于耀庭,何芝仙,時(shí)培成,何長(zhǎng)凱

(安徽工程大學(xué) 力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 蕪湖 241000)

圖1 具有軸向重合度的直齒圓柱齒輪 圖2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)單自由度動(dòng)力學(xué)模型

1 動(dòng)力學(xué)模型

為了便于與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)相比較,研究具有軸向重合度的大重合度直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,仍采用單自由度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型,如圖2所示。該模型考慮齒輪輪齒的彈性變形,但忽略軸及軸承的彈性變形。根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程,易得齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為[10-11]：

(1)

2 輪齒綜合嚙合剛度

計(jì)算輪齒綜合嚙合剛度是齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)求解必須解決的關(guān)鍵問(wèn)題。與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪相比,圖1b所示的齒輪由錯(cuò)開(kāi)半個(gè)齒距的兩排標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪沿齒寬并聯(lián)組成,因而,就每一排齒輪而言,齒輪嚙合過(guò)程中輪齒的變形及嚙合剛度與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪相同?？刹捎肳eber公式計(jì)算輪齒的變形[10-11],即輪齒嚙合時(shí)的變形由嚙合點(diǎn)處的接觸變形δH,輪齒的彎曲及剪切力引起的嚙合點(diǎn)位移δT,考慮輪體彈性變形引起的嚙合點(diǎn)位移δA三部分組成。

(2)

圖3 輪齒的幾何參數(shù)

式中,b為齒寬；ρi為接觸點(diǎn)處齒輪i的齒廓曲線曲率半徑；E為材料的彈性模量；h1、h2分別為輪1、輪2的尺寸,h值、h的意義如圖3所示；αx、FN、SF為齒輪的幾何尺寸,具體意義如圖3所示；x、y為齒輪任意截面處齒廓曲線上一點(diǎn)的x、y坐標(biāo)。

單對(duì)齒輪副的嚙合剛度為：

(3)

考慮到齒輪嚙合過(guò)程中為單雙齒嚙合區(qū)交替進(jìn)行,故單排齒輪的綜合嚙合剛度kΣ(t)為:

(4)

式中,Tz為一對(duì)輪齒一個(gè)嚙合周期所需的時(shí)間；Ts為一對(duì)輪齒一個(gè)嚙合周期內(nèi)雙齒嚙合時(shí)間，Ts=Tz(εt-1)。

圖4 大重合度齒輪傳動(dòng)嚙合過(guò)程

對(duì)于圖1b所示的大重合度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng),其嚙合過(guò)程如圖4所示。由圖4可知，B1B2為實(shí)際嚙合線,Pb為基圓齒距,εt為齒輪的端面重合度。每一排齒輪嚙合過(guò)程與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)相同,單、雙齒嚙合區(qū)交替進(jìn)行。由于前后兩排齒輪錯(cuò)開(kāi)半個(gè)齒距,后排齒輪相對(duì)前排齒輪超前或滯后半個(gè)齒距。后排齒輪的單齒嚙合區(qū)與前排齒輪的雙齒嚙合區(qū)重合,同樣地,前排齒輪的單齒嚙合區(qū)與后排齒輪的雙齒嚙合區(qū)重合。其總綜合時(shí)變嚙合剛度:

km(t)=kΣ1(t)+kΣ2(t),

(5)

式中,kΣ1(t)、kΣ2(t)分別代表前排、后排齒輪的綜合時(shí)變嚙合剛度,由于前后排輪齒錯(cuò)開(kāi)半個(gè)齒距,故有：

kΣ1(t)=kΣ2(t+T1/2),

(6)

式中,T1/2為齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)半個(gè)齒距所需時(shí)間。

齒輪之間的法向力在于各對(duì)輪齒之間的分配,可以根據(jù)各對(duì)輪齒的時(shí)變嚙合剛度求出[10-11],無(wú)需贅述。

3 求解結(jié)果及分析

在已知齒輪幾何參數(shù)前提下,法向力作用下輪齒變形及齒輪嚙合剛度用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算很容易實(shí)現(xiàn)。在求出大重合度齒輪輪齒時(shí)變綜合嚙合剛度前提下,采用文獻(xiàn)[10-11]所提出的方法,并用Runge-Kutta法求解運(yùn)動(dòng)方程(1),就可以得到大重合度齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

計(jì)算原始數(shù)據(jù)：齒輪齒數(shù)z1=20,z2=41,模數(shù)m=10 mm,壓力角α=20°,單排齒輪有效齒寬B=40 mm,齒輪傳遞功率P=5 kW,小齒輪轉(zhuǎn)速n1=960 r/m。

