韓新方 李妍

[摘? 要] 定積分是初等數(shù)學(xué)中建構(gòu)完整知識(shí)體系不可或缺的內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的認(rèn)知基礎(chǔ). 為體現(xiàn)定積分應(yīng)用的價(jià)值，文章基于對核心素養(yǎng)的理解進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以解讀并實(shí)踐如何培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 定積分應(yīng)用;教學(xué)設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

引言

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的發(fā)布，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”一詞便進(jìn)入了中學(xué)教師的視野，并逐漸成了近期教學(xué)與研究的熱點(diǎn). 所謂數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)質(zhì)就是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步樹立正確的價(jià)值觀念、必備品格，獲得適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵能力[1]■. 可是對于大多數(shù)任課教師來說會(huì)有這樣的疑問：如何在課堂教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)？為此，筆者以“定積分的應(yīng)用”這一節(jié)為例，探究如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

“定積分的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握利用定積分的幾何意義求解平面面積的基本方法;（2）理解微元法的含義，會(huì)利用微元法求一般的立體圖形的體積和表面積[2]■.

1. 問題設(shè)疑，引入新知

問題情境：有一橢圓花壇，經(jīng)測量長度最長為2a米，寬度最寬為2b米，若對它進(jìn)行綠化，需要多少平方米的綠植？

對于這個(gè)問題的處理，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型：以橢圓的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為■+■=1. 借助橢圓的對稱性，將問題轉(zhuǎn)化為求位于第一象限內(nèi)的曲邊梯形的面積，或是x軸上方的曲邊梯形的面積[3]■.

下面給出求解過程：

S橢圓=4■■dx=4b·■■dx.

由于被積函數(shù)是■的形式，因此采用三角換元法求解.

令x=acost，t∈0，■，則dx=d（acost）= -asintdt，根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有：

S■=-4ab■sint■dt= -4ab■sin2tdt=-4ab■■dt= -2ab（t-sin2t）■■=-2ab0-sin0-■+sinπ=πab.

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a=b=r（常數(shù)）時(shí)，橢圓面積在形式上就轉(zhuǎn)化為以常數(shù)r為半徑的圓的面積公式. 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)橢圓的長半軸長等于短半軸長，且兩焦點(diǎn)重合時(shí)，橢圓就轉(zhuǎn)化為圓，可以說圓是橢圓的“一般形式”.

設(shè)計(jì)意圖：這一問題的設(shè)置基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，在激起學(xué)生求知欲的同時(shí)，達(dá)到引入新知以及溫故知新的目的. 同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)模型解決問題的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng);在計(jì)算求解的過程中，又能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 最后，通過分析將圓與橢圓建立聯(lián)系的過程，亦能很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和由一般到特殊的哲學(xué)素養(yǎng).

2. 由淺入深，練習(xí)鞏固

在上述“求橢圓花壇面積”的問題解決后，教師可以借由此題，和學(xué)生共同分析利用定積分的幾何意義求解平面圖形面積的過程，然后一起歸納、總結(jié)出求解步驟，在歸納的過程中提高學(xué)生的分析、總結(jié)能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的抽象思維能力和歸納概括能力.

問題1：當(dāng)函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的位置處于不同情況時(shí)[4]■，其面積公式是否有變化？

設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生已經(jīng)知道當(dāng)曲線完全位于坐標(biāo)軸上方時(shí)的求解公式，但是在實(shí)際問題中，并不是所有的函數(shù)圖像和坐標(biāo)軸都有這樣的位置關(guān)系，因此需要了解在不同情況下求解公式有什么不同的區(qū)別. 提出這一問題的目的主要是為了讓學(xué)生自己思考，鍛煉其發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，借此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法.

問題2：當(dāng)函數(shù)y=f（x）與x軸的位置情況如下圖所示（圖1、圖2、圖3），應(yīng)該如何求所圍曲邊梯形的面積？

解：由函數(shù)y=f（x）與x軸、直線x=a和直線x=b所圍曲邊梯形的面積S：

如圖1所示，當(dāng)f（x）>0時(shí)，S=■f（x）dx.

如圖2所示，當(dāng)f（x）<0時(shí)，S= -■f（x）dx.

如圖3所示，當(dāng)a≤x≤c時(shí)，f（x）≤0，當(dāng)c≤x≤b時(shí)，f（x）≥0，S=■f（x）dx-■f（x）dx.

問題3：如下圖所示（圖4、圖5、圖6），如何求函數(shù)y=f（x）、函數(shù)y=g（x）與直線x=a和直線x=b所圍曲邊梯形的面積？

解：如圖4所示，當(dāng)f（x）>0，g（x）>0時(shí)，S=■[f（x）-g（x）]dx.

