連興銘

摘 要：動點(diǎn)問題，既是中考數(shù)學(xué)試卷中的一個熱點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)試卷中的一個難點(diǎn)。之所以會成為一個熱點(diǎn)，是因?yàn)閯狱c(diǎn)問題能夠更為全面地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);而之所以會成為一個難點(diǎn)，是因?yàn)閷W(xué)生沒有熟練掌握動點(diǎn)問題的解題策略。文章將在深入分析初中學(xué)生解答動點(diǎn)問題的現(xiàn)實(shí)困境的基礎(chǔ)上，結(jié)合一些典型的動點(diǎn)問題案例，圍繞“化動為靜、數(shù)形結(jié)合和明辨類型”等三個方面，詳細(xì)論述解答初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的一些有效策略。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);動點(diǎn)問題;解題策略

一、 引言

近年來，動點(diǎn)問題成為中考數(shù)學(xué)的一個熱點(diǎn)，同時，也成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，成為了初中數(shù)學(xué)教師研究的焦點(diǎn)。事實(shí)上，動點(diǎn)問題，不僅僅包括“點(diǎn)”動，還包括“線”動和“面”動等。追本溯源，動點(diǎn)問題起源于特殊圖形，如，特殊角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形以及梯形等。因?yàn)檫@些特殊圖形的特殊性質(zhì)，所以產(chǎn)生了中考數(shù)學(xué)中形形色色的動點(diǎn)問題。因?yàn)閯狱c(diǎn)問題是歷年中考試卷中壓軸題，綜合性比較強(qiáng)，一道題目中會考查多個知識點(diǎn)，所以有相當(dāng)一部分在解答動點(diǎn)問題類型的題目時，無從下手、經(jīng)常失分。也正因?yàn)槿绱?，動點(diǎn)問題成了廣大初中數(shù)學(xué)教師研究的焦點(diǎn)。

二、 解決動點(diǎn)問題的困境

為了指導(dǎo)學(xué)生更為準(zhǔn)確、更為有效地解答動點(diǎn)問題，首先，教師必須要明確學(xué)生解決動點(diǎn)問題的現(xiàn)實(shí)困境。唯有如此，教師才能夠“對癥下藥”，才能夠指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握并靈活運(yùn)用解答動點(diǎn)問題的有效策略。

（一）理不清數(shù)量關(guān)系

學(xué)生解答動點(diǎn)問題的關(guān)鍵在于理清題目中的數(shù)量關(guān)系。然而，相比于普通題目而言，動點(diǎn)問題中既有變量，又有常量。不僅如此，這些常量與變量之間的關(guān)系也若隱若現(xiàn)。正因?yàn)槿绱耍邢喈?dāng)一部分學(xué)生在解答動點(diǎn)問題類型的題目時，自始至終理不清題目中的數(shù)量關(guān)系。而這也是大部分初中學(xué)生解答動點(diǎn)問題時所面對的一大困境。

例題一：已知在平行四邊形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動，速度為1cm/s，時間為t（s）。當(dāng)t為何值時，△PBC為等腰三角形？

在解答這道題目時，許多學(xué)生覺得無從下手。追本溯源，是因?yàn)檫@部分學(xué)生理不清這道題目中的數(shù)量關(guān)系。

（二）打不開空間思維

相比于普通問題而言，動點(diǎn)問題中所描述的情景是運(yùn)動的，因此，學(xué)生在解答這類問題的時候，必須要展開豐富的想象力。然而，因?yàn)椴糠謱W(xué)生空間想象能力有限，所以導(dǎo)致他們對動點(diǎn)問題中所描述的運(yùn)動情景理解不夠透徹。正因?yàn)槿绱?，打不開空間思維是部分學(xué)生解答動點(diǎn)問題所面臨的現(xiàn)實(shí)困境之一。

例題二：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向C運(yùn)動，速度為2cm/s，同時，點(diǎn)Q由AB中點(diǎn)D出發(fā)，沿DB向B運(yùn)動，速度為1cm/s，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動時間為t（s），當(dāng)t為何值時，（0

在解答這道題目時，因?yàn)轭}目中沒有給出相對應(yīng)的圖形，所以有許多學(xué)生僅僅根據(jù)文字描述，無法想象題目中所描述的動點(diǎn)問題。如此一來，學(xué)生無法打開思維空間，解決動點(diǎn)問題也就困難重重。

（三）找不到解題入口

無論是解答何種類型的題目，學(xué)生都必須要找準(zhǔn)解題入口。在解答動點(diǎn)問題時，部分學(xué)生之所以找不到解題入口，主要是因?yàn)樗麄儗狱c(diǎn)問題的類型辨識不清。

