蔣玲

[摘? 要] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究離不開對數(shù)學(xué)觀念的思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也必然是在一定的數(shù)學(xué)觀念（又稱數(shù)學(xué)素養(yǎng)）下的學(xué)習(xí).在我國，考試是學(xué)生學(xué)習(xí)成果的重要檢測方式，因此“會解題”就變得格外重要，數(shù)學(xué)觀念與解題之間的關(guān)聯(lián)便成為重要的研究方向.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)觀念;數(shù)學(xué)素養(yǎng);解題;數(shù)學(xué)思維

關(guān)于解題，波利亞與舍費爾德有著矚目的研究，但是由于他們著作中的案例都與當(dāng)今數(shù)學(xué)課程內(nèi)容相去甚遠(yuǎn)，雖然在學(xué)術(shù)界影響頗大，但是對于一線的教師，特別是我國的一線教師，還不能夠很好地應(yīng)用其理論，因此，我們應(yīng)當(dāng)結(jié)合當(dāng)代數(shù)學(xué)課程、結(jié)合當(dāng)代數(shù)學(xué)的教學(xué)特點、結(jié)合當(dāng)代學(xué)生的特點，將這些卓越的數(shù)學(xué)教育思想與中國數(shù)學(xué)課程內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來，形成現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)教學(xué)思想.

我國現(xiàn)代教育中的數(shù)學(xué)觀念

數(shù)學(xué)觀念是一個開放的、不斷發(fā)展的觀念，是人類社會活動的產(chǎn)物，因此，在“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念下，教育部引領(lǐng)一批優(yōu)秀的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家充分借鑒國際課程改革的優(yōu)秀成果，提煉出適合我國學(xué)生應(yīng)當(dāng)重點發(fā)展的符合現(xiàn)代化人才培養(yǎng)需要的數(shù)學(xué)觀念.

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》第一次明確提出了“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，指出：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)”，在對教學(xué)活動的認(rèn)識中強(qiáng)調(diào)：“通過有效的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維.”使學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、思維的訓(xùn)練、技能的提升的過程中逐步形成良好的數(shù)學(xué)觀念，同時通過已經(jīng)形成的或正在形成的數(shù)學(xué)觀念反過來對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)行調(diào)整、定向，直至向更高層次推進(jìn);也即在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)觀念可以看作數(shù)學(xué)思維活動的產(chǎn)物，亦可作為思維活動的催化劑.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》更是聚焦“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，發(fā)展“三會”：會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界. 這些行為表現(xiàn)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)的抽象、推理、建模、運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)化于人的結(jié)果. 我國的高中生，普遍處于16-18歲的年齡，正是瘋狂接受知識、學(xué)習(xí)的黃金年齡，因此作為義務(wù)教育階段后普通高級中學(xué)主要課程的高中數(shù)學(xué)課程，其數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)從以升學(xué)考試為目的向培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目的轉(zhuǎn)變，從零散知識的學(xué)習(xí)向綜合運用知識解決實際問題的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件.

解題的現(xiàn)代含義

解題，是數(shù)學(xué)教育中一種最基本的活動形式，常常是教師們通過一些例題的講解，對題目進(jìn)行歸類，總結(jié)其共有的解題步驟，形成解題模板，然后進(jìn)行大量重復(fù)的鞏固練習(xí)，以達(dá)到學(xué)生熟練解題的目的. 不置可否，這樣的訓(xùn)練對于數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的初期，能夠起到一定的作用，對解題能力的提高有一定的作用，但是這樣訓(xùn)練出來的解題能力，只能是現(xiàn)代解題能力的初級階段（會做題）. 然而，會做題就等同于會解題了嗎？當(dāng)然不是！

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞稱：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”這里的解題不是說我們能夠解出一道中考題或者一道高考題的答案，而是在看到一個數(shù)學(xué)問題時，能夠通過一系列的思維活動和運算過程，最終得出數(shù)學(xué)問題的答案，因而，解題就是尋找數(shù)學(xué)題的解的過程，它包含的不僅僅是題目的答案，更多的是在尋求答案的過程中涉及的思維活動以及所用的數(shù)學(xué)方法. 因此數(shù)學(xué)解題作為一種有意義的學(xué)習(xí)過程，既包含著新舊知識的同化和順應(yīng)，又有新舊解題策略的同化和順應(yīng)，解題就是要在所有新舊知識之間建構(gòu)起非人為的和實質(zhì)性聯(lián)系的過程. 數(shù)學(xué)家的解題往往是發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過程，而對于初等教育階段的學(xué)生而言，解題是學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過程.

數(shù)學(xué)觀念在解題中的具體表達(dá)形式

數(shù)學(xué)觀念的具體表現(xiàn)形式是怎樣的？這里借鑒張乃達(dá)先生在《數(shù)學(xué)思維教育學(xué)》中的說法：“整體意識、抽象意識、化歸意識、推理意識、數(shù)學(xué)美的意識可以看作是數(shù)學(xué)觀念的具體表現(xiàn)形式.”

（一）整體意識

所謂整體意識指從全局上考慮問題的習(xí)慣. 合理運用整體意識解題，可以使學(xué)生在探明思路時優(yōu)化方法，在拓展思路中力求獨創(chuàng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性、廣泛性與深刻性.

例題1 橢圓+=1上有兩點P，Q，O是坐標(biāo)原點，若OP，OQ的斜率之積為-，求證：

分析：充分利用（cosα）2+（sinα）2=1的整體特征將P，Q點的坐標(biāo)用參數(shù)設(shè)出P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ），便能夠得出定值. 通過此例可以看出，整體觀念在解題中的運用離不開聯(lián)想和構(gòu)造，這對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是大有裨益的.

