吳向君
【摘 要】初中數(shù)學(xué)關(guān)于計(jì)算有多種優(yōu)秀的解題方式,如因式分解、配方法等。其中因式分解是具有技巧與實(shí)用特點(diǎn)的方法,也是考核學(xué)生能力的重要內(nèi)容。因式分解的靈活運(yùn)用,有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力與思維的提升。本文主要研究因式分解,找尋其在解題過程中的特點(diǎn)與技巧。
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);因式分解;解題技巧
【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437(2020)28-0119-02
新課程教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)明確指出,因式分解是鍛煉學(xué)生逆向思維與邏輯思維的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。但在傳統(tǒng)教學(xué)中,教師更注重這一知識(shí)的理論教學(xué),導(dǎo)致學(xué)生的應(yīng)用能力不強(qiáng),教學(xué)效果不佳。所以新課程標(biāo)準(zhǔn)提出了淡化理論、提高實(shí)用的要求,以幫助學(xué)生快速掌握這一方法,提高解題能力。
1? ?因式分解的基本內(nèi)容
在研究因式分解時(shí),首先需要明確因式分解的定義與要素。
1.1? 定義
因式分解,主要是指運(yùn)用整式知識(shí),將一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄠€(gè)整式相乘的形式。這一知識(shí)是整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn),又因?yàn)橐蚴椒纸獾睦碚撔赃^強(qiáng),很多學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)這一知識(shí)有一定抵觸情緒。
1.2? 要素
運(yùn)用因式分解時(shí),要注意四點(diǎn)。第一,分解多項(xiàng)式時(shí),最后的分解結(jié)果一定是整式。第二,分解后,各整式之間一定呈現(xiàn)乘積的形式。第三,最后建立的關(guān)系一定是等式關(guān)系。第四,因式分解是整式乘積的逆運(yùn)算。因式分解要謹(jǐn)記這四點(diǎn),才能保證其運(yùn)算結(jié)果是正確的[1]。
2? ?因式分解常運(yùn)用方法
2.1? 提取公因式法
因式分解最基本的方式就是提取公因式法。計(jì)算習(xí)題時(shí),首先應(yīng)該考慮這一方法,提取其中的公因式,直接合并,從而解決問題。指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用時(shí),教師需要讓學(xué)生明確運(yùn)用的基礎(chǔ)是乘法分配律,在計(jì)算時(shí)要清晰每一步的計(jì)算原理。運(yùn)用這一方法主要分為以下幾步,首先需要找到多項(xiàng)式中的公因式,提出公因式,將提出后剩下的因式進(jìn)行合并,最后化簡(jiǎn)多項(xiàng)式[2]。
例1 分解以下兩個(gè)多項(xiàng)式。
、
解析:在第一個(gè)多項(xiàng)式中,其公因式較明顯,對(duì)比每一個(gè)同類項(xiàng),找到公因式即可。首先,找到系數(shù)8和12的公因數(shù)為4,再觀察發(fā)現(xiàn)與的公因式為x,與的公因式為,最后可以得出其公因式為,最后將這個(gè)公因式提出即可。第二個(gè)多項(xiàng)式的公因式尋找較為困難,主要是其中多添加了與這兩項(xiàng)。通過前一個(gè)習(xí)題的研究,可以輕松提出部分公因式。對(duì)于與,可以進(jìn)行簡(jiǎn)單變化,將其變?yōu)橥讛?shù)的項(xiàng)。其中由于次冪為2,其底數(shù)不論為負(fù)數(shù)還是正數(shù)都是可以的,所以通過對(duì)底數(shù)添加一個(gè)負(fù)號(hào)將其變?yōu)?,兩者是相等的,進(jìn)行比較與分析可以發(fā)現(xiàn)其中的同類項(xiàng)為,因此整個(gè)多項(xiàng)式的公因式為,最后提出公因式即可。
解題:
總結(jié):這一習(xí)題出現(xiàn)的難點(diǎn)主要是對(duì)與的考查,由于兩者之間是相似的,所以需要進(jìn)行簡(jiǎn)化與統(tǒng)一,以解決問題。
例2 分解因式。
分析:初步分析會(huì)難以發(fā)現(xiàn)習(xí)題中四個(gè)項(xiàng)的關(guān)系,找不到其中的公因式,不能直接運(yùn)用提取公因式的方法解決問題,所以需要整理多項(xiàng)式。運(yùn)用加法交換律與結(jié)合律,與相結(jié)合得,同樣與ab也相結(jié)合得,這時(shí)可以輕松發(fā)現(xiàn)其中的公因式為,提出這個(gè)公因式即可解決問題。
解題:
總結(jié):解題過程中會(huì)出現(xiàn)公因式不突出的現(xiàn)象,此時(shí)需要進(jìn)行各項(xiàng)之間的整理與結(jié)合,從而找到公因式,解決問題。
2.2? 運(yùn)用公式法
公式法也是解題常用的方法,但在運(yùn)用中,所用的公式不同,其中主要是對(duì)于兩個(gè)乘法公式的運(yùn)用,也就是平方差公式和平方公式,分別為、。對(duì)于這兩個(gè)公式的運(yùn)用不僅是簡(jiǎn)單直接的正向運(yùn)用,也會(huì)適當(dāng)逆向運(yùn)用[3]。
