，動(dòng)力放大系數(shù)在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量值較小的區(qū)間內(nèi)可能發(fā)生急劇變化；

2）減振器固有頻率不變時(shí)，陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)隨本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加而增大；

3）本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變時(shí)，陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)隨減振器剛度降低而增大；

4）在陀螺抖頻不超過(guò)790Hz時(shí)，陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)隨陀螺抖頻增加而增大；

5）陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)隨陀螺抖輪安裝阻尼增加而減小，阻尼比在0～0.05的陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)可能發(fā)生急劇變化；

6）陀螺抖動(dòng)動(dòng)力放大系數(shù)隨箱體剛度、阻尼、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化都不明顯。

可見(jiàn)，在陀螺為選定型號(hào)的情況下，為了得到較大的陀螺抖動(dòng)效率，應(yīng)使得安裝阻尼盡可能小，本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量盡可能大，減振器剛度盡可能小，同時(shí)應(yīng)盡可能挑選抖頻較大的陀螺。

5 陀螺抖動(dòng)激勵(lì)下慣導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)測(cè)量精度的影響

軟捷聯(lián)激光慣導(dǎo)系統(tǒng)在線振動(dòng)環(huán)境下可能引發(fā)慣性測(cè)量本體（IMU）發(fā)生偽圓錐運(yùn)動(dòng)，給測(cè)量帶來(lái)誤差[3，9]；在靜載荷環(huán)境下，內(nèi)部陀螺抖動(dòng)激勵(lì)同樣可以引發(fā)慣性測(cè)量本體（IMU）發(fā)生偽圓錐運(yùn)動(dòng)[4]，給測(cè)量帶來(lái)誤差。可見(jiàn)，圓錐誤差的大小與IMU的運(yùn)動(dòng)密切相關(guān)，盡量減小IMU的運(yùn)動(dòng)量級(jí)可以有效減小圓錐誤差。

在前文所述三自由度模型中，考察本體的運(yùn)動(dòng)，可以揭示慣導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)慣導(dǎo)測(cè)量精度的影響規(guī)律，有效指導(dǎo)設(shè)計(jì)。因此，仍對(duì)該模型進(jìn)行仿真計(jì)算，得到了各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)慣導(dǎo)測(cè)量精度的影響規(guī)律。

圖16～圖23分別以陀螺抖動(dòng)固有頻率（圖16）、陀螺抖輪安裝阻尼（圖17）、本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（圖18）、減振器剛度（圖19）、減振器阻尼系數(shù)（圖20）、箱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（圖21）、箱體剛度（圖22）、箱體阻尼系數(shù)（圖23）為變量考察本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)的變化情況。

圖16 本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨陀螺抖頻變化曲線Fig.16 Response curve of the IMU dynamic amplification factor with the dither frequency

圖17 本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨陀螺抖輪阻尼變化曲線Fig.17 Response curve of the IMU dynamic amplification factor with the dither mechanism damping

圖18 本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化曲線Fig.18 Response curve of the IMU dynamic amplification factor with the IMU rotational inertia

圖19 本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨減振器剛度變化曲線Fig.19 Response curve of the IMU dynamic amplification factor with the absorber stiffness

圖20 本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨減振器阻尼變化曲線Fig.20 Response curve of the IMU dynamic amplification factor with the absorber damping

圖21 本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨箱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化曲線Fig.21 Response curve of the IMU dynamic amplification factor with the shell rotational inertia

圖22 本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨箱體結(jié)構(gòu)剛度變化曲線Fig.22 Response curve of the IMU dynamic amplification factor with the shell stiffness

圖23 本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨箱體阻尼變化曲線Fig.23 Response curve of the IMU dynamic amplification factor with the shell damping

由圖16～圖23可得到如下結(jié)論:

1）減振器剛度不變時(shí)，本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加而減?。?/p>

2）減振器固有頻率不變時(shí)，本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加而增大；

3）本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變時(shí)，本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨減振器剛度降低而減??；

4）本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨陀螺抖頻增加而減小；

5）本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨減振器阻尼增加而減??；

6）本體響應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)隨箱體剛度、阻尼、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化都不明顯。

可見(jiàn)，在陀螺為選定型號(hào)的情況下，為了得到較小的本體響應(yīng)，應(yīng)使得本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量盡可能大，減振器剛度盡可能小，同時(shí)應(yīng)盡可能挑選抖頻較大的陀螺。獲得較小的本體響應(yīng)與得到較大的抖動(dòng)效率的結(jié)論基本是一致的，但是需要注意陀螺安裝阻尼的減小會(huì)同時(shí)增大本體的響應(yīng)，在設(shè)計(jì)時(shí)需要綜合考慮。如果陀螺抖動(dòng)效率嚴(yán)重不足而本體響應(yīng)較小，應(yīng)考慮適當(dāng)減小陀螺的安裝阻尼。

6 結(jié)論

本文基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論對(duì)機(jī)抖激光捷聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行了三自由度動(dòng)力學(xué)建模、解答和分析，分別得到了箱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、箱體剛度、箱體阻尼、減振器剛度、減振器阻尼、本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、陀螺抖頻、陀螺安裝阻尼對(duì)陀螺響應(yīng)和本體響應(yīng)的影響規(guī)律。其中，陀螺響應(yīng)的大小反應(yīng)了陀螺抖動(dòng)效率的高低，本體響應(yīng)的大小反應(yīng)了圓錐誤差的大小，與陀螺測(cè)量精度相關(guān)?；谏鲜鲆?guī)律，可以得到在陀螺為選定型號(hào)情況下激光慣導(dǎo)結(jié)構(gòu)的動(dòng)特性設(shè)計(jì)方法。

慣導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)應(yīng)以以下原則為指導(dǎo):

1）在滿足質(zhì)量要求的前提下，本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)盡可能大；

2）在滿足載體系統(tǒng)頻率要求的情況下，減振器剛度應(yīng)盡可能小；

3）在選定型號(hào)的陀螺中，應(yīng)盡可能挑選抖頻較大的陀螺；

4）陀螺安裝阻尼的大小需結(jié)合實(shí)際情況設(shè)計(jì)，當(dāng)陀螺抖動(dòng)效率嚴(yán)重不足而本體響應(yīng)較小時(shí)，應(yīng)考慮適當(dāng)減小陀螺的安裝阻尼；

5）箱體的結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和阻尼在無(wú)外載荷激勵(lì)條件下對(duì)陀螺抖動(dòng)效率和本體響應(yīng)的影響均較小，可據(jù)此適當(dāng)進(jìn)行減重設(shè)計(jì)。