根據(jù)動點(diǎn)的背景不同，可以將動點(diǎn)問題分為在三角形邊上的動點(diǎn)、在特殊四邊形邊上的動點(diǎn)、在直線上的動點(diǎn)以及在拋物線上的動點(diǎn)等。盡管處于不同圖形上的動點(diǎn)，其解題方法不盡相同，但是，處于相同圖形上的動點(diǎn)，其解題方法是大同小異的。

因此，在解答動點(diǎn)問題時，學(xué)生無法辨識題目類型的根本原因，是對動點(diǎn)問題的各種類型認(rèn)識不夠，而這也是初中學(xué)生解答動點(diǎn)問題所面臨的一個主要困境。

三、 解決動點(diǎn)問題的策略

既然“理不清數(shù)量關(guān)系、打不開思維空間以及找不到解題入口”等，是初中學(xué)生解答動點(diǎn)問題所面臨的主要困境，那么，教師就要想方設(shè)法指導(dǎo)學(xué)生梳理題目中隱含的數(shù)量關(guān)系、拓展學(xué)生解答題目的思維空間以及找準(zhǔn)解答題目的入口等。

（一）以靜制動，梳理數(shù)量關(guān)系

盡管動點(diǎn)問題的關(guān)鍵在于“動”，但是，如果學(xué)生的注意力完全集中在“動”的情景之中，那么，學(xué)生是很難理清題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系的。因此，教師要想方設(shè)法“化靜為動”，進(jìn)而“以靜制動”并脈絡(luò)清晰地梳理題目中的數(shù)量關(guān)系等。事實(shí)上，動也好，靜也罷，都是相對而言的，動點(diǎn)問題中的“動”同樣也是相對的。

教師在指導(dǎo)學(xué)生“以靜制動”解答動點(diǎn)問題時，首先要將題目中的“動點(diǎn)”固定下來，固定在某個位置。之后，在“靜”中探索、總結(jié)、歸納“動”的基本規(guī)律。緊接著，通過不斷探索、完整總結(jié)與系統(tǒng)歸納等，學(xué)生就可以逐漸猜想以及驗(yàn)證圖形在運(yùn)動過程中是否存在某種共同的特征。最后，學(xué)生就可以將一個完整的動態(tài)情景“分割”成幾個彼此關(guān)聯(lián)的靜態(tài)情景。聚焦靜態(tài)情景，學(xué)生就可以清晰地梳理出題目中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。

例題三：如圖，有一張矩形的紙片，在這張矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，現(xiàn)在，我們將這張矩形的紙片折疊。折疊之后，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)，記為點(diǎn)P，而此時產(chǎn)生的折痕則記為EF。緊接著，將折疊過的紙片還原，如果點(diǎn)P正好落在矩形紙片的內(nèi)部，且點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在矩形紙片的AD和DC邊上，那么，AP的最小值為多少？

為了引領(lǐng)學(xué)生準(zhǔn)確解答這道與“矩形”相關(guān)的動點(diǎn)問題，教師可以引領(lǐng)學(xué)生在深入淺出分析題目主旨大意的基礎(chǔ)上，“化動為靜”準(zhǔn)確作答，具體過程如下：

師：同學(xué)們，在這道題目中存在幾個動點(diǎn)，分別是什么？

生1：存著一個動點(diǎn)，是P點(diǎn)。

生2：不對吧！P點(diǎn)是矩形紙片對折之后產(chǎn)生的一個新點(diǎn)，盡管它是一個新點(diǎn)，但是，它并不是一個動點(diǎn)，而是一個相對固定的點(diǎn)。

生3：是的，P點(diǎn)不是動點(diǎn)。我覺得矩形紙片中的E點(diǎn)和F點(diǎn)是動點(diǎn)。之所以如此，是因?yàn)镻點(diǎn)的位置是隨著E點(diǎn)和F點(diǎn)的變化而變化的。

師：是的，從嚴(yán)格意義上來講，P點(diǎn)也是處在變化之中的，是一個動點(diǎn)。但是，P點(diǎn)是運(yùn)動也好，變化也罷，都是因?yàn)镋點(diǎn)和F點(diǎn)的變化而變化的。因此，相對而言，P點(diǎn)是一個固定的點(diǎn)，而E點(diǎn)和F點(diǎn)才是真正的動點(diǎn)。那么，我們?nèi)绾尾拍茏孍點(diǎn)和F點(diǎn)，這兩個動點(diǎn)“停下來”呢？

生1：我們可以先將兩個動點(diǎn)中的其中一個固定下來，讓另一個先動。相對而言，這樣能夠簡化問題。

生2：說得有道理。如果我們先將E點(diǎn)固定下來，那么，P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡就是以E點(diǎn)為圓心，以ED為半徑，做一個圓周運(yùn)動。如此一來，我們就會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)F越靠近點(diǎn)C時，AP會越來越小。而當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，AP的值最小。

