唐敏 嚴忠權(quán)

【摘要】2019年全國高考Ⅲ卷文科數(shù)學第19題通過對圖形的翻折問題，考查四點共面、面面垂直的判定、求平行四邊形面積，著重考查了立體幾何中的點，線面位置關(guān)系的判斷及證明，突出對學生分析問題、解決問題、空間想象能力的考查，此題推理論證及求解過程中體現(xiàn)出數(shù)學核心素養(yǎng)的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算[1].

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學;核心素養(yǎng);立體幾何;解法探究

一、試題呈現(xiàn)

圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2所示.

（1）證明圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE;

（2）求圖2中的四邊形ACGD的面積.

二、解法賞析

（1）① 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，

故AD，CG確定一個平面，從而四點A，C，G，D共面.

② 方法一：由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，

故AB⊥平面BCGE.

又因為AB平面ABC，

所以平面ABC⊥平面BCGE.

方法二：取BC的中點H，連接AE，AH，EH.

由已知得，四邊形BCGE是菱形，且∠EBC=60°，

三、教學建議

（一）回歸教材，夯實基礎(chǔ)

高考試題“源于教材”，既要體現(xiàn)考試的公平、公正，又“高于教材”，對中學數(shù)學教學做出有效檢驗，因此，要回歸教材、挖掘教材、吃透教材.點、線、面判定與證明，是立體幾何的基礎(chǔ)，要認真學習幾大公理及幾條推論，對教材上的性質(zhì)定理、判定定理的推導和證明熟記于心，很多高考題，源于教材例題與練習題的改編，平時復習要吃透教材，夯實基礎(chǔ).

（二）培養(yǎng)學生推理論證及直觀想象能力

在講授立體幾何的過程中，讓學生自己動手制作一些簡單的幾何模型可以幫助想象.觀察幾何模型中的點、線、面之間的位置關(guān)系，螺旋上升式地培養(yǎng)學生對立體圖形的直觀想象能力和辨別能力.開始學習必修2時要重點培養(yǎng)學生的作圖能力.可以從最基礎(chǔ)、最簡單、最熟悉的正方體、長方體、三棱柱、三棱錐、球、圓柱、圓錐等開始畫，逐步過渡到組合圖形的畫法.但是在作圖過程中要樹立起立體觀念，通過作圖訓練使學生通過三視圖，經(jīng)過觀察、推理、論證，能快速、準確無誤地還原出立體圖形.立體幾何的直觀想象并不是想當然的想，而是以題設(shè)的條件為依據(jù)，題目的求解為目的.此題就是利用圖1平面圖形經(jīng)過翻折以后形成圖2的立體圖形，在翻折的過程中培養(yǎng)的學生的推理論證及直觀想象能力.

（三）規(guī)范書寫，加強運算

1.還要注重規(guī)范書寫.很多學生的高考大題的作答十分不規(guī)范，字跡潦草，很多考生對作輔助線、證明、求解三個環(huán)節(jié)交代不清，表達不夠規(guī)范、嚴謹，前因后果不連續(xù)，該用屬于用包含，該用包含用屬于，元素關(guān)系理解不清，符號語言不會運用等.這就要求學生在平時訓練時養(yǎng)成良好的答題習慣，達到前有因后又果，書寫時字跡工整，以教材上例題的答題要求、方法、步驟、推理過程作為藍本.由于數(shù)學學科的特殊性，所以答題的規(guī)范性在每一次考試中都很重要，在立體幾何大題中尤為重要，因為它更注重邏輯推理、直觀想象.在按步驟給分的前提下，平時的每一道題的訓練都要培養(yǎng)這種規(guī)范性答題，有利于提高得分.

2.加強運算.很多文科學生的計算能力不夠強，本來過程全對，就是因為最后的計算出錯而被扣分，此題很多學生都會運用余弦定理求解，公式運用正確，最后的結(jié)果錯誤，導致計算平行四邊形的面積錯誤，有的學生前面都對，最后計算平行四邊形的面積算錯，實屬不該.所以，在平時的每次訓練中應(yīng)加強學生數(shù)學運算的培養(yǎng)，提升計算準確度和計算速度.

（四）重視解題方法的總結(jié)與指導

高考立體幾何所占的分值比較大，所以在平時的訓練中應(yīng)重視解題思路與方法的總結(jié)與指導.熟記重要的推理、證明以及重要結(jié)論有利于快速解決填空題或選擇題，文科數(shù)學考試說明對建立空間直角坐標系不做要求，所以首先推薦的是定義法、幾何法求解.

（五）著重培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)

在必修2的教學過程中，由平面圖到立體圖是一個抽象的數(shù)學過程，立體幾何的初步，空間幾何體的表面積、體積，點、線、面之間的位置關(guān)系的推理、證明過程中體現(xiàn)出直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).所以，教師在立體幾何的教學過程中應(yīng)加強核心素養(yǎng)的滲透.此題屬于翻折類問題，通過不同的解法有利于提高學生分析問題、解決問題的能力，潛移默化地培養(yǎng)了學生的核心素養(yǎng).

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.