黃鵬程

【摘要】高中數(shù)學(xué)教師要進(jìn)行“深度教學(xué)”，準(zhǔn)確把握學(xué)情和深刻解讀教材至關(guān)重要，因?yàn)樗鼈兪且龑?dǎo)“深度學(xué)習(xí)”的基點(diǎn).因此，實(shí)現(xiàn)“深度教學(xué)”首當(dāng)其沖的一條就是數(shù)學(xué)教師要進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)”.近期，筆者作為評委參加了市高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課比賽活動(dòng)，感觸頗深，現(xiàn)將自己的一些體會(huì)與想法記錄下來，希望與數(shù)學(xué)同仁做進(jìn)一步的交流和探討.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);“深度學(xué)習(xí)”;體會(huì)與想法

【基金項(xiàng)目】本文系江蘇省揚(yáng)州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“關(guān)于微探究應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究”成果，課題編號(hào)：G/16/P/035.

高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課比賽的課題是“兩角和與差的余弦”，這一節(jié)課是三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式等知識(shí)的延伸，是兩角和與差的正弦、正切以及二倍角公式等知識(shí)的基礎(chǔ).對三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等問題的解決有重要的支撐作用.它的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于公式的運(yùn)用與證明.我們先來看看教材中的處理：

在直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸為始邊分別作角α，β，其終邊分別與單位圓交于P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），則∠P1OP2=α-β.由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，所以，我們只需考慮0≤α≤β≤π的情況.

教材中利用向量這一工具，采用將數(shù)量積“算兩次”的辦法推導(dǎo)兩角差的余弦公式.應(yīng)該說這種證明手法非常靈巧，將向量的工具性作用發(fā)揮得淋漓盡致.可問題在于，當(dāng)我們將引例中特定的角推廣到一般的任意角時(shí)，α-β還是不是向量 OP1=（cosα，sinα）與向量OP2=（cosβ，sinβ）的夾角呢？教材之中僅以一句“由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，所以，我們只需考慮0≤α≤β≤π的情況”輕輕帶過，可謂在關(guān)鍵之處“含糊”了.事實(shí)上，比賽中有兩位老師就是按教材中的這種處理照本宣科，當(dāng)然面對課堂中學(xué)生明顯呈現(xiàn)出的迷惑，老師根本不敢在這里糾纏，顯然是對這段文字的背后缺少深入的思考，因而也就沒有了主動(dòng)駕馭課堂的底氣.因此，這就反映了老師們沒有完全精準(zhǔn)地把握住問題的根源.造成理解上出現(xiàn)“含糊”的問題是學(xué)生對“兩種角”的認(rèn)知產(chǎn)生了沖突.實(shí)際上，兩個(gè)向量的夾角是由表示向量的兩條有向線段共起點(diǎn)所形成的平面角，它的范圍是[0，π]，是一種只論張合程度的“幾何角”，而角α-β是放置在坐標(biāo)系內(nèi)的角α，β（以x軸為始邊旋轉(zhuǎn)）的“差角”，其范圍是（-∞，+∞），是一種大小與旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)有關(guān)的“代數(shù)角”.

在這里，如果我們引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“微探究”，探究問題為：如何將這個(gè)“幾何角”向“代數(shù)角”轉(zhuǎn)化？最終可發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上只需分兩種情況即可：

① 當(dāng)點(diǎn)P1在直線OP2上或上方時(shí)，角β+θ與角α終邊相同，故α=β+θ+2kπ，k∈Z，即α-β=θ+2kπ，k∈Z;

② 當(dāng)點(diǎn)P1在直線OP2下方時(shí)，角β-θ與角α終邊相同，故α=β-θ+2kπ，k∈Z，即α-β=-θ+2kπ，k∈Z.

接下來的證明已經(jīng)順理成章了.

然而引起筆者更多思考的是，從中反映出當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的功利化現(xiàn)象令人堪憂，充分研磨的賽課對課本中的“模糊”之處的處理尚顯不足.推想一下，日常教學(xué)中淡化概念原理公式的生成，而急于切入數(shù)學(xué)應(yīng)用，恐怕已成為當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài).長此以往，學(xué)生無法形成或者無法完全形成數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).

需要指明的是，我們今天談核心素養(yǎng)不是喊口號(hào)，不是玩文字游戲，更不意味著對過去的全盤否定.其實(shí)，課堂只要存在，課堂教學(xué)改革就永遠(yuǎn)不會(huì)停下前進(jìn)的步伐.不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)的改革總是伴隨著課改理念的革新而不斷推進(jìn)的，而數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐又促使課改理念的永不停步地革故鼎新，并且每一次新理念的提出都是對過去觀念的批判性繼承，并進(jìn)行不斷地豐富和發(fā)展，使教育教學(xué)目標(biāo)的實(shí)施一步步變得更加具體、明確、可操作.

從本文所講的教學(xué)案例看來，要想把培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的工作真正落地生根，基于核心素養(yǎng)形成的“深度學(xué)習(xí)”課堂——“深度教學(xué)”理所當(dāng)然成為當(dāng)前教育形勢下的必然之選.因?yàn)椤吧疃葘W(xué)習(xí)”是內(nèi)源性學(xué)習(xí)，只有“深度學(xué)習(xí)”才可能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).我們這里所講的“深度學(xué)習(xí)”不是機(jī)械學(xué)習(xí)研究領(lǐng)域的概念，它是指運(yùn)用所學(xué)的本學(xué)科知識(shí)和跨學(xué)科知識(shí)，運(yùn)用常規(guī)思維和非常規(guī)思維，將所學(xué)的知識(shí)和技能用于解決實(shí)際問題，以發(fā)展批判性思維、創(chuàng)新能力、合作精神和交往技能的認(rèn)知策略，與傳統(tǒng)的外部灌輸、被動(dòng)接受的“淺層學(xué)習(xí)”相比具有強(qiáng)化情感驅(qū)動(dòng)、立足問題解決、強(qiáng)調(diào)課程整合、突出思維深度等特征.從本文所論及的案例可見，要想使學(xué)生在課堂中能夠進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)”，在課堂教學(xué)中引入“微探究”，是一個(gè)不錯(cuò)的解決辦法.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要對數(shù)學(xué)文本尤其是數(shù)學(xué)教科書進(jìn)行深入地學(xué)習(xí)和研究，通過數(shù)學(xué)文本的精讀細(xì)研，決不放過每一個(gè)“含糊之處”，發(fā)現(xiàn)并理解其數(shù)學(xué)本質(zhì).只有當(dāng)教師真正“吃透”所要教授的內(nèi)容，才能深入淺出地、有針對性地設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，才能充分關(guān)注課堂中學(xué)生的深度參與和深度思維組織課堂教學(xué)，不僅要教會(huì)學(xué)生解題，更要讓學(xué)生了解知識(shí)的來龍去脈，掌握學(xué)習(xí)方法，學(xué)會(huì)與人合作，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和理性精神.

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