平方差公式為,對(duì)這個(gè)公式探究發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn),首先,對(duì)于x與y,不僅僅只限制于數(shù)字,也可是整式。其次,等式的一側(cè)一定是整式或者數(shù)字的平方差,另一側(cè)必須具有這一特征。最后,對(duì)于常運(yùn)用的數(shù)1到20的平方數(shù),要讓學(xué)生牢記。
例3 分解以下兩個(gè)因式:,。
解析:第一個(gè)式子主要考查公式的逆向運(yùn)用,所以可以將其中看為,同理,輕松運(yùn)用逆向公式,可直接解決問題。第二個(gè)式子相比于第一個(gè)復(fù)雜一些,需要先將多項(xiàng)式整理為,然后結(jié)合第一個(gè)式子的分析方法,將其轉(zhuǎn)化,但轉(zhuǎn)化中因有更高的次冪,所以需要注意次冪的變化,最后再結(jié)合公式解決問題。
解題:
總結(jié):觀察以上兩個(gè)式子,可以發(fā)現(xiàn)平方差公式的運(yùn)用更加廣泛,且其中具有的變化特點(diǎn)更多,需要學(xué)生解題時(shí)具有更強(qiáng)的觀察能力,同時(shí)積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。
平方公式為,觀察其特點(diǎn)。第一,算式等號(hào)兩邊所具有的形式特點(diǎn),左邊為兩個(gè)未知數(shù)或者整式相加減后的平方。第二,右邊為兩個(gè)未知數(shù)或者整式的平方和,再加上或減去兩倍的兩者乘積。第三,其中與可以為整式。
例4 分解因式。
分析:這一多項(xiàng)式具有一定的陷阱,其中在初次看到第一項(xiàng)為時(shí),容易將其打開,造成問題更難解答。所以需要將其中看作一個(gè)整體,從而運(yùn)用公式解答問題。
解題:
總結(jié):因式分解時(shí),要將看作一個(gè)整體,不要直接將其打開,否則會(huì)提高解題的難度。
2.3? 分組分解法
運(yùn)用分組分解法主要是將公因式法與公式法兩者結(jié)合,所以解題中需要學(xué)生注意多項(xiàng)式的特點(diǎn)或者差異,從而選擇不同的解題方式。因此,針對(duì)于不同問題,需要學(xué)生做到具體問題具體分析,把握方法和習(xí)題所具有的特點(diǎn)。一般所運(yùn)用的方法為二二分法和三一分法[4]。
例5 化簡(jiǎn)多項(xiàng)式。
分析:觀察首項(xiàng)發(fā)現(xiàn),這一習(xí)題可以運(yùn)用平方公式,再結(jié)合習(xí)題中兩個(gè)平方項(xiàng),可以直接整理習(xí)題,并運(yùn)用公式解決問題。這一習(xí)題主要運(yùn)用三一分法,二二分法的運(yùn)用可參考例2。
解題:
總結(jié):通過兩個(gè)例題的分析講解,可以發(fā)現(xiàn),很多習(xí)題都有一定特點(diǎn),結(jié)合這些特點(diǎn)整理多項(xiàng)式,再結(jié)合解題公式,就可以解決問題。
2.4? 十字相乘法
這一方法的運(yùn)用主要是解答二次三項(xiàng)式,但在問題解答中,不同的方程有不同的解題方法,主要是二次項(xiàng)系數(shù)的不同,其可以分為系數(shù)為1和系數(shù)不為1兩種情況。
實(shí)際教學(xué)中,這兩部分內(nèi)容都有一定難度,導(dǎo)致學(xué)生在解答相似問題時(shí),很難得到正確答案。所以教師講解時(shí),對(duì)這一部分內(nèi)容,更多是讓學(xué)生將其作為理解內(nèi)容,并不要求學(xué)生完全掌握。十字相乘法主要運(yùn)用的方程為,對(duì)于系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式,應(yīng)該首先將二次項(xiàng)的系數(shù)化為1,再運(yùn)用公式解決問題。
綜上所述,要從分析因式分解的定義與要素出發(fā),找尋題目的特點(diǎn)。解題過程中,主要有四種方法,分別為公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法。這四種方法主要涉及公式的運(yùn)用,所以教師必須讓學(xué)生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。只有夯實(shí)基礎(chǔ),學(xué)生才能在解題時(shí),有系統(tǒng)的認(rèn)知,并選擇更正確的方式。
【參考文獻(xiàn)】
[1]王娟,李保臻.基于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2019(5).
[2]張素紅.整合教材,問題引領(lǐng),讓概念教學(xué)厚重而靈巧——以《多項(xiàng)式的因式分解》為例[J].數(shù)學(xué)之友,2019(4).
[3]王娟,李保臻.基于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)研
究——以初中“因式分解”內(nèi)容為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2019
(4).
[4]王玲玲.重視初中數(shù)學(xué)概念的生成過程——以“因式分解”的教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2019(6).