李菊雁 邊雪芬

【摘要】BOPPPS教學(xué)模式是目前較為優(yōu)秀的微課教學(xué)模式，本文以線性代數(shù)中的“逆矩陣”為例，探討了基于BOPPPS教學(xué)模式下的線性代數(shù)微課教學(xué)設(shè)計.在教學(xué)設(shè)計中充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，并注重對學(xué)生認(rèn)知、情感和技能的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】BOPPPS;教學(xué)模式;線性代數(shù);教學(xué)設(shè)計

一、前 言

當(dāng)前線性代數(shù)課程的教學(xué)模式已經(jīng)脫離了傳統(tǒng)的黑板模式，不僅增加了多媒體教學(xué)，而且還有慕課（MOOC）等形式，但是仍存在某些問題：（1）缺乏對學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).在教學(xué)過程中，教師一般是先直接給出定理，然后進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)證明，最后給出相關(guān)例題和習(xí)題.但在此過程中忽略了對學(xué)生創(chuàng)造思維的培養(yǎng).（2）缺少前沿知識的普及，目前線性代數(shù)教學(xué)一般以大綱為依據(jù)，較少涉及書本外的知識點，缺少了對學(xué)生前沿知識的普及，使得學(xué)生在課堂上很難接觸到前沿知識.（3）教學(xué)缺少應(yīng)用實例.由于線性代數(shù)學(xué)科具有抽象性，不能像高等數(shù)學(xué)教學(xué)一樣能利用函數(shù)的圖像進行直觀理解，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)時會很難引起興趣.（4）在課程思政建設(shè)方面，線性代數(shù)的教學(xué)也應(yīng)該注重對學(xué)生的德育教育.

線性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)是大學(xué)工科學(xué)生的公共基礎(chǔ)必修課，目前已經(jīng)有教師和學(xué)者對基于BOPPPS教學(xué)模式下的高等數(shù)學(xué)微課教學(xué)設(shè)計進行研究[1-4]，但是基于BOPPPS教學(xué)模式下的線性代數(shù)微課教學(xué)設(shè)計的論文還未公開發(fā)表.本文以“逆矩陣”為例，對基于BOPPPS教學(xué)模式下的線性代數(shù)微課教學(xué)設(shè)計進行研究，力求解決上述問題.

二、BOPPPS教學(xué)模式概述

BOPPPS教學(xué)模式是由加拿大ISW（Instructional Skill Workshop）創(chuàng)辦的，旨在培訓(xùn)教師的教學(xué)技能.在培訓(xùn)過程中主要以學(xué)員（教師）為中心，對課堂教學(xué)進行模塊化分解并進行互評.學(xué)員課程展示時間一般以10分鐘為宜.BOPPS教學(xué)模式將課堂教學(xué)分為以下6個階段：導(dǎo)言（Bridge-in）、學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective）、先測（Pre-assessment）、參與式學(xué)習(xí)（Participatory Learning）、后測（Post-assessment）以及總結(jié)（Summary）.學(xué)員在備課過程中，將課程按照這6個階段進行準(zhǔn)備，并在備課過程中注重對學(xué)生認(rèn)知、情感和技能等方面的培養(yǎng).

三、基于BOPPPS教學(xué)模式下的線性代數(shù)微課教學(xué)設(shè)計理念

基于BOPPPS教學(xué)模式對線性代進行微課教學(xué)設(shè)計，教師需要將課程分割成6個階段，在每個階段均需要注重對學(xué)生認(rèn)知、情感和技能的培養(yǎng).以學(xué)生為中心，啟發(fā)式教學(xué)，幫助學(xué)生理解記憶相關(guān)知識點，開闊眼界，培養(yǎng)學(xué)生興趣和情感、提高學(xué)生技能.教師在整個備課過程中，需要以學(xué)生為主體.教師在授課過程中，不僅要提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，鼓勵學(xué)生參與到學(xué)習(xí)過程中，而且需要及時捕獲學(xué)生的反饋.教師在課后需要根據(jù)學(xué)生的反饋對后續(xù)課程進行相應(yīng)的修改.

四、基于BOPPPS教學(xué)模式的“逆矩陣”教學(xué)設(shè)計

基于線性代數(shù)中“逆矩陣”課程的特點與知識體系，將BOPPPS教學(xué)模式運用到“逆矩陣”教學(xué)設(shè)計中.在教學(xué)設(shè)計中，教師以課程為載體，以學(xué)生為主體，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，注重對學(xué)生認(rèn)知、情感和技能的培養(yǎng).按照BOPPPS教學(xué)模式的6個階段，具體設(shè)計如下.

（一）導(dǎo)言（Bridge-in）——通過回憶、類比、設(shè)問，對課程進行導(dǎo)入

回憶矩陣的加法、數(shù)乘、相乘、轉(zhuǎn)置、方陣的行列式以及伴隨矩陣等運算.教師引導(dǎo)學(xué)生將矩陣的運算與實數(shù)的運算進行比較，學(xué)生可發(fā)現(xiàn)矩陣的運算不具有與實數(shù)除法相類似的運算.因此，教師設(shè)問矩陣的運算中是否也具有相類似的運算.