如圖5所示，當(dāng)f（x）<0，g（x）<0時(shí)，S=■[g（x）-f（x）]dx.

如圖6所示，當(dāng)f（x）>0，g（x）<0時(shí)，S=■[f（x）-g（x）]dx.

綜上所述，可以得到S=■f（x）-g（x）dx.

設(shè)計(jì)意圖：這部分內(nèi)容的設(shè)置主要是為了引導(dǎo)學(xué)生從不同的平面圖形中，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式，以期利用其解決更廣泛的數(shù)學(xué)問題. 鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的能力時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

這一部分內(nèi)容講解結(jié)束后，設(shè)置相應(yīng)的例題來讓學(xué)生熟悉這些公式以及它們的適用情況. 可以通過讓學(xué)生上黑板進(jìn)行計(jì)算演示的形式提升學(xué)生的參與度，觀察學(xué)生的掌握情況以及糾正他們所易犯的錯(cuò)誤.

例1：計(jì)算由直線y=x-4，曲線y=■以及x軸所圍圖形的面積S.

解：（1）以x為積分變量：如圖7所示，將所求圖形面積分成兩部分——S1和S2，為確定被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出兩函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，則有S=S1+S2=■■dx+■■dx-■（x-4）dx=■x■■■+■x■■■-■（x-4）2■■=■.

（2）以y為積分變量：則需要將兩函數(shù)轉(zhuǎn)化為x=y+4和x=■，有S=■（y+4）-■dy=■y2+4y■■-■y3■■=■.

對于這個(gè)問題的第二種解法，需要任課教師稍加引導(dǎo)，讓學(xué)生注意將積分變量轉(zhuǎn)化后相應(yīng)的函數(shù)解析式也需要進(jìn)行變形. 同時(shí)比較兩種解法，幫助學(xué)生體會(huì)通過轉(zhuǎn)變積分變量，使得分割區(qū)域減少，進(jìn)而大大減少運(yùn)算量，也就是說，積分變量的選取需要依據(jù)實(shí)際問題[5]■.

3. 知識(shí)拓展，構(gòu)建系統(tǒng)框架

在新課標(biāo)中，定積分的知識(shí)作為供數(shù)理類、經(jīng)濟(jì)類和理工類學(xué)生所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在知識(shí)層面上本就有一定的“拔高”性，因此在教學(xué)時(shí)可以做適當(dāng)?shù)耐卣?，保證定積分知識(shí)的完整性、連貫性，以及它對高中知識(shí)框架的補(bǔ)充作用. 也就是說，在高中階段學(xué)生應(yīng)該獲得利用定積分的相關(guān)知識(shí)證明立體幾何中常用公式的能力，并能夠?qū)Ω咧械闹R(shí)框架體系進(jìn)行拓展、完善，為學(xué)習(xí)大學(xué)微積分知識(shí)打下良好的基礎(chǔ). 在這一過程中，如果運(yùn)用定積分的定義來嚴(yán)格證明的話，不可避免的要用到極限的定義等現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)，因此這里引入微元法[6]■來暫時(shí)回避這一難點(diǎn)，而又保持了一定程度的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性.

微元法：

（1）微元法的適用情況：①待求的數(shù)學(xué)量S是與變量x的變化區(qū)間[a，b]有關(guān)的量;②待求的數(shù)學(xué)量S對于區(qū)間[a，b]具有可加性;③部分量ΔSi的近似值可表示為f（ζi）Δxi.

（2）微元法的使用步驟：①具體問題具體分析. 選取一個(gè)合適的變量（比如x）作為積分變量，并確定它的變化區(qū)間[a，b]. ②分割小區(qū)間，求出對應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間[x，x+dx]的部分量ΔS的近似值.如果能表示成[a，b]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的值f（x）與dx的乘積，就把f（x）dx稱為量S的元素，記作dS，即dS=f（x）dx. ③以所求量S的元素f（x）dx為被積表達(dá)式，得定積分S=■f（x）dx.

例2：求橢圓■+■=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)橢球的體積V1■[7].

分析：體積V1在區(qū)間[-a，a]上具有可加性，當(dāng)用平面x=x0和平面x=x0+Δx截橢球時(shí)，則得到寬度為Δx的小薄片，將小薄片近似地看為小圓柱，有部分量ΔV1的近似值可表示為πb21-■.

