金月丹　張維忠

【摘 要】 基于對數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的理解，借鑒相關(guān)研究形成對高考試題中數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平分析的理論框架，對近5年高考試題中的數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平進(jìn)行統(tǒng)計分析.研究發(fā)現(xiàn)：近5年高考試卷中數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平總體較高，超過六成的試題為不可分離型，各類數(shù)學(xué)文化類型運(yùn)用水平最高的是公共生活類，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平較低，數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科技等文化類型中有相當(dāng)比例為可分離型的運(yùn)用水平.

【關(guān)鍵詞】 高考試題;數(shù)學(xué)文化;運(yùn)用水平

數(shù)學(xué)除了知識技能及應(yīng)用以外，更重要的是它本身就是一種文化[1].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》把“注重數(shù)學(xué)文化的滲透”和“引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化價值”作為基本理念之一[2].《2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容》中明確提出數(shù)學(xué)學(xué)科“增加數(shù)學(xué)文化”的考查要求[3].彰顯數(shù)學(xué)文化的命題在高考中尤為重要，但在目前高考試題中，把數(shù)學(xué)文化的考查等同于用數(shù)學(xué)史料等包裝數(shù)學(xué)文化的情況較為普遍，這不僅難以達(dá)到對數(shù)學(xué)文化的真正考查，還會在無形之中增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)[4].為此，圍繞高考數(shù)學(xué)是“如何滲透數(shù)學(xué)文化的”這一問題，對近5年高考試題進(jìn)行統(tǒng)計分析與討論，以期為我國的高考數(shù)學(xué)試題編擬和教學(xué)資源的開發(fā)提供啟示與借鑒.

1 分析框架

將數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平作為衡量高考數(shù)學(xué)是“如何滲透數(shù)學(xué)文化”的指標(biāo).沈春輝等按數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識的相關(guān)程度將數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平分為點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式五種類型，基于de Lange的研究將其他類型的數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平分為外在型和內(nèi)在型兩種類型，其中內(nèi)在型又分為可分離型和不可分離型[5].不少研究者借此分析框架研究數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化，但此框架未將數(shù)學(xué)史與其他數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平統(tǒng)一.而后唐恒鈞等對試題中數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平統(tǒng)一為附加型和整合型兩種方式，其中整合型進(jìn)一步細(xì)分為可分離的數(shù)學(xué)文化和不可分離的數(shù)學(xué)文化兩種[6].

在此基礎(chǔ)上，本文將數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平分為附加型、可分離型、不可分離型三個依次上升的水平.其中，“附加型”指數(shù)學(xué)文化素材僅以圖片、語言等方式附加在試題的外圍，除去這些文化素材不會影響學(xué)生對問題的解決.比如2018年全國卷Ⅱ理題8提供了數(shù)學(xué)家陳景潤以及哥德巴赫猜想的素材，但刪去這些文化素材不影響學(xué)生解答在不超過30的素數(shù)中隨機(jī)選擇兩個數(shù)其和為30的概率.“可分離型”指用數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)文化是一層外衣，所解決的問題是人為地強(qiáng)加于文化素材之上的.比如2015年江蘇卷題5呈現(xiàn)形狀大小相同的4只球，要求學(xué)生回答隨機(jī)摸出2只顏色不同球的概率.“不可分離型”指數(shù)學(xué)文化是試題的有機(jī)組成部分，可以用文化理解數(shù)學(xué)，或用數(shù)學(xué)解決文化中固有的問題.比如2018年上海卷題19結(jié)合實(shí)際情況創(chuàng)設(shè)自駕群體的人均通勤時間模型，要求學(xué)生分析這一函數(shù)模型闡述其實(shí)際意義.

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象

將全國卷、北京卷、浙江卷、江蘇卷、上海卷、天津卷近5年的文理科高考數(shù)學(xué)試題作為文本分析對象，即2015—2019全國卷Ⅰ（文理）、2015—2019全國卷Ⅱ（文理）、2016—2019全國卷Ⅲ（文理）、2015—2019北京卷（文理）、2015—2016浙江卷（文理）、2017—2019浙江卷、2015—2019江蘇卷、2015—2016上海卷（文理）、2017—2019上海卷、2015—2019天津卷（文理）一共67份試卷.全國卷涉及的省份廣，北京卷、浙江卷、江蘇卷、上海卷、天津卷堅持自主命題，已逐漸形成自身的命題特色.對它們進(jìn)行研究，有利于較為全面地明晰我國當(dāng)前數(shù)學(xué)文化在高考試題中的滲透情況，提高考試題中數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平.2.2 分析過程

在統(tǒng)計過程中，需遵循以下操作標(biāo)準(zhǔn)：首先，按以數(shù)學(xué)文化元素與高考試題的設(shè)置為共同的分析單元，即試題中出現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)文化元素分別計數(shù)，同一數(shù)學(xué)文化元素出現(xiàn)在不同試題中也分別計數(shù).其次，當(dāng)一道試題中包含若干小題，仍記為一道并選擇最高的運(yùn)用水平作為此題的分類.

