楊 葉

（南京藝術(shù)學(xué)院 設(shè)計(jì)學(xué)院，南京 210013）

一、密鋪圖案的由來(lái)與發(fā)展

密鋪平面（Tessellation）是指一個(gè)或多個(gè)幾何形狀沒(méi)有間隙或不相重疊地平鋪一個(gè)表面，可以看做是一種二維平面網(wǎng)格的劃分。早在公元前4000年，蘇美爾人就開(kāi)始使用密鋪法來(lái)建造由粘土磚圖案形成的墻壁裝飾。1619年，約翰尼斯·開(kāi)普勒（Johannes Kepler）對(duì)“密鋪”進(jìn)行了早期文獻(xiàn)研究。他在《世界的和諧》（Harmonices Mundi）一書(shū)中撰寫(xiě)了有關(guān)規(guī)則和半規(guī)則密鋪的文章，據(jù)推測(cè)開(kāi)普勒是第一個(gè)探索并解釋蜂巢六邊形密鋪結(jié)構(gòu)的人。

經(jīng)過(guò)一代代科學(xué)家和數(shù)學(xué)家的研究，在20世紀(jì)末，1987年，布蘭科·格林鮑姆（Branko Grünbaum）與謝潑德（G.C.Shephard）出版了著作《鋪砌與圖案》（Tilings and Patterns），該書(shū)梳理匯總了大量有關(guān)密鋪的數(shù)理法則，對(duì)后世產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

二維平面密鋪分為周期性密鋪和非周期性密鋪。周期性密鋪圖案（圖1）主要分為規(guī)則密鋪（regular tessellation）、半規(guī)則密鋪（semi-regular tessellation）和不均勻半規(guī)則密鋪（Demi-regular tessellation）。密鋪法的本質(zhì)是滿足多邊形頂角相接點(diǎn)處內(nèi)角和等于360°。規(guī)則密鋪是指同一形狀的正多邊形密鋪一個(gè)平面，只有6個(gè)正三角形（內(nèi)角為60°），4個(gè)正四邊形（內(nèi)角為90°）和3個(gè)正六邊形（內(nèi)角為120°）可以完成密鋪，因?yàn)槠溆嗾噙呅蔚膬?nèi)角度數(shù)都無(wú)法被360°整除。半規(guī)則密鋪是指兩種或兩種以上的正多邊形密鋪一個(gè)平面，但每一個(gè)相接點(diǎn)周圍的正多邊形種類和順序完全相同，這一密鋪法有8種組合方式。以下用（nm）表示這8種組合方式，n為正多邊形的邊數(shù)，m為正多邊形的個(gè)數(shù)，順時(shí)針排布：（34，6），（33，42），（32，4，3，4），（3，4，6，4），（3，6，3，6），（3，122），（4，6，12），（4，82）。不均勻半規(guī)則密鋪是指兩種或兩種以上的正多邊形的組合密鋪，這一法則的交接點(diǎn)混合了多種密鋪圖形，不同于前兩者須滿足交界點(diǎn)處密鋪圖形完全相同的要求。對(duì)于符合不均勻半規(guī)則密鋪的圖形組合在學(xué)術(shù)上一直存在爭(zhēng)議，目前認(rèn)同的較為精確的圖形組合共有20種，由格倫鮑姆于1987年發(fā)表在著作Tilings and Patterns上。此外，約公元600年，從古羅馬、薩珊王朝及拜占庭帝國(guó)衍生出的伊斯蘭密鋪圖案也是周期性密鋪模型的重要分支，由于伊斯蘭文化的無(wú)神主義論促使藝術(shù)家們基于數(shù)學(xué)探索出了一套完備的圖案裝飾法則，以正方形和圓作為基底展開(kāi)創(chuàng)作。