（二）抽象意識

抽象意識是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中形成的一種思維習(xí)慣. 它包括了能有意識地區(qū)分復(fù)雜事物與現(xiàn)象的主要因素與次要因素、本質(zhì)現(xiàn)象與表面現(xiàn)象，能抓住本質(zhì)去解決問題.

于是得到f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0.在此題的解答過程中，我們不僅要學(xué)習(xí)應(yīng)用以前所形成的數(shù)學(xué)知識，還應(yīng)當(dāng)在過程中學(xué)習(xí)形成這些知識的抽象概括方法，學(xué)會如何在復(fù)雜的關(guān)系運算中揚棄一些非本質(zhì)的屬性，抽象出本質(zhì)的特征，通過這樣的探究分析訓(xùn)練，便可以在學(xué)習(xí)活動中逐步提高抽象概括的能力.

（三）化歸意識

化歸意識指解決問題的過程中有意識地對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橐呀?jīng)解決或易于解決的問題;它還意味著用聯(lián)系、發(fā)展、運動變化的眼光來觀察問題、認(rèn)識問題.

例題3 已知實數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：x+y=1，x+y=2，x1x2+y1y2=，則+的最大值為_____.

分析：結(jié)合所學(xué)相關(guān)圓、向量的相關(guān)知識，認(rèn)識到+的幾何意義為A（x1，y1），B（x2，y2）兩點到直線x+y-1=0的距離d1與d2之和，由兩平行線的距離可得所求最大值.將代數(shù)上的最值問題求解轉(zhuǎn)換為幾何中的最值問題求解，不僅形象直觀，使問題更簡單，更準(zhǔn)確，而且充分地體現(xiàn)了解題的本質(zhì)：建立新舊知識的橋梁，使問題中各種概念及概念之間的相互關(guān)系具體明確，感受數(shù)與形的有效結(jié)合.

（四）推理意識

推理意識指推理或講理的自覺意識，是數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性的反映.

例題4 已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R都滿足：f（a·b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，an=（n∈N+），求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

分析：在這里數(shù)列{an}的通項公式未知，因此，想要用定義法證明就需要先求解出其通項公式，而f（x）又是一個抽象函數(shù)，其解析式也不易于求解. 這里我們采用歐拉的歸納法解決. 設(shè)a≠0，由a，b的任意性，我們觀察f（a2），f（a3），f（a4），…，歸納猜想f（an）=nan-1f（a）（n∈N+），下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，

算出，即可利用等比數(shù)列的定義證明.在此題的解答過程中，應(yīng)用到由特殊到一般的思想，具有由具體到抽象的認(rèn)識功能，擁有理性認(rèn)識的特點，其步驟可以看作是歸納、演繹法的結(jié)合，對于數(shù)學(xué)理性思維的形成有著重要的作用.

（五）數(shù)學(xué)美的意識

數(shù)學(xué)美是較為抽象的科學(xué)美，徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講中》首次提出：數(shù)學(xué)美的本質(zhì)是數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與作為審美主體的人的意向的融合. 對于數(shù)學(xué)美的意識的認(rèn)識及應(yīng)用，會結(jié)合多方面的數(shù)學(xué)觀念，是一種綜合性意識的體現(xiàn)，因此也進(jìn)一步驗證了數(shù)學(xué)美作為一種高級數(shù)學(xué)意識的觀點.

例題5 已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點，設(shè)x1，x2是的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析：對于此題的解答，學(xué)生很容易萌發(fā)出“正推”和“逆推”兩種對等的數(shù)學(xué)觀念，我們從兩種觀念分別出發(fā)，探討在解題過程中所隱含的數(shù)學(xué)思維方法. 在“逆推”的過程中，首先思考，要證明：x1+x2<2成立，我們應(yīng)當(dāng)如何入手.由結(jié)論出發(fā)，逐步分析，簡化解題的思維過程，將結(jié)論中不等式的證明等價于新構(gòu)造出來的不等式的證明，由“簡單”的結(jié)論推導(dǎo)出“復(fù)雜”的不等式. 再結(jié)合分析，回歸題目，證出結(jié)論. 接著從“正推”的思路來解決這一題目.

帶來的啟示

在中學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)一直扮演著重要的角色，而它又以題量繁多且復(fù)雜成為眾多學(xué)生的苦惱，如何教會學(xué)生解題必然是每一位教師最關(guān)心的問題，這里我們要清楚中學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思維，即數(shù)學(xué)觀念與意識. 而“數(shù)學(xué)觀念與意識”的培養(yǎng)是一個循序漸進(jìn)的過程，在此過程中，教師首先應(yīng)當(dāng)樹立正確的數(shù)學(xué)觀念，并以此來指導(dǎo)教學(xué)工作，避免出現(xiàn)教師一切的數(shù)學(xué)教學(xué)活動都圍繞“高考指揮棒”轉(zhuǎn)， 大搞“題海戰(zhàn)術(shù)”將升學(xué)率作為數(shù)學(xué)教學(xué)評價的唯一標(biāo)準(zhǔn)，而是應(yīng)當(dāng)秉承數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的基本要求，加強(qiáng)數(shù)學(xué)觀念的教育，以此培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)觀念. 其次對于學(xué)生而言，大多數(shù)學(xué)生在將來未必能夠用上較為高深的數(shù)學(xué)知識，但是數(shù)學(xué)思想方法卻有著普遍的意義，不僅能夠應(yīng)用于數(shù)學(xué)研究，也可以用于人類實踐活動的各個方面，因此作為數(shù)學(xué)思想方法核心結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)觀念就尤為重要. 具有良好的數(shù)學(xué)觀念不僅能夠幫助我們很好地面對目前的學(xué)科學(xué)習(xí)的檢測，而且在未來的科技與經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，也起著舉足輕重的作用.