解：選取x為積分變量，則它的變化區(qū)間為[-a，a]. 用平面x=x0和平面x=x0+Δx截橢球，可得到寬度為Δx的小薄片（也就是V1的部分量ΔV1），將小薄片近似地看為小圓柱，有部分量ΔV1的近似值可表示為πb21-■，有dV1=πb21-■dx. 所以有V1=■πb21-■dx，有V1=■πb2·1-■dx=■π■（a2-x2）dx=■πa2x■■-■x3■■=■πab2.

設(shè)計(jì)意圖：借助例題幫助學(xué)生理解抽象的微元法，為后續(xù)運(yùn)用微元法解決其他立體圖形的體積和表面積的問題打下知識(shí)基礎(chǔ). 問題中的橢球是由本節(jié)課開篇得到的橢圓經(jīng)旋轉(zhuǎn)得到的，保證了這部分知識(shí)的連貫性，也為學(xué)生學(xué)習(xí)如何應(yīng)用微元法將所求量轉(zhuǎn)化為定積分，提供了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膮⒖疾襟E.

教學(xué)活動(dòng)：讓全班學(xué)生分為兩組，動(dòng)手計(jì)算當(dāng)橢圓■+■=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)得到旋轉(zhuǎn)橢球的體積V2，以及更一般的橢球（無論用垂直于哪個(gè)軸的平面截橢球，其截面均為橢圓）的體積V. 觀察V1，V2和V，分析三者的關(guān)系.

提出問題：在平面中橢圓和圓具有“一般”和“特殊”的關(guān)系，那在空間中是否也具有這樣的關(guān)系呢？

一般的橢球體體積為■πabc，球的體積為■πr3，也就是說當(dāng)橢球中的a=b=c=r（常數(shù)）時(shí)，就會(huì)得到球的體積公式. 換言之，球是橢球的“一般形式”.

這一部分活動(dòng)的設(shè)置可以讓學(xué)生在動(dòng)手計(jì)算的過程中，熟悉運(yùn)用微元法的步驟，感受由特殊到一般和一般到特殊的辯證統(tǒng)一思維;同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識(shí)以及邏輯推理能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力的發(fā)展.

而后，引導(dǎo)學(xué)生分析圓柱、圓臺(tái)和圓錐均可由平面圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或者由一般到特殊的關(guān)系得到，進(jìn)而可利用上述橢球體積的求法求得其體積公式. 而對于棱錐和棱臺(tái)，則只需要直接運(yùn)用微元法將“小長方體”看作其微元計(jì)算即可. 這部分內(nèi)容可以留給學(xué)生探究，培養(yǎng)學(xué)生類比推理和舉一反三的能力，如果學(xué)生不能夠發(fā)現(xiàn)類比項(xiàng)之間的關(guān)系，就需要任課教師對學(xué)生稍加引導(dǎo). 至于立體幾何表面積的公式證明，只需要將其分割得到的微元近似看作圓臺(tái)，然后按照微元法的步驟求解即可.

課程至此，期待搭建出定積分應(yīng)用的基本知識(shí)框架，為大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)微積分的相關(guān)知識(shí)打下基礎(chǔ)，也對“無依無據(jù)”的常用公式進(jìn)行了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，補(bǔ)全高中立體幾何的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性. 此教學(xué)設(shè)計(jì)既加深了學(xué)生的知識(shí)層次，又培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯推理能力，起到“溫故知新”的作用，同時(shí)讓學(xué)生收獲學(xué)以致用的喜悅和成就感，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)科自信. 但作為一節(jié)課的內(nèi)容來說，以上內(nèi)容顯得容量稍大，因此任課教師可以做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，留一部分公式的證明作為課后的思考題.

結(jié)語

筆者認(rèn)為，落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，意在以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，提升學(xué)生知識(shí)技能等各方面的綜合能力. 對于學(xué)生來說，就是要丟棄單方面接受知識(shí)的習(xí)慣，學(xué)會(huì)自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并在教師的指導(dǎo)下解決問題，而且要通過數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性;對于教師來說，則需要做到讓學(xué)生知道知識(shí)的來龍去脈，讓所有的知識(shí)盡可能有依有據(jù)，所學(xué)知識(shí)框架盡量完整嚴(yán)謹(jǐn);同時(shí)要在知識(shí)傳授的過程中以學(xué)生為本位，運(yùn)用多種教學(xué)方法以及教學(xué)工具來輔助教學(xué)，提升學(xué)生解決問題的能力，在學(xué)習(xí)的過程中使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，具有思辨精神，成為對社會(huì)發(fā)展有用之人[8]■.

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