圖1 周期性密鋪圖案的分類

圖2 彭羅斯型密鋪

圖3 特魯謝法則的兩個(gè)基本模型

圖4 以正三角形和正六邊形作為框架模件的圖案設(shè)計(jì)（作者自繪）

圖5 密鋪圖形框架內(nèi)模件設(shè)計(jì)規(guī)則（作者自繪）

圖6 曲線填充型模件設(shè)計(jì)（作者自繪）

以上密鋪方式均屬于周期性密鋪，非周期性密鋪的模型也不在少數(shù)。彭羅斯型密鋪（Penrose Tiling）是其中著名的模型之一，它是以英國(guó)數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）命名的。彭羅斯型密鋪共有三種類型，五角星型密鋪（pentagonal tiling）、風(fēng)箏和飛鏢型密鋪（Kite and dart tiling）以及最為出名的菱形密鋪（Rhombus tiling）（圖2），由一個(gè)內(nèi)角為36°、144°、36°和144°的窄菱形和一個(gè)內(nèi)角為72°、108°、72°、108°的粗菱形拼接得到。

如今，密鋪理論的應(yīng)用頗多。二維和三維密鋪模型都得到廣泛的發(fā)展。如建筑領(lǐng)域中，密鋪圖案在建筑表皮和空間結(jié)構(gòu)的應(yīng)用；如晶體學(xué)領(lǐng)域中，密鋪模式如何優(yōu)化晶體結(jié)構(gòu)等等。

二、特魯謝法則的延伸（Truchet Tiling）——“中心對(duì)稱邊線分割法”

特魯謝法則是在正四邊形密鋪法則的基礎(chǔ)上，提出的對(duì)密鋪圖形加入裝飾性紋樣的法則，且裝飾性紋樣具有使正四邊形四邊任意相接的特性。1704年塞巴斯蒂安·特魯謝（Sebastien Truchet）在一篇名為Mémoire sur les combinaisons的文章中首次提及。特魯謝法則主要有兩個(gè)模型（圖3）。一是等腰直角三角形模件：沿正四邊形的對(duì)角線將其平分為兩個(gè)三角形并將其中一個(gè)填色。以此模件為基準(zhǔn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)、鏡像的手法可以得到該單元共四個(gè)方向的模件，這四個(gè)模件滿足四邊任意相接的特性，從而通過(guò)不同的組合方式可以得到無(wú)窮多的拼接圖案。二是1/4圓弧模件：1987年，Cyril Stanley Smith總結(jié)了特魯謝的思想，并在其論文中加以推廣，他提出了這一新模型，這一模型是連接正四邊形相鄰邊中點(diǎn)的兩個(gè)1/4圓，從而得到兩個(gè)不同方向的模件并組合拼接出無(wú)窮的圖案。

對(duì)特魯謝法則的兩個(gè)基本模型展開(kāi)分析。兩個(gè)基本模型實(shí)則都是對(duì)正四邊形這一滿足密鋪條件的單元形的再設(shè)計(jì)，然而此處的正四邊形只是作為模件框架存在，它的密鋪性質(zhì)是隱形的，最后組合圖案的樣式是由正四邊形內(nèi)圖形的構(gòu)成形式?jīng)Q定。所以特魯謝法則的密鋪框架單元不是唯一的，與正四邊形具有相同性質(zhì)的無(wú)縫密鋪的圖形框架是正三角形和正六邊形，圖4展示了以正三角形和正六邊形作為框架模件的圖案設(shè)計(jì)。

接著，對(duì)密鋪圖形框架內(nèi)模件設(shè)計(jì)規(guī)則展開(kāi)研究。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，模件必須具備各方向無(wú)縫銜接的特點(diǎn)，以滿足“一到無(wú)窮”的圖案拼接特性。因此框架內(nèi)的填充圖形與框架各邊的交點(diǎn)須滿足中心對(duì)稱的設(shè)計(jì)規(guī)則。以正四邊形框架單元為例，設(shè)正四邊形邊長(zhǎng)為10個(gè)單位長(zhǎng)度，則符合中心對(duì)稱的取整數(shù)長(zhǎng)度的分割法有11種，分別是（1，4，4，1）、（2，3，3，2）、（3，2，2，3）、（4，1，1，4）、（1，1，3，3，1，1）、（1，2，2，2，2，1）、（1，3，1，1，3，1）、（2，1，2，2，1，2）、（2，2，1，1，2，2）、（3，1，1，1，1，3）、（1，1，1，1，1，1，1，1，1，1）。若分割長(zhǎng)度取所有有理數(shù)，那么分割所得的模件框架是無(wú)窮盡的。通過(guò)以上分割法的數(shù)據(jù)，可以設(shè)計(jì)出圖中所示的模件網(wǎng)格，從而設(shè)計(jì)出多樣的模件樣式（圖5）。當(dāng)然，曲線填充型模件的設(shè)計(jì)，雖不以模件網(wǎng)格為基準(zhǔn)，但依舊滿足中心對(duì)稱的邊線分割法則，圖6是以邊長(zhǎng)為10個(gè)單位，按照（2，3，3，2）的分割法完成的圓弧填充型模件設(shè)計(jì)和組合圖案設(shè)計(jì)。

