王霞

[摘 要]? 初中數(shù)學(xué)命題教學(xué)應(yīng)立足核心素養(yǎng)，有效運用變式策略，從命題的發(fā)現(xiàn)、證明和運用方面，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);變式策略;命題教學(xué);核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)命題是表示數(shù)學(xué)對象性質(zhì)或關(guān)系的判斷語句。初中階段的命題學(xué)習(xí)主要是指對定理和公式的學(xué)習(xí)。定理公式具有言簡意賅、環(huán)環(huán)相扣的特點和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，直接關(guān)乎到學(xué)生抽象、推理、建模等能力的培養(yǎng)，而“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模”又是初中階段學(xué)生所必備的重要核心素養(yǎng)。因此，命題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。變式策略是指通過變更觀察事物的角度和方法，將問題中的非本質(zhì)因素改變，突出和實現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)教學(xué)的一種方法模式。變式策略對學(xué)生創(chuàng)新精神和思維品質(zhì)的培養(yǎng)具有積極能動作用，是落實命題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效手段。由于命題包含著數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的完整的邏輯關(guān)系，命題教學(xué)可以分為發(fā)現(xiàn)的、證明的和運用的三種形式。下面，從這三方面入手，立足核心素養(yǎng)，就如何在命題教學(xué)中有效實施變式策略進行探討。

一、命題發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的變式——同化認(rèn)知，尋探“問題境域”必然性

案例1 在學(xué)習(xí)人教版教材七年級下冊“垂線段最短”時，教材中提出如下問題：如圖1，在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠能使渠道最短？對于七年級的學(xué)生而言，剛接觸幾何證明，解決這個問題有若干困難：首先，題目中的“河岸”和“農(nóng)田”應(yīng)抽象為哪些要素;其次，直線外一點和直線上某點所連的“線”中，選擇哪種連線更適合;再次，連線的位置在哪里才能保證路徑最短，為什么最短。基于學(xué)生的這種心理需求，可利用幾何畫板軟件，設(shè)計可觀量的動態(tài)變化操作：操作1，如圖2，將“河岸”和“農(nóng)田”分別抽象為直線L和直線外一點P。從直線L上任取一點D，分別用線段、折線、弧線連接點P和點D，同時度量顯示它們的路徑長度。拖動點D，不斷變換點D在直線上的位置，觀察對比點D在同一位置時三條路徑長度的大小。操作2，如圖3，改變觀察對象，拖動點D，不斷變換點D在直線上的位置，觀察對比點D在不同位置時線段PD的長度及∠PDF的度數(shù)。

【設(shè)計意圖】以上兩個“操作”的設(shè)計，旨在讓學(xué)生從不同的點位和視角來觀察比較，體會“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”這一命題的合理性?！按咕€段最短”是幾何公理，屬于原發(fā)性命題，對于這類命題的教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生借助變式思維尋找合適的路徑，對命題進行深刻解讀學(xué)習(xí)，使命題出現(xiàn)的合理性和必要性同化到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和思維能力。

案例2 如圖4，點O是四邊形ABCD內(nèi)部一點，連接AO、BO、CO、DO，利用所得到的四個三角形，求四邊形ABCD四個內(nèi)角的和;若將四邊形變?yōu)槲暹呅?，則五邊形的內(nèi)角和是多少度？n邊形呢？

變式1，如圖5，若點O與四邊形ABCD的頂點B重合，連接BD，其他條件不變，則有怎樣的結(jié)論？變式2，如圖6，若點O是四邊形ABCD邊BC上任一點（不與B、C重合），連接OA、OD，其他條件不變，則有怎樣的結(jié)論？

【設(shè)計意圖】本例是在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理的基礎(chǔ)上，對多邊形內(nèi)角和定理的探究和發(fā)現(xiàn)。以四邊形為例，設(shè)計點O在不同位置時的問題情形，讓學(xué)生在不同情境的探索中，發(fā)現(xiàn)歸納多邊形內(nèi)角和公式。像這種在已有定理的基礎(chǔ)上推理得到的繼發(fā)性命題，要著眼于構(gòu)造不同情形下而本質(zhì)不變的問題“境域”。在解決問題的過程中，讓學(xué)生感受到命題發(fā)生、發(fā)現(xiàn)的必然性，同時在探究過程中，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模意識。

