王劍 張康明 謝煥鋼 許宗文

摘要：高等數(shù)學(xué)作為一門非常重要的基礎(chǔ)課程：既為后續(xù)專業(yè)課程提供基礎(chǔ)和方法，也在學(xué)生能力素養(yǎng)的培養(yǎng)方面起到重要作用。為了學(xué)生高效的掌握高等數(shù)學(xué)的“基本概念、基本定理和基本方法”，以及培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、空間想象和邏輯推理能力，在當(dāng)今教育背景下，改革高等數(shù)學(xué)教法是必要的。問題教學(xué)將教學(xué)內(nèi)容問題化，以問題為主線，由問題調(diào)動學(xué)生的主觀能動性、提高學(xué)習(xí)效率。本文以“導(dǎo)數(shù)概念”為例，實(shí)踐問題教學(xué)，從課中學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、效率和課后的反饋來看取得了較好教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：問題教學(xué);高等數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)概念;教育教學(xué)

中圖分類號：G633.62 ????文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

高等數(shù)學(xué)課程是圍繞“基本概念、基本定理和基本方法”而開展。導(dǎo)數(shù)的概念在高等數(shù)學(xué)是重要的基本概念之一，從知識角度看：起到承上啟下作用，完善了學(xué)生對高中導(dǎo)數(shù)概念的理解，在數(shù)學(xué)物理背景下是對一類特殊極限（增量比極限）新的命名，也是今后學(xué)習(xí)微分和積分理論基礎(chǔ);從能力角度看：引導(dǎo)學(xué)生主動、獨(dú)立思考，在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的過程中，探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律，領(lǐng)悟用導(dǎo)數(shù)刻畫變化率的思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)的價(jià)值。在傳統(tǒng)的教法學(xué)法中，教師以演繹模式講解導(dǎo)數(shù)的概念，教師按部就班，課本上有什么就講什么，學(xué)生是教師講什么就聽什么，教學(xué)過程教師和學(xué)生都是為了完成教和學(xué)的任務(wù)而展開，采用問題教學(xué)，過程中以問題為牽引，將導(dǎo)數(shù)的概念數(shù)學(xué)物理背景下問題化，立足于學(xué)生現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，教師力圖運(yùn)用“未先知”，與學(xué)生一起商討、研究，發(fā)揚(yáng)民主，充分調(diào)動積極性。

1問題教學(xué)導(dǎo)數(shù)概念中應(yīng)用的理論依據(jù)

在導(dǎo)數(shù)概念中實(shí)踐問題教學(xué)的理論依據(jù)主要是分析教學(xué)目標(biāo)、學(xué)情分析及重難點(diǎn)所得出。教學(xué)目的：學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，掌握求平面曲線的切線和法線方程的方法，理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實(shí)際意義，會用導(dǎo)數(shù)表達(dá)科學(xué)技術(shù)中一些量的變化率。學(xué)情分析：通過高中階段導(dǎo)數(shù)知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的概念有了一定的基礎(chǔ)，經(jīng)過前面極限和函數(shù)連續(xù)性概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思維分析問題，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，并能夠?qū)残詥栴}歸納出結(jié)論。但部分學(xué)生由于基礎(chǔ)的原因?qū)σ械乃俣群颓芯€概念比較模糊，不利于對問題的分析，對“”型的極限方法掌握的不夠全面，影響利用定義求導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的概念重點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，掌握求平面曲線的切線和法線方程的方法;難點(diǎn)：理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。

2問題教學(xué)在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)過程中設(shè)計(jì)

問題教學(xué)從教師角度來看是一種教學(xué)方式，從學(xué)生角度來看是一種學(xué)習(xí)方式。通過問題的不斷解決和不斷提出，學(xué)生即掌握了知識，也理解所學(xué)知識與其他知識或生活的內(nèi)在關(guān)系，最終培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力。問題教學(xué)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)：創(chuàng)設(shè)情境、引出問題分析問題解決問題深化問題，學(xué)生的思維相互交融呈螺旋狀態(tài)上升?？刹捎脟@創(chuàng)設(shè)情境（引出新問題）分析問題（思考討論）解決問題（引出新問題1）分析新問題1（思考討論）解決新問題1（引出新問題2）解決新問題2（引出新問題3）分析新問題3（思考、討論 ）……解決新問題總結(jié)應(yīng)用（解決問題）。

