孫曉云 郭志鵬

摘要：本文針對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)中存在的主要問題，提出了課程的線上線下混合式教學(xué)設(shè)計(jì)方案，并研究了混合式教學(xué)效果，提出了改進(jìn)措施。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù);積分變換;混合式教學(xué)

復(fù)變函數(shù)與積分變換是工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，主要為電氣工程、自動(dòng)化、通信工程等相關(guān)專業(yè)學(xué)生開設(shè)，為學(xué)生學(xué)習(xí)自動(dòng)控制原理、電磁場、信號(hào)處理等專業(yè)課打下數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。雖然復(fù)變函數(shù)與積分變換與工程結(jié)合緊密、實(shí)用性較強(qiáng)，但課程理論多難度大、學(xué)時(shí)緊張導(dǎo)致課堂節(jié)奏快，一部分學(xué)生學(xué)習(xí)有困難。傳統(tǒng)課堂模式教師只能在課堂上講一遍，學(xué)生有不懂的地方不能重復(fù)聽課，有問題也不方便和老師及時(shí)溝通，這些教與學(xué)的突出問題在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代有望得到徹底解決。

美國人薩爾曼·可汗從2004年起陸續(xù)將自己錄制的課程視頻放在Youtube上供全世界的人免費(fèi)學(xué)習(xí)，并于2009年創(chuàng)立了可汗學(xué)院?？珊沟囊曨l課程是最早的大規(guī)模在線開放課程，即MOOC. 2012年起，MOOC開始在全世界范圍內(nèi)大規(guī)模興起[1]，但隨著MOOC資源的大量增加，多位學(xué)者基于各MOOC平臺(tái)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)研究指出MOOC的完成率在5%-10%之間[1]，因此教師在課堂中的監(jiān)督作用及學(xué)生共同學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)效果尤為重要。于是很多高校教師開始利用已有的MOOC資源，對(duì)學(xué)生建立小規(guī)模限制性課堂，即SPOC，結(jié)合線上與線下優(yōu)勢開展混合式教學(xué)的探索與實(shí)踐。

混合式教學(xué)具有線上和線下的雙重優(yōu)勢。在線上，學(xué)生觀看課程視頻并做適當(dāng)?shù)牧?xí)題檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，對(duì)于不懂的知識(shí)點(diǎn)可以反復(fù)觀看課程視頻，有針對(duì)性地解決個(gè)體問題。在線下的課堂上，教師可以主要講解知識(shí)點(diǎn)的作用、聯(lián)系及重難點(diǎn)，從而有更多時(shí)間和學(xué)生互動(dòng)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

國內(nèi)眾多學(xué)者研究了混合式教學(xué)的理論和設(shè)想，其中李逢慶[2]研究了混合式教學(xué)的理論基礎(chǔ)并構(gòu)建了ADDIE教學(xué)設(shè)計(jì)模型。徐興波[3]提出了基于混合式教學(xué)的復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)改革的設(shè)想，目前針對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程混合式教學(xué)法的理論和實(shí)踐研究較少。本論文基于作者在復(fù)變函數(shù)與積分變換課程中開展混合式教學(xué)的實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行研究總結(jié)，針對(duì)線上和線下部分提出了具體的教學(xué)設(shè)計(jì)方案、教學(xué)效果研究及改進(jìn)措施。

一、復(fù)變函數(shù)與積分變換混合式教學(xué)設(shè)計(jì)

（一） 線上教學(xué)設(shè)計(jì)

1. MOOC選取。我們選取了中國大學(xué)MOOC平臺(tái)上華中科技大學(xué)李紅教授團(tuán)隊(duì)的國家精品課“復(fù)變函數(shù)與積分變換”。該慕課授課信息量較大，教學(xué)水平較高，比較適合學(xué)生學(xué)習(xí)。

2. 教師在線上的輔助教學(xué)

（1） 教師在課前將視頻任務(wù)發(fā)送給學(xué)生，學(xué)生自主安排時(shí)間學(xué)習(xí)。

（2） 利用超星泛雅平臺(tái)建立課程，在課前將本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容以思維導(dǎo)圖的形式發(fā)給學(xué)生，幫助學(xué)生明確本節(jié)涉及到的重難點(diǎn)及每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的作用，使得學(xué)生在觀看視頻的過程中更有效率。