大重合度齒輪單排齒輪從開(kāi)始進(jìn)入嚙合到退出嚙合，輪齒嚙合剛度變化曲線如圖5所示。與相同條件的標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪相比,變化規(guī)律完全相同,表現(xiàn)為隨嚙合點(diǎn)位置變化先升后降的光滑曲線。大重合度齒輪前排齒輪、后排齒輪綜合嚙合剛度及總嚙合時(shí)變剛度隨嚙合點(diǎn)位置變化曲線如圖6所示。就每一排齒輪而言,其綜合嚙合剛度變化規(guī)律與標(biāo)準(zhǔn)齒輪也完全相同,但前、后兩排齒輪相差半個(gè)齒距。由于兩排輪齒同時(shí)工作,大重合度齒輪在3齒嚙合區(qū)和4齒嚙合區(qū)交替變化。與相同工作條件的標(biāo)準(zhǔn)齒輪(即齒寬B=80 mm)的對(duì)比如圖7所示。大重合度齒輪的綜合嚙合剛度嚙合區(qū)交替變化頻率增加了一倍,但綜合嚙合剛度突變的幅度由1.159×109N/m下降為5.776×108N/m,突變幅度減小了一倍。這將會(huì)大大改善齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能,正是大重合度齒輪的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。

圖5 單對(duì)齒輪嚙合剛度 圖6 大重合度齒輪綜合嚙合剛度

不考慮齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力效應(yīng)時(shí)齒輪嚙合過(guò)程中前后兩排齒輪法向載荷分配關(guān)系如圖8所示。法向載荷在前后排間分配取決于前后排輪齒的綜合嚙合剛度kΣ1(t)及kΣ2(t)。一對(duì)輪齒受到的法向載荷在齒輪嚙合過(guò)程中的變化規(guī)律如圖9所示。與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪相比,同樣表現(xiàn)為法向載荷變化頻率增加了一倍,突變幅度減小了一倍。

圖7 大重合度齒輪與標(biāo)準(zhǔn)齒輪綜合嚙合剛度 圖8 排間法向載荷分配

大重合度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)法向振動(dòng)相對(duì)位移與速度響應(yīng)如圖10、圖11所示。由圖10、圖11可見(jiàn),與相同條件下的標(biāo)準(zhǔn)齒輪相比,兩者變化規(guī)律明顯不同,特別是振動(dòng)位移及速度響應(yīng)幅度下降顯著,位移響應(yīng)振幅由6.237×10-7mm下降至2.275×10-7mm,下降了63.52%,減振效果十分顯著。這是由于大重合度齒輪大大降低了齒輪綜合嚙合剛度的突變量。

圖9 單對(duì)輪齒承受的法向力隨嚙合點(diǎn)位置變化 圖10 法向振動(dòng)相對(duì)位移響應(yīng)

圖11 法向振動(dòng)相對(duì)速度響應(yīng) 圖12 輪齒法向動(dòng)、靜態(tài)位移響應(yīng)

大重合度齒輪在嚙合過(guò)程中齒輪間的總法向力、前后兩排齒輪間的法向分力的變化規(guī)律如圖13所示。雖然前后兩排齒輪之間的法向分力之和等于總法向力,但由于前后兩排齒輪之間的法向分力大小并不相同,若將齒寬中心簡(jiǎn)化將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)過(guò)齒寬中心沿兩齒輪中心連線方向的力矩,即法向力在排間分配引起的附加力矩,其變化規(guī)律如圖14所示。但這個(gè)隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)附加力矩不會(huì)引起軸系產(chǎn)生軸向分量,可由軸承徑向分力平衡。

圖13 法向力隨時(shí)間變化情況 圖14 作用在齒輪上的附加力矩隨時(shí)間變化情況

圖15 前排一對(duì)齒輪法向力隨時(shí)間變化

4 結(jié)論

對(duì)具有軸向重合度的大重合度直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了靜、動(dòng)力學(xué)分析,并與同等條件下的標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪進(jìn)行了比較,得到以下結(jié)論：

大重合度齒輪的綜合時(shí)變嚙合剛度在一個(gè)嚙合周期內(nèi)變化頻率增加了近一倍,突變幅值也減小了近一倍,這正是大重合度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能得到改善的根本原因。大重合度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的法向振動(dòng)位移響應(yīng)一個(gè)嚙合周期內(nèi)作周期性變化,表現(xiàn)為在靜態(tài)法向位移基礎(chǔ)上疊加高頻振動(dòng)分量,位移動(dòng)力放大系數(shù)最大可達(dá)1.338。與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)相比,振幅下降了63.52%。大重合度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的總法向力由前后兩排齒輪分擔(dān),總法向力由排間分配和齒間分配后分配到每對(duì)參與嚙合的齒輪輪齒上。由于前后兩排齒輪之間的法向分力大小并不相同,會(huì)產(chǎn)生一個(gè)動(dòng)態(tài)的附加力矩,但這個(gè)附加力矩不會(huì)產(chǎn)生軸向分量。

大重合度齒輪在保留標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪優(yōu)點(diǎn)的前提下,提高了傳動(dòng)系統(tǒng)的重合度,大幅度降低了齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)和噪聲,改善了直齒圓柱齒輪的動(dòng)力學(xué)性能,因而可以用于高速傳動(dòng)場(chǎng)合。