2.1創(chuàng)設(shè)情境、引出問題

問題教學(xué)關(guān)鍵在于貼近軍事，引出“好問題、好情境”，好的問題、情境可以引起學(xué)生的好奇心，活躍了學(xué)生的思維，調(diào)動主觀能動性。教師在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中是通過學(xué)生在“5公里”訓(xùn)練時(shí)，怎樣了解自身的瞬時(shí)速度和爆發(fā)力？學(xué)生通過回顧、思考、分析和討論，爆發(fā)力與加速度的關(guān)系，要解決以上問題，必需量化問題，在教師的引導(dǎo)下如何定量爆發(fā)力，并建立簡單的模型：通過測試員采集的數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)MATLAB軟件，擬合出學(xué)生“5公里”時(shí)間和路程關(guān)系為。求時(shí)刻的瞬時(shí)速度和加速度？

教師分析引例，提出問題：怎樣通過過程的平均速度，利用極限的思想去求時(shí)刻的瞬時(shí)速度？類似方法求時(shí)刻的加速度。鼓勵學(xué)生思考、提問，用數(shù)學(xué)語言解決問題。教師引導(dǎo)學(xué)生瞬時(shí)速度與平均速度概念，過程的平均速度當(dāng)時(shí)的平均速度定義成時(shí)刻的瞬時(shí)速度，現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)化為求時(shí)的平均速度。學(xué)生討論會聯(lián)想到什么知識點(diǎn)（訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題），并用數(shù)學(xué)語言刻畫結(jié)果（培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想），

即，

總結(jié)思考：

一類比較特殊的極限

2.2從數(shù)學(xué)角度，引出新概念

引導(dǎo)學(xué)生去除以上引例物理意義，單獨(dú)從數(shù)學(xué)角度定義，得出結(jié)論：一類特殊的極限。即引入導(dǎo)數(shù)的概念。

定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時(shí)，變量與自變量之比的極限存在，

即 ??，

則稱為在處的導(dǎo)數(shù)，或者稱函數(shù)在處可導(dǎo)。

記為，或，或，或。

2.3教師分析、總結(jié)問題和轉(zhuǎn)化新問題，學(xué)生參與問題討論

關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的幾個常見的問題，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題過程中加深對導(dǎo)數(shù)的理解。

問題1：實(shí)際應(yīng)用：教師提問在所學(xué)學(xué)科哪些量是用導(dǎo)數(shù)刻畫？導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)的瞬時(shí)變化率問題，反應(yīng)的是因變量隨自變量變化的快慢程度，即為增量比的極限問題。角速度是轉(zhuǎn)角的該變量與時(shí)間該變量之比的極限，密度是質(zhì)量的該變量與體積該變量之比的極限，電流的強(qiáng)度是電量該變量與時(shí)間該變量之比的極限等等。

問題2：回歸課本：導(dǎo)數(shù)定義有哪些變化形式，在解題過程中注意變通處理。如

實(shí)踐應(yīng)用，回歸課本：例如高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版教材122頁總習(xí)題二的第3題。

A項(xiàng);表示單側(cè)極限;

B和C項(xiàng)：由導(dǎo)數(shù)定義，分子必須是對應(yīng)于自變量的函數(shù)改變量，而B和C項(xiàng)中分子上函數(shù)兩點(diǎn)的差值與函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值沒有關(guān)系，即使計(jì)算出極限值，也不一定是在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，如函數(shù)

可以計(jì)算出極限值，但由于函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，故不可導(dǎo)。

D項(xiàng)：成立。

問題3：類比產(chǎn)生問題 ?類比極限存在充要條件，導(dǎo)數(shù)是否也是有充要條件？回顧極限存在的充要條件（左右極限存在且相等），引導(dǎo)學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)（一類特殊的極限）分析函數(shù)可導(dǎo)的充要條件。

當(dāng)時(shí)，有，由極限存在的充分必要條件可知，函數(shù)的左、右極限都存在且相等，亦即在處可導(dǎo)的充分必要條件是

左導(dǎo)數(shù)存在，且值為，

右導(dǎo)數(shù)存在，且值為。

在可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，都存在且相等。

以問題為導(dǎo)向，引出內(nèi)容。左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)，多用于求解分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題。