當(dāng)掌握了模件設(shè)計(jì)規(guī)則，試圖思考該規(guī)則下模件的變體。目前變體有以下幾個(gè)方向：負(fù)形、線性、點(diǎn)陣、顏色。因?yàn)槟＜窃诜指罘ㄒ?guī)則下誕生的，所以模件的負(fù)形亦滿足模件本身的所有特性，如圖7展現(xiàn)了模件負(fù)形的多樣性。線性法和點(diǎn)陣法分別是將模件中填充形面的關(guān)系變?yōu)榫€的關(guān)系和點(diǎn)的組合關(guān)系（圖8）。而顏色的填充特別是漸變色的填充常?？梢云鸬礁淖儓D案視效的作用（圖9），從而帶來(lái)圖案的縱深感、空間感、膨脹與收縮、實(shí)與虛等等特性。對(duì)于模件變體的思考有助于豐富模件設(shè)計(jì)的細(xì)節(jié)與層次，使得拼接所得圖案更加引人入勝。

最后，是對(duì)模件組合法則的擴(kuò)展。模件都是以密鋪圖形為框架，除了等大排列模件以外，按一定的比例放大和縮小模件亦可排列組合成新的圖案樣式，由于圖案大小的異同，使得組合而成的圖案具有更豐富的節(jié)奏與韻律（圖10）。綜上，從“密鋪框架單元”“邊緣分割法”“模件變體”“模件組合方式”四個(gè)角度對(duì)特魯謝模型展開(kāi)延伸與拓展，由此獲得一個(gè)新的圖案構(gòu)成系統(tǒng)，筆者稱其為“中心對(duì)稱邊線分割法”，此法則的整體設(shè)計(jì)思路遵循圖11所示的順序和規(guī)則。

三、特魯謝法則的意義與價(jià)值

圖7 正負(fù)形模件（作者自繪）

圖8 線性與點(diǎn)狀模件（作者自繪）

圖9 模件中不同的顏色配比帶來(lái)的不同視效（作者自繪）

圖10 模件組合法則擴(kuò)展（作者自繪）

圖11 “中心對(duì)稱邊線分割法”設(shè)計(jì)思路（作者自繪）

圖12 特魯謝法則的量化（作者自繪）

圖13 國(guó)際通用17種對(duì)稱法

運(yùn)用數(shù)理分析法對(duì)特魯謝法則的圖案結(jié)果進(jìn)行分析，通過(guò)量化的手法解說(shuō)特魯謝法則得到無(wú)窮圖案的原因，這也是深入探索此法則的重要意義之一。設(shè)等腰直角三角形模型的基本模件為A，由此可以得到與此相關(guān)的其他三個(gè)方向的模件為A1，A2，A3（圖12）。組合A與自身以及其他模件，可以得到“1×1”的新模塊，其中以A為起始的模塊有41個(gè)，共41×4=16個(gè)。接著，以AA為模件組合自身及其他模件，得到“2×2”的新模塊，其中以A為起始的模塊有42=16個(gè)，其他模件的組合方式和AA完全相同，所以共有42×4=64個(gè)。其次，以AAAA為模件組合自身及其他模件，得到“4×2”的新模塊，其中以A為起始的模塊有162=256個(gè)，以此類推，所有模件的組合共有256×4=1024個(gè)。同理，當(dāng)以AAAAAAAA為模件組合為“4×4”的新模塊時(shí)，以A為起始的模塊有2562=65536個(gè)，以此類推，所有模件的組合共有65536×4=262144個(gè)。至此，研究表明，當(dāng)模件組合得到的新模塊無(wú)限增多時(shí)，其組合形成的圖案樣式亦無(wú)限增多，呈平方式陡增而達(dá)到無(wú)窮多個(gè)。