二、命題證明教學(xué)中的變式——多元組合，提升數(shù)學(xué)思維層次

案例3 勾股定理的證明。

人教版教材八年級下冊介紹了利用“趙爽弦圖”證明這個命題的方法（如圖7，證明過程略）。由此，可以沿著“拼接全等直角三角形”的思路，設(shè)計不同的變式圖形加以證明。

變式1，將圖7中的四個全等直角三角形沿各自斜邊翻折，得到如圖8所示的圖形，試證明勾股定理;變式2，將圖7中相鄰的兩個全等直角三角形沿各自斜邊翻折，其他兩個直角三角形位置不變，得到如圖9所示的圖形，試證明勾股定理;變式3，只保留圖7中兩個相鄰的直角三角形，構(gòu)造如圖10所示的圖形，試證明勾股定理。

【設(shè)計意圖】基于“趙爽弦圖”的三個圖形變式，都能較為容易地證明勾股定理，命題證明中宏觀思路的確立，通常都與解決問題的視角有關(guān)，不同圖形下的證明思路對應(yīng)不同的思維層面，這些變式之間既有相通之處又各有特點。像本案例中通過變化直角三角形的排列方式，也變化出多元思維的“萬花筒”，給學(xué)生提供了洞察這一連串推導(dǎo)證明背后真相的機會，進而對知識的精髓產(chǎn)生深刻的認(rèn)識，更好地提升數(shù)學(xué)思維層次。

三、命題運用教學(xué)中的變式——形成能力，促進學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展

案例4 在學(xué)習(xí)了平方差公式[（a+b）（a-b）=a2-b2]后，教材提供了以下例題：

例1 運用平方差公式計算：（1）[（3x+2）（3x-2）];（2）[（-x+2y）（-x-2y）]

多數(shù)學(xué)生能夠正確地解答上述例題，但在日常教學(xué)實踐中也不難發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生對公式的理解僅停留在比較淺的層面，對公式本身結(jié)構(gòu)特征的理解還不夠透徹。為此，設(shè)計下列逐層遞進的變式訓(xùn)練題組：

變式1 利用平方差公式計算各式：（1）[（2+3x）（3x-2）];（2）[（2y-x）（-2y-x）]

變式2 填空：（1）[（____-____）（-3x+2）=9x2-4];（2）[（____-____）（___+____）=x2y2-0.36]

變式3 化簡求值：當(dāng)[x=-12]時，求[（x-1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）]的值。

【設(shè)計意圖】以上變式訓(xùn)練設(shè)計采用了題組的形式，旨在拓寬思路，加強對命題的理解和鞏固。變式1是改變多項式中“項”的位置，打破了各項“按位就坐”的順序，學(xué)生經(jīng)過觀察整理后會發(fā)現(xiàn)各項符號特征與公式是完全對應(yīng)的，從而明確決定公式結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵因素是符號特征;變式2是讓學(xué)生從逆向運用的角度，進一步理解公式結(jié)構(gòu)特征的內(nèi)涵，也為后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解做鋪墊;變式3需要添加因式[（x+1）]后使用公式，旨在在鞏固平方差公式的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生對問題結(jié)構(gòu)層次的理解更加深刻，初步建立運用公式解決問題的思維體系。

命題運用教學(xué)中的變式訓(xùn)練，要注意數(shù)學(xué)活動的開展，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，循序漸進，夯實基礎(chǔ)，建構(gòu)體系，形成能力。通過提供系統(tǒng)的、多樣化情境的變式訓(xùn)練活動，不斷啟發(fā)學(xué)生從解決問題中獲取思維活動經(jīng)驗，進而提高學(xué)生將陳述性命題轉(zhuǎn)化為程序性命題的能力，逐步提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)水平。

[參 考 文 獻]

[1]徐光考.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計[M].北京：國家行政學(xué)院出版社，2013.

[2]鄭慶全.數(shù)學(xué)命題教學(xué)研究：數(shù)學(xué)教育研究“繞不開的廣闊領(lǐng)地”[J].山東教育學(xué)院學(xué)報，2007（5）.

（責(zé)任編輯：趙曉梅）