方萬里

【摘要】對連續(xù)型隨機變量的概率密度，如果從幾何或者物理角度去解釋，對初學(xué)者特別是一般高校的文科生存在理解和接受上的困難，通過引入相對概率這一概念，概率密度就如離散型隨機變量的分布律那樣容易理解和接受.

【關(guān)鍵詞】分布律;概率密度;相對概率

在大學(xué)開設(shè)的高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計這幾門數(shù)學(xué)課程中，概率論對學(xué)生來說是最難的.百度貼吧有個帖子做了個提問式調(diào)查，問這三門課程哪門最難，在明確給出答案的56個回帖中，有34個選擇了概率論，占比60.7%，可見概率論在學(xué)生的心目中的地位.概率論之所以難，其中一個原因就是學(xué)生對連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)以及常見特殊連續(xù)型變量復(fù)雜概率密度函數(shù)的理解和記憶存在困難，比如，服從正態(tài)分布、T分布、x2分布和F分布隨機變量的概率密度函數(shù).

在教學(xué)過程中，針對連續(xù)型隨機變量的概率密度的講解，往往從幾何或者物理角度去解釋，對初學(xué)者來說還是較為抽象，存在理解和接受上的困難.此時可以借助于他們對高數(shù)基本知識以及離散型隨機變量及其特性的理解和掌握，通過引入相對概率這一概念展開敘述，概率密度函數(shù)就如離散型隨機變量的分布律那樣容易理解和接受.

一、連續(xù)型與離散型隨機變量定義

設(shè)隨機變量X所有可能的取值只有有限個或者可列無限多個，則稱X為離散型隨機變量，假設(shè)X可能的取值為x1，x2，…，且取xk的概率為p（X=xk）=pk，k=1，2，…，稱之為離散型隨機變量X的概率分布或分布律，其分布函數(shù)為：

對隨機變量X，如果存在非負可積函數(shù)f（x），對任意x∈（-∞，+∞），都有：則稱X為連續(xù)型隨機變量，f（x）為X的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)或概率密度.

在以上兩個定義中，離散型隨機變量的概念及其分布律較為容易理解，而連續(xù)型隨機變量的定義及概率密度理解起來卻較為困難.通過“燈泡的壽命”等例子的講解，可以使初學(xué)者對連續(xù)型隨機變量有一個比較直觀的認識，而對其概率密度的講解，往往從幾何或物理角度進行.

二、概率密度的常規(guī)解釋

常規(guī)解釋即從字面進行解釋，首先回顧中學(xué)物理中的密度公式：（1）對均勻物質(zhì)，其密度公式為ρ=mV;（2）對非均勻物質(zhì)，每點的密度可能不同，其中a點的密度為包含a點小塊物質(zhì)質(zhì)量與體積的比值極限ρa= limΔV→0ΔmΔV.

同理，連續(xù)型隨機變量X在任意點x（x∈（a，b））處的概率密度可以表示為：

所以稱f（x）為隨機變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).

這種解釋對學(xué)生來說理解起來存在三個方面的難點.首先，同樣是概率問題，離散型變量的分布律很直觀，易于理解接受，而連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)的解釋好像與離散型隨機變量的分布律完全不同，割裂了其與離散型變量的區(qū)別與聯(lián)系，有些初學(xué)者可能會理解，卻不大容易能接受.其次，很多學(xué)生特別是經(jīng)濟管理類專業(yè)的文科生之前根本就沒有接觸非均勻物質(zhì)的密度公式，接受起來尚需要一個過程，更何況是在此基礎(chǔ)上引申出概率密度函數(shù)這個高階概念.第三，連續(xù)型隨機變量中的那個非負可積概率密度函數(shù)f（x）出現(xiàn)的太突然，它是怎么來的，學(xué)生表示很懵.

三、相對概率——概率密度的另一種解釋

我們完全可以基于學(xué)生對離散型隨機變量及其概率分布律的領(lǐng)會來解釋說明連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù).

從之前教學(xué)內(nèi)容的兩個命題開始，“不可能事件的概率為0”，反之“概率為0的事件卻不一定是不可能事件”，對后者常用例證，如燈泡的使用壽命X（小時），有P（X=300）=0，但{X=300}卻不是不可能事件.實際上，這里P（X=300）=0中的“0”不是真正的0，而是無窮小量0（當然，有的時候是真正的0，比如，P（X=-300）=0），即燈泡的壽命取300的概率非常非常小，以至于無法像離散型隨機變量取某個值的概率那樣用一個非0的數(shù)字來表示.

燈泡的壽命X便是一個連續(xù)型隨機變量，要用非0數(shù)字來表示連續(xù)型隨機變量取某值的概率不是不可以，只要將這個無窮小量除以另一個無窮小量將其放大即可，我們將這個放大后的概率稱為相對概率，即概率密度.推導(dǎo)如下：

與之相對的是，離散型隨機變量的概率可理解為絕對概率.

四、概率密度函數(shù)兩個性質(zhì)證明

即通過離散型隨機變量分布律的性質(zhì)，利用相對概率，推導(dǎo)出連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)的性質(zhì)，即：

五、結(jié)束語

離散型隨機變量的定義、分布律及其性質(zhì)很容易理解，引入相對概率這一概念之后，連續(xù)型隨機變量的概率密度及其性質(zhì)就與離散型隨機變量的分布律及性質(zhì)相對應(yīng)起來，也變得容易理解和接受.推導(dǎo)過程可能不夠嚴謹，但是對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生理解課程內(nèi)容還是有一定的價值.

【參考文獻】

[1]孫榮恒.應(yīng)用概率論：第三版[M].北京：科學(xué)出版社，2016.