李付強(qiáng)

摘要：APOS理論是關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本模型，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師可以根據(jù)操作或活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段教學(xué)，從而有效提高小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)效果。教師應(yīng)該根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念，結(jié)合教材的知識內(nèi)容，引入豐富的生活資源，合理設(shè)計(jì)相關(guān)活動，落實(shí)APOS理論，更好地提高小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)效果。本文主要以青島版“三角形的認(rèn)識”為例，探究這一教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：APOS理論;小學(xué)數(shù)學(xué);概念教學(xué);三角形;活動

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)最為基礎(chǔ)的內(nèi)容。數(shù)學(xué)概念的基本內(nèi)涵，是人們在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，對客觀世界和事物等進(jìn)行觀察、比較、分析、概括、判斷、綜合和抽象得出的理論，是在思維活動中逐步認(rèn)識到世界和事物的本質(zhì)形成的。所以這就導(dǎo)致了數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，不利于小學(xué)生理解和學(xué)習(xí)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了讓學(xué)生更好地理解各類數(shù)學(xué)概念，教師常常會引入與概念相關(guān)的各類資源信息，包括文本、圖片、動畫和視頻等，而結(jié)合這些資源運(yùn)用APOS理論教學(xué)，則能夠提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)效果。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)之APOS理論的活動階段

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，運(yùn)用APOS理論教學(xué)能夠更好地展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的形成流程，能夠引導(dǎo)學(xué)生個(gè)體通過自主探究掌握數(shù)學(xué)概念形成的全過程，更好地讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，從而更好地在數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上理解各類數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、基本規(guī)則等。在小學(xué)數(shù)學(xué)“三角形的認(rèn)識”實(shí)際教學(xué)中，為了更好地落實(shí)APOS理論、提高概念教學(xué)效果，教師既要結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，也應(yīng)該根據(jù)實(shí)際需要打亂順序、改變和拓展知識內(nèi)容等。對于這節(jié)課的教學(xué)，教師應(yīng)該在認(rèn)真分析本課內(nèi)容的基礎(chǔ)上，主要探究與三角形相關(guān)的概念，比如三角形的“頂點(diǎn)、對邊、垂線、垂足、高、底”等概念。要如何讓學(xué)生理解呢？

基于APOS理論，在活動階段，教師可以指導(dǎo)學(xué)生觀察、回顧、思考、想象和判斷，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)際操作、實(shí)驗(yàn)和探究等更好地理解和掌握三角形的基礎(chǔ)概念，從而有效提升概念教學(xué)效果。例如，在三角形的基本定義概念教學(xué)中，教師可以先利用多媒體引入金字塔、斜拉橋、自行車結(jié)構(gòu)等與三角形相關(guān)的圖片，讓學(xué)生指出其中的三角形，之后讓學(xué)生回顧生活中還有哪些東西是三角形。教師再讓學(xué)生利用工具自己動手畫一個(gè)三角形，讓學(xué)生思考和判斷什么樣的圖形才是三角形，怎樣才能畫出規(guī)范的三角形。最后教師用大屏幕展示各類圖形，讓學(xué)生指出哪些是三角形。在有關(guān)三角形的底和高的概念教學(xué)中，教師可以先提出以下問題：回顧平行四邊形和長方形的基本特征，三角形也有底和高嗎？怎樣確定三角形的底和高？你能在剛才自己畫的三角形中畫出高嗎？接著用動畫展示三角形的高的形成示意圖，讓學(xué)生上講臺，利用工具動手畫出銳角三角形的高;接著教師再展示不同形態(tài)的三角形，指導(dǎo)學(xué)生通過不同頂點(diǎn)畫出這些三角形的高。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)之APOS理論的過程階段