生3：對呀！當(dāng)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時，這道題也就“化動為靜”了，點(diǎn)F就“停止運(yùn)動了”。此時的點(diǎn)P在以C（F）為圓心，CD為半徑的圓上面做運(yùn)動，所以當(dāng)點(diǎn)A、P、C共線時，AP值最小，AP=5-4=1。

由此可見，教師指導(dǎo)學(xué)生“以靜制動”，能夠?qū)狱c(diǎn)問題轉(zhuǎn)換成普通問題，能夠化難為易、化繁為簡，學(xué)生解答動點(diǎn)問題，也就成為水到渠成的事情。

（二）數(shù)形結(jié)合，拓展思維空間

我國近代著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一條必不可少的手段。事實(shí)上，在解答動點(diǎn)問題時，有相當(dāng)一部分學(xué)生是因?yàn)槭艿剿季S空間的限制，所以導(dǎo)致解題困難。而數(shù)形結(jié)合正就是打開這些學(xué)生思維空間的一把金鑰匙。一旦教師以數(shù)形結(jié)合為鑰匙，打開了學(xué)生的思維空間，那么，就可以有效突破解答動點(diǎn)問題的瓶頸。

例題四：如圖，已知正方形OABC的邊長為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)。P（0，m）是線段OC上一動點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D。

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）;

（2）當(dāng)△APD是等腰三角形時，求m的值。

在這道題目中，P點(diǎn)是一個動點(diǎn)。很顯然，教師在引領(lǐng)學(xué)生分析這道題目中的數(shù)量關(guān)系時，不僅要字斟句酌地研讀文字，還要一絲不茍地觀察坐標(biāo)圖。而這，正是教師引領(lǐng)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合，拓展思維空間，解答動點(diǎn)問題的一個具體過程。當(dāng)然，在教育信息化的今天，教師還可以利用玲瓏畫板等信息化手段，真正讓動點(diǎn)問題“動”起來。

（三）明辨類型，找準(zhǔn)解題入口

前面提到，盡管不同類型的動點(diǎn)問題，其解題方法也不盡相同，但是，同一種類型的動點(diǎn)問題，其解題方法是大同小異的。因此，初中教師在引領(lǐng)學(xué)生解答動點(diǎn)問題時，還要學(xué)會明辨類型，即這些動點(diǎn)問題是線段和、線段差中的動點(diǎn)，還是面積問題中的動點(diǎn)，是三角形中的動點(diǎn)，還是四邊形中的動點(diǎn)等。當(dāng)學(xué)生明辨了動點(diǎn)問題的類型之后，就可以找準(zhǔn)解題入口。

例如，如果是線段和、線段差中的動點(diǎn)，那么，學(xué)生可以嘗試?yán)么咕€段最短的問題，解決最大值或最小值的問題，也可以嘗試?yán)萌c(diǎn)共線的特征解決最大值或最小值的問題，還可以嘗試?yán)幂S對稱變換解決最大值或最小值的問題，也可以嘗試?yán)眯D(zhuǎn)變換解決最大值、最小值的問題等。

又如，如果是面積問題中的動點(diǎn)，那么，教師既可以引領(lǐng)學(xué)生將動點(diǎn)與圖形面積的定值作為解題入口，也可以引領(lǐng)學(xué)生將動點(diǎn)與圖形面積的比值作為解題入口，還可以引領(lǐng)學(xué)生將動點(diǎn)與圖形的重疊面積作為解題入口，也可以引領(lǐng)學(xué)生將動點(diǎn)與圖形面積的最大值或最小值作為解題入口等。

當(dāng)學(xué)生逐漸學(xué)會了通過明辨動點(diǎn)問題的類型，尋找解題入口之后，解答動點(diǎn)問題的難度就會明顯下降，解答動點(diǎn)問題的效度就會顯著提升等。

四、 結(jié)語

綜上所述，化動為靜、數(shù)形結(jié)合以及明辨類型是初中學(xué)生解答動點(diǎn)問題的有效策略。在解答動點(diǎn)問題時，這三種策略并不是“孤軍作戰(zhàn)”，而是“協(xié)同作戰(zhàn)”，在化動為靜的過程中，學(xué)生既要明辨類型，還要數(shù)形結(jié)合;在明辨類型的基礎(chǔ)上，還要化動為靜以及數(shù)形結(jié)合等。當(dāng)然，為了切實(shí)提升學(xué)生解答動點(diǎn)問題的能力，教師還必須要精心設(shè)計形形色色的關(guān)于動點(diǎn)問題的練習(xí)題，并以這些動點(diǎn)問題練習(xí)題為抓手，組織學(xué)生有的放矢、卓有成效地練習(xí)，讓學(xué)生在高效的練習(xí)中深諳方法、熟能生巧、融會貫通等。

參考文獻(xiàn)：

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