因而特魯謝法則具有“一到無(wú)窮”的變化特性，由一個(gè)或多個(gè)滿足特定條件的模件，經(jīng)組合得到多樣的模塊，模塊的再組形成無(wú)窮多的圖案。重要的是，圖案構(gòu)成方式的視覺(jué)冗余度②的高低取決于設(shè)計(jì)者對(duì)模件組合方式的排布，于是呈現(xiàn)的圖案具有多元性：對(duì)稱或非對(duì)稱，唯一中心或多中心，簡(jiǎn)單或復(fù)雜，有序或無(wú)序等等。因而該法則下組合得到的圖案可以適配不同領(lǐng)域的不同要求，不論是要規(guī)避視知覺(jué)注意的邊緣性裝飾圖案，還是要引起視知覺(jué)注意的具有視覺(jué)張力的中心性圖案，該法則都可以滿足實(shí)際需求，具有極強(qiáng)的包容性。

相比較當(dāng)下幾何圖案的其他構(gòu)成法主要有以下兩種：一是基于1937年安德烈亞斯·施派澤（Andreas Speiser）提出的17種圖形群體組合理論，并于1978年美國(guó)數(shù)學(xué)家多麗絲·沙特施耐德（Doris Schattschneider）以國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)將這17種對(duì)稱法則圖標(biāo)化（圖13）；二是基于密鋪模式體系下形成的密鋪圖案群。這兩種幾何圖案構(gòu)成法組合的圖案單一、對(duì)稱、有序，均具有顯著的易被視知覺(jué)識(shí)別的重復(fù)單元與變換法則，因而視覺(jué)冗余度低，圖案包容性弱。人類的審美經(jīng)驗(yàn)存在這樣一個(gè)基本事實(shí)：愉悅存在于單調(diào)和雜亂之間。單調(diào)圖案的排布會(huì)在極短時(shí)間內(nèi)讓我們意識(shí)到它的規(guī)律，視覺(jué)預(yù)期會(huì)讓我們停止對(duì)它的注意。而過(guò)于復(fù)雜則會(huì)使我們的知覺(jué)系統(tǒng)負(fù)荷過(guò)重而放棄對(duì)它進(jìn)行觀賞。

特魯謝法則高包容度的優(yōu)勢(shì)是顯而易見(jiàn)的。重要的是，在當(dāng)下數(shù)字化時(shí)代，該法則具有量化為算法和程序的優(yōu)勢(shì)，可結(jié)合編程和參數(shù)化技術(shù)在各行各業(yè)發(fā)揮重要作用。

注釋：

①“包容性”是指主體對(duì)客體的容納程度。英國(guó)標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會(huì)（2005）將包容性設(shè)計(jì)定義為主流產(chǎn)品或服務(wù)的設(shè)計(jì)能為盡可能多的人群所方便使用，無(wú)需特別的適應(yīng)或特殊的設(shè)計(jì)。這里借用此意，意在指圖案設(shè)計(jì)容納不同人群審美需求、適配于不同領(lǐng)域的程度。

②這里利用貢布里希《秩序感》中對(duì)“視覺(jué)冗余度”的引申義，指視知覺(jué)對(duì)信息數(shù)據(jù)的感知程度。易被大腦識(shí)別、符合視覺(jué)預(yù)期的圖案組織結(jié)構(gòu)具有較高的視覺(jué)冗余度，不易引起我們的知覺(jué)注意；相反，不易被識(shí)別、違背視覺(jué)預(yù)期的圖案組織結(jié)構(gòu)具有較低的視覺(jué)冗余度，容易引起知覺(jué)注意。