數(shù)據(jù)的分析由兩位數(shù)學(xué)教育研究者分別按照數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平的分類說明對近5年高考試題獨(dú)立編碼，對比分析結(jié)果，對其中不一致的條目討論達(dá)成一致意見.

3 研究的結(jié)果與討論

據(jù)統(tǒng)計，近5年有關(guān)數(shù)學(xué)文化的試題有168道（數(shù)學(xué)文化尚無統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，本文結(jié)合《2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容》以及數(shù)學(xué)文化的廣義定義，通過詳細(xì)的文本分析將數(shù)學(xué)文化界定為數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)等.這168道試題中出自數(shù)學(xué)史的試題15道;出自數(shù)學(xué)與生活的試題120道;出自數(shù)學(xué)與科技的試題17道;出自數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)的試題16道.）

按照分析框架對168道試題進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到試題中數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平情況，如圖1所示.

總體上，數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平較高，以不可分離型為主，為112道，占66.67%.即試題要求學(xué)生回答的問題往往是情境中固有的，這類問題的確存在于生活中，具有實(shí)際意義并不是人為強(qiáng)加的.其次是可分離型，為48道，占28.57%，這類問題往往是為了解決某個問題人為強(qiáng)加數(shù)學(xué)文化背景.當(dāng)然，也有試題是附加型，占4.76%，其數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平最低，僅完成了數(shù)學(xué)文化融入試題的表面要求.

3.1 附加型

數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平為附加型的試題共8道，8道試題的數(shù)學(xué)文化背景均為數(shù)學(xué)史，占數(shù)學(xué)史試題總量的53.33%.具體如下：

從表中可以發(fā)現(xiàn)，近5年每年都有數(shù)學(xué)史運(yùn)用水平為附加型的試題，其中有3道出自數(shù)學(xué)名著，3道出自數(shù)學(xué)家，2道出自數(shù)學(xué)名題，說明數(shù)學(xué)史內(nèi)容類型對運(yùn)用水平影響不大.這8道試題對學(xué)生的文化素養(yǎng)要求幾乎沒有，對學(xué)生的認(rèn)知水平要求不高，學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上只需機(jī)械性地使用程序即可解題.比如2018年浙江卷題11，命題專家將試題置于數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中的“百雞問題”中，可以說試題具有明顯的數(shù)學(xué)史特征.而實(shí)際解決的問題是解二元一次方程組，與史料之間并無太大關(guān)系，相互之間可以分離，甚至去掉《張邱建算經(jīng)》中的百雞問題，將試題改成已知三元一次方程組

x+y+z=100，5x+3y+13z=100，

當(dāng)z=81時，x= ，y=也不影響學(xué)生的解答.再如，2015年全國卷Ⅱ理題8，出現(xiàn)在試題中的“更相減損術(shù)”是求最大公約數(shù)的有效方法，滲透著中國古人的智慧.試題要求學(xué)生回答輸入a=14，b=18后輸出的a等于多少，對于大部分不知道“更相減損術(shù)”但理解程序框圖的學(xué)生依然能得到正確答案，因此試題沒有很好地考查此算法的精妙之處.又或者2019年浙江卷題4提到的“祖暅原理” ，這個原理是淺顯易懂的，《人教A版》教材中第30頁的閱讀材料上也有專門的介紹，但是試題并未考查到祖暅原理的有關(guān)內(nèi)容，若刪去題干對“祖暅原理”的介紹直接要求學(xué)生根據(jù)三視圖求該柱體的體積也不影響學(xué)生的解答.

可見，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平以中、低水平為主，這一方面不能很好地落實(shí)高考對數(shù)學(xué)文化命題的理念——通過試題引導(dǎo)學(xué)生提高人文素養(yǎng)、傳承民族精神、樹立民族自豪感.另一方面無法讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)扎根于文化，又推動文化的發(fā)展.如何提高數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平尤其是數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平仍有待研究.

3.2 可分離型

數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平為可分離型的試題共48道，其中44道試題的數(shù)學(xué)文化背景為數(shù)學(xué)與生活，約為數(shù)學(xué)與生活試題總量的三分之一，這說明要進(jìn)一步優(yōu)化生活素材的運(yùn)用水平.進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，公共生活類試題運(yùn)用水平較高，以不可分離型為主，而個人生活中有超過七成屬于可分離型.

其中一部分試題文化素材缺乏新意，比如2015年江蘇卷題5摸球情境、2016年江蘇卷題7擲骰子情境、2018年全國卷Ⅰ理題15挑選學(xué)生參加比賽情境等等.這些背景素材未能結(jié)合社會發(fā)展的熱點(diǎn)問題.背景材料僅僅掩飾數(shù)學(xué)問題，現(xiàn)實(shí)生活中幾乎不需要解決此類問題，數(shù)學(xué)與文化相分離.可以發(fā)現(xiàn)這些“可分離型”試題往往以“計數(shù)原理與排列組合”為數(shù)學(xué)知識載體，將“計數(shù)原理與排列組合”知識與文化更好地關(guān)聯(lián)是提高試題中數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平的一個途徑.關(guān)于“計數(shù)原理與排列組合”，在數(shù)學(xué)歷史上，丹尼爾伯努利提出著名的“裝錯信封問題”，大數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過它.在命制試題時，命題專家也可嘗試去挖掘這方面的數(shù)學(xué)史內(nèi)容融入試題中.