為了將外在的活動內(nèi)化為學(xué)生的思維過程，將學(xué)生頭腦中的思維直觀地展示出來，從而引導(dǎo)學(xué)生思考、分析和反思思維過程，抽象出概念的本質(zhì)特征，教師可以繼續(xù)落實(shí)APOS理論的過程階段。在前面活動的基'礎(chǔ)上，學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念有了一般性認(rèn)識，對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)有了更深層次的認(rèn)識（認(rèn)知），從最初的感性認(rèn)識提升到理性認(rèn)識，對于理解數(shù)學(xué)概念具有重要作用。

教師在落實(shí)過程階段中，為了讓學(xué)生更好地理解三角形的基本定義、三角形的底和高，可以分別指導(dǎo)學(xué)生描述出三角形的畫作過程，描述出什么樣的圖形才是三角形，辨別出三角形的底和高。在指導(dǎo)學(xué)生描述出三角形的畫作過程中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生兩兩合作，一人描述畫三角形的流程和要求，一人根據(jù)流程和要求畫出對應(yīng)的三角形。比如，某些學(xué)生要求按照正向/逆向順序畫，根據(jù)一條線段和線段外一點(diǎn)畫出等。在指導(dǎo)學(xué)生描述出什么樣的圖形才是三角形的過程中，教師可以先讓學(xué)生說出自己認(rèn)為的三角形的特點(diǎn)，再舉出反例，在不斷修改和求證中將學(xué)生的思維直觀地展現(xiàn)出來，讓學(xué)生更好地理解三角形的定義。教師需要引導(dǎo)學(xué)生從說出“有三條邊的圖形就是三角形”到說出“三角形是三個(gè)角、三條邊和三個(gè)頂點(diǎn)的組合圖形”，并畫出三角形。在辨別三角形的底和高的過程中，教師同樣可以運(yùn)用以上類似方法指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知這些概念。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)之APOS理論的對象階段

這個(gè)階段是一個(gè)內(nèi)在的思維活動過程。在對象階段，教師應(yīng)該將學(xué)生概念形成的動態(tài)活動過程引導(dǎo)轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)關(guān)系，從而更好地幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵進(jìn)行整體掌握。在“三角形的認(rèn)識”概念教學(xué)中，在以上教學(xué)的基礎(chǔ)上，教師可以展示一個(gè)銳角三角形、一個(gè)直角三角形、一個(gè)鈍角三角形，讓學(xué)生試著說出每個(gè)三角形各部位的名稱，試著畫出這些三角形的高。教師可以讓學(xué)生結(jié)合銳角三角形三條高的畫法，思考直角和鈍角三角形三條高的畫法，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“底和高的對應(yīng)關(guān)系”理論以及三邊和三頂點(diǎn)畫出。教師在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)概念解決實(shí)際問題的過程中，更好地促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化和鞏固三角形的基本概念。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)之APOS理論的圖式階段

這個(gè)階段是學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行更高層次、更深度的思維整合和加工的過程，有利于促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步深化理解數(shù)學(xué)概念。教師可以根據(jù)具體的概念內(nèi)容提出一些啟發(fā)性、探究性的問題，讓學(xué)生結(jié)合已學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行獨(dú)立思考、合作探究等。比如，我們經(jīng)過以上學(xué)習(xí)，認(rèn)知到了三角形定義、基本特征、底和高等概念。那么它們之間有什么聯(lián)系嗎？教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行總結(jié)：三條邊確定每個(gè)三角形都由三條邊組成，而每兩條邊組成一個(gè)角，每個(gè)角又有一個(gè)頂點(diǎn)，有了邊、角、頂點(diǎn)才能確定三角形。綜上所述，基于APOS理論視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，教師應(yīng)該在分析APOS理論的基本內(nèi)涵基礎(chǔ)上，結(jié)合這一概念和基本的數(shù)學(xué)課程知識，引入與數(shù)學(xué)概念相關(guān)的圖片、動畫和視頻等資源，運(yùn)用多媒體課件和微視頻等進(jìn)行教學(xué)。教師根據(jù)APOS理論中的活動階段、過程階段、對象階段、圖式階段教學(xué)，從而提升小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)效果。