教師啟發(fā)學(xué)生實數(shù)的除法與乘法互為逆運算a÷b=a×1b（b≠0）.因此，可借助倒數(shù)將除法轉(zhuǎn)化為乘法.一個非零數(shù)a與其倒數(shù)1a滿足a×1a=1，因此，考慮矩陣中是否也具有類似性質(zhì)的矩陣，即任何數(shù)與1相乘都等于這個數(shù)本身.學(xué)生進行思考，可回憶起單位矩陣E具有這樣的性質(zhì)，即對方陣A而言，有AE=EA=E.鼓勵學(xué)生利用單位矩陣對逆矩陣進行類比定義.在此過程中提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性.

（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective）——PPT展示

根據(jù)線性代數(shù)課程體系，以及逆矩陣對后續(xù)學(xué)科（例如，現(xiàn)代密碼學(xué)）的重要性，明確本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：（1）理解可逆矩陣的概念;（2）掌握利用行列式判定矩陣可逆的充要條件以及利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法.教學(xué)重點為如何判定可逆矩陣及利用伴隨矩陣求逆矩陣.教學(xué)難點為對可逆矩陣概念的理解.德育點為培育學(xué)生求真務(wù)實的科學(xué)精神和精益求精的工匠精神.

（三）先測（Pre-assessment）——提問、PPT與板書相結(jié)合

以提問的方式回憶方陣的行列式運算以及伴隨矩陣的運算和性質(zhì)，即提問：（1）計算3階行列式的方法;（2）計算伴隨矩陣的過程;（3）伴隨矩陣的性質(zhì)AA*=A*A=|A|E.幫助學(xué)生理解后續(xù)逆矩陣的定理以及逆矩陣的計算.

（四）參與式學(xué)習(xí)（Participatory Learning）——特色設(shè)計

本階段采用多種教學(xué)方法相結(jié)合的方式進行課程特色設(shè)計，包括講授法、討論法、直觀演示法、練習(xí)法、自主學(xué)習(xí)法、任務(wù)驅(qū)動法等.具體分為以下6個教學(xué)點.

1.逆矩陣的定義：對矩陣A，如果存在矩陣B，使得AB=BA=E，則稱A為可逆矩陣，并稱B為A的逆矩陣.

引導(dǎo)學(xué)生通過觀察等式AB=BA=E自主發(fā)現(xiàn)：（1）矩陣與其逆矩陣滿足乘法交換律，但是一般矩陣的相乘不滿足交換律.（2）逆矩陣A的形狀，即A的列數(shù)和行數(shù).從而發(fā)現(xiàn)如果一個矩陣可逆，那么這個矩陣是方陣.教師再進行反問，是否方陣都是可逆矩陣.舉出反例，最后得到結(jié)論，矩陣可逆的必要條件是矩陣為方陣.

2.教師分享逆矩陣與數(shù)學(xué)家凱萊的生平，培育學(xué)生求真務(wù)實的科學(xué)精神和精益求精的工匠精神.

通過類比一個實數(shù)a存在倒數(shù)的充分必要條件是a≠0，幫助學(xué)生對上述定理進行記憶，并利用先測階段伴隨矩陣的性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生對該定理進行證明.

4.例題：設(shè)A=2231-10-121，判斷A是否可逆，若可逆，求其逆矩陣.教師利用定理對該例題進行講解，并給出規(guī)范書寫過程，在此過程中充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性.

5.本節(jié)內(nèi)容的前沿問題與發(fā)展動態(tài)，簡單介紹廣義逆（群逆、D逆）[5]的概念.

6.應(yīng)用實例，簡介逆矩陣在希爾密碼（Hill Cipher）破解中的重要應(yīng)用.

（五）后測（Post-assessment）——課堂練習(xí)

給出習(xí)題：判斷A=221315323是否可逆，若可逆，求其逆矩陣.

（六）總結(jié)（Summary）——整合要點，布置作業(yè)

通過動畫流程對本節(jié)知識點進行歸納，并進行動態(tài)演示，幫助學(xué)生加深記憶.

五、總 結(jié)

本文以“逆矩陣”為例，研究了基于BOPPPS教學(xué)模式下的線性代數(shù)微課教學(xué)設(shè)計.首先對BOPPPS教學(xué)模式和基于BOPPPS教學(xué)模式下的線性代數(shù)微課教學(xué)設(shè)計理念進行概述.然后對基于BOPPPS教學(xué)模式的“逆矩陣”教學(xué)設(shè)計進行了詳細(xì)說明.教師首先運用多媒體課件輔助課堂教學(xué)，通過創(chuàng)設(shè)情境，由實數(shù)的除法運算，引出逆矩陣的概念，并通過數(shù)“1”，鼓勵學(xué)生利用單位矩陣來定義逆矩陣.然后通過一個數(shù)存在倒數(shù)的充要條件是該數(shù)不為零，來幫助學(xué)生記憶逆矩陣的定理.最后在課程的設(shè)計中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注前沿、注重應(yīng)用，使得學(xué)生對逆矩陣的理解不再懸于空中，更加貼近實際.通過本文可以發(fā)現(xiàn)基于BOPPPS模式的教學(xué)設(shè)計不僅可以有效地提高教學(xué)質(zhì)量，而且能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率.但是基于PPPS模式的教學(xué)不能過于模式化，需要在教學(xué)中不斷改進和突破.

【參考文獻】

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