相比較而言，2017年全國卷Ⅰ理題12緊扣國家對“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”的要求，選擇的“大學(xué)生軟件激活碼”這一素材新穎生動，與學(xué)生生活貼近，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的趣味性，對即將步入大學(xué)校園的學(xué)生起著引導(dǎo)作用，但在現(xiàn)實(shí)生活中不會設(shè)置如此復(fù)雜的激活碼.試題要求解決的該款軟件的激活碼問題是強(qiáng)加的，因此運(yùn)用水平仍不高.

運(yùn)用水平為可分離型的試題大多將數(shù)學(xué)與生活關(guān)聯(lián)，運(yùn)用水平仍不高主要是因?yàn)橛们榫硜硌陲棓?shù)學(xué)問題，僅僅要求學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決處于情境的數(shù)學(xué)問題，這和所選擇的文化素材缺乏真實(shí)、自然、合理有關(guān).

3.3 不可分離型

這類試題的數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平最高，從統(tǒng)計圖中可以看到，四類數(shù)學(xué)文化類型的試題中均有不可分離型，其中占比最多的是數(shù)學(xué)與生活類試題，這與數(shù)學(xué)與生活類試題本身的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其它三類有一定的關(guān)聯(lián).適當(dāng)?shù)卦黾訑?shù)學(xué)文化高考題，提高試題中數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.

數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個有機(jī)組成部分，數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平高的試題注重文化與數(shù)學(xué)知識的有機(jī)結(jié)合，注重體現(xiàn)其思維的本質(zhì)內(nèi)涵.如2019年北京卷理題6以天文學(xué)中對天體明暗程度的刻畫為背景，融合數(shù)學(xué)知識、物理知識、地理知識，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)科學(xué)的基礎(chǔ)，在其他領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用.2019年全國卷Ⅱ理題16融入中華傳統(tǒng)文化——金石文化，給予了幾何體真實(shí)背景，具有濃厚的文化氣息.試題要求學(xué)生根據(jù)題干，憑借直觀想象能力將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，學(xué)生在解決此題的過程中，不僅能感受到幾何體的對稱美，而且能感受到這種美在解決問題中的重要力量.

運(yùn)用水平高的試題善于創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，樹立價值引領(lǐng).如2019年北京卷文題14，以大學(xué)生創(chuàng)業(yè)這一與學(xué)生緊密聯(lián)系的情境設(shè)計問題，素材源于社會生活，源于真實(shí)情境，讓學(xué)生感受到美好生活不僅需要智慧，更要通過勞動來創(chuàng)造.2019年全國卷Ⅰ理題4通過黃金分割的介紹以及對著名雕像維納斯的舉例，試題要求學(xué)生將黃金分割應(yīng)用到對個人身高的估計中，這與近幾年數(shù)學(xué)文化情境的設(shè)置、內(nèi)容的選擇相比有很大的創(chuàng)新.試題給學(xué)生美的體驗(yàn)的同時，引導(dǎo)著學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界.

另外，一些試題可能題干更長一點(diǎn)，但題目不難，注重靈活性，體現(xiàn)出高考試題從“能力立意”到“素養(yǎng)導(dǎo)向”的過程.如2015年全國卷Ⅰ理題19，信息豐富且呈現(xiàn)形式多樣，關(guān)注學(xué)生對非連續(xù)性文本的閱讀能力，要求學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)將現(xiàn)實(shí)問題“數(shù)學(xué)化”.2018年全國卷Ⅱ文理題18用圖表呈現(xiàn)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額變化，要求學(xué)生從兩個不同的模型計算出結(jié)果的同時能比較出更加可靠的預(yù)測值，靈活地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

一道“好”的數(shù)學(xué)文化試題，應(yīng)當(dāng)具有高運(yùn)用水平的特點(diǎn)，有研究表明，當(dāng)前數(shù)學(xué)文化教學(xué)存在“低應(yīng)用”的現(xiàn)象[7]，引起這一現(xiàn)象的重要原因之一就是數(shù)學(xué)試題，特別是高考試題中的數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平不高.上述試題可以為后續(xù)命題者命制優(yōu)秀試題與廣大一線教師進(jìn)行數(shù)學(xué)文化教學(xué)提供借鑒.

4 研究的結(jié)論與啟示

基于近5年高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平的分析，可得出如下結(jié)論：

（1）數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平總體較高，不可分離型占66.67%，可分離整合型占28.57%.各類數(shù)學(xué)文化類型運(yùn)用水平最高的是公共生活類，約八成的公共生活類試題達(dá)到不可分離型，其數(shù)學(xué)文化內(nèi)容更真實(shí)、自然、合理，運(yùn)用水平相對較高.

（2）數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平較低，有8道（共16道）以數(shù)學(xué)史為背景試題的運(yùn)用水平為附加型.數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)與科技等文化類型有相當(dāng)比例為可分離型的運(yùn)用水平，文化與試題的結(jié)合有待進(jìn)一步深化.