但需要注意的是，當(dāng)左右導(dǎo)數(shù)都存在，但時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在。如函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，但兩者不相等，故在處不可導(dǎo)。

（1）關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)幾個問題。

在結(jié)束了函數(shù)在點(diǎn)的可導(dǎo)性問題討論，類比函數(shù)在討論了在點(diǎn)的連續(xù)，接著是討論了在區(qū)間的連續(xù)性，那么函數(shù)在有限區(qū)間可導(dǎo)性是怎樣的？（可由學(xué)生先類比總結(jié)，教師在完善。）

①若函數(shù)在開區(qū)間上可導(dǎo)，則函數(shù)在上可導(dǎo)，從而對，為一個映射，再有極限的唯一性可知，是關(guān)于的一個函數(shù)，稱之為導(dǎo)函數(shù)。

② 若函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，則可得

。

2.4問題驗(yàn)證高中結(jié)論，問題應(yīng)用、解決質(zhì)疑，教學(xué)內(nèi)容問題化

高中對極限理解不透側(cè)，大多數(shù)學(xué)生對 “導(dǎo)數(shù)是斜率”問題是知其能，而不知其所以能。用數(shù)學(xué)語言可定量的描述為已知曲線函數(shù)，求在點(diǎn)處的切線。

首先要先明確什么是切線？回顧初高中所學(xué)平面解析幾何中，圓的切線定義為“與曲線只有一個交點(diǎn)的直線”，但擴(kuò)展開來，對所有曲線而言此定義顯然不妥，比如拋物線，軸與軸都與拋物線有1個交點(diǎn)，但顯然軸不是拋物線的切線。那么什么是曲線的切線呢？

曲線上有一點(diǎn)，在外另取曲線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿曲線無限趨近于時(shí)，割線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而趨近于極限位置，即觀察割線傾斜角由逐漸趨向于，故有，當(dāng)時(shí)，，假設(shè)極限存在，則用此定義曲線在點(diǎn)的切線斜率為：

。

通過引例問題的研究，總結(jié)教學(xué)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，幾何上表示為曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即。

2.5由問題產(chǎn)生新知識，真題演練

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式方程，知曲線在點(diǎn)處的切線方程為;

法線斜率為：，

法線方程為：

例如：高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版教材中例8，求雙邊曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。

分析根據(jù)題意，要求曲線上某點(diǎn)處的切線斜率，按照導(dǎo)數(shù)的概念，求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即可，即斜率為

，

從而可求出切線方程，化簡得;由于法線斜率為切線斜率的負(fù)倒數(shù)，則，從而求得法線方程為，化簡得。

2.6類比產(chǎn)生問題，總結(jié)結(jié)論

回顧極限與連續(xù)的關(guān)系，產(chǎn)生新問題“連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是怎樣？”

解決問題的方法：假設(shè)推理。

函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即有，則根據(jù)無窮小定義可知：當(dāng)時(shí)，（為時(shí)的無窮?。?/p>

即，

從而，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，必有函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。

但反之，則不一定，如函數(shù)（即）在區(qū)間上連續(xù)，但在在處不可導(dǎo)。再如在區(qū)間上連續(xù)，但在在處不可導(dǎo)。

函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性得關(guān)系為：可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。

3總結(jié)與思考

問題教學(xué)在導(dǎo)數(shù)概念中的應(yīng)用通過研究求變速直線運(yùn)動速度的物理問題和求切線斜率的幾何問題，發(fā)現(xiàn)其在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和空間形式上具有共性，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在某點(diǎn)變化率的極限來解決問題，從而歸納總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的定義，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍髮?dǎo)問題，在課堂上并對導(dǎo)數(shù)的定義所涉及的問題進(jìn)行注釋說明，從而加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解與把握。

問題教學(xué)的教育教學(xué)功要真正有效的顯現(xiàn)出來，需要教師潛心教研、學(xué)生熱情的參與，相對于普通高校、學(xué)生與教師，軍校特殊性使得問題教學(xué)的研究和教學(xué)會更加的任重道遠(yuǎn)。

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