（3） 教師通過超星泛雅平臺(tái)向?qū)W生發(fā)放基礎(chǔ)難度的習(xí)題，學(xué)生觀看視頻結(jié)束后可以及時(shí)檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)效果。超星泛雅平臺(tái)上可以實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，教師可以隨時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，及時(shí)督促落后的學(xué)生完成學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（二） 線下教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教師的線下教學(xué)。學(xué)生在課前已經(jīng)學(xué)習(xí)了線上視頻課程，但視頻課是基于知識(shí)點(diǎn)制作的，形式偏碎片化，缺少知識(shí)點(diǎn)在課程中的作用和與其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，這些需要教師在課上進(jìn)行補(bǔ)充講解。在線下的課堂教學(xué)中，教師先串講下本節(jié)課程的概念由來、知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，再著重講解重點(diǎn)和難點(diǎn)，及時(shí)回答學(xué)生針對(duì)課程內(nèi)容和課前習(xí)題提出的問題。接下來通過超星學(xué)習(xí)通發(fā)給學(xué)生適當(dāng)增加難度的習(xí)題，并在課上及時(shí)獲得學(xué)生的反饋，幫助學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、掌握知識(shí)。

2. 學(xué)生之間的合作學(xué)習(xí)。為了增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和積極性，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)。我們采用類似醫(yī)療系統(tǒng)的分級(jí)診療模式，即教師-組長-組員的結(jié)構(gòu)。教師相當(dāng)于三甲醫(yī)院，解決學(xué)生普遍存在的難點(diǎn)問題，組長相當(dāng)于社區(qū)醫(yī)院，能夠及時(shí)解決學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的小問題。具體實(shí)施方法為學(xué)生按照6-8人一組組成學(xué)習(xí)小組，每組指定兩名組長，所有的組長和教師建一個(gè)QQ群。兩個(gè)組長首先針對(duì)課程內(nèi)容的難點(diǎn)進(jìn)行討論研究，然后匯總組內(nèi)同學(xué)的問題并答疑，如果不能及時(shí)解決會(huì)上傳到QQ群中尋求同學(xué)和老師的幫助。采用合作學(xué)習(xí)的模式提升了教師給學(xué)生答疑的效率，對(duì)于課時(shí)和學(xué)生較多的教師很有幫助。

3. 作業(yè)互評(píng)。高?；A(chǔ)數(shù)學(xué)課通常每個(gè)教學(xué)班學(xué)生較多，教師在批改作業(yè)時(shí)不能面面俱到，學(xué)生對(duì)于自己作業(yè)存在的問題往往不能及時(shí)掌握。教師在學(xué)生合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上引入作業(yè)互評(píng)解決上述問題。每次作業(yè)提交后教師將標(biāo)準(zhǔn)答案發(fā)給學(xué)生，學(xué)生在組長的組織下進(jìn)行組內(nèi)作業(yè)互評(píng)，每份作業(yè)簽上評(píng)閱人和組長的名字，并上傳到班級(jí)QQ群。由于每個(gè)小組成員需要批閱組內(nèi)同學(xué)的作業(yè)，這種無形的壓力激發(fā)了學(xué)生的責(zé)任感，進(jìn)而顯著提升了學(xué)習(xí)的動(dòng)力和積極性。為了避免個(gè)別同學(xué)投機(jī)取巧，教師采取隨機(jī)抽查的方式檢查作業(yè)互評(píng)的情況，并在授課時(shí)及時(shí)在班級(jí)進(jìn)行公布。

二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的混合式教學(xué)效果

（一）增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性和自信心

由于學(xué)生可以自主選擇學(xué)習(xí)視頻課程的時(shí)間，還可以及時(shí)在學(xué)習(xí)小組內(nèi)討論遇到的問題，學(xué)生具有自我掌控感，學(xué)習(xí)的積極性普遍提高。教師在課前和課上對(duì)習(xí)題的難度逐漸加大，學(xué)生在課前做簡單題目時(shí)

可以樹立學(xué)習(xí)的自信心，課上提高難度的習(xí)題可以激發(fā)學(xué)生的挑戰(zhàn)欲，挑戰(zhàn)成功后又進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生的自信心。

（二）提高學(xué)生的表達(dá)能力、邏輯思維能力和合作能力

通過合作學(xué)習(xí)，學(xué)生之間增加了交流，對(duì)于問題的合理表述和探索正確的解答方式幫助學(xué)生理清思維，鍛煉了表達(dá)能力，提高了邏輯思維能力。組內(nèi)成員之間的相互幫助增強(qiáng)了學(xué)生的分享精神，提高了合作能力。

（三） 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力

學(xué)生在提高自主學(xué)習(xí)能力的同時(shí)，合作學(xué)習(xí)方式可以使學(xué)生能觀察到其他同學(xué)的思維方式并認(rèn)識(shí)到自己思維的盲區(qū)，有利于互相取長補(bǔ)短，產(chǎn)生思維碰撞的火花，教師再進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。比如學(xué)生們根據(jù)復(fù)變函數(shù)的與高等數(shù)學(xué)中的類比，可以自己得出復(fù)變函數(shù)的積分概念和性質(zhì);由高等數(shù)學(xué)的冪級(jí)數(shù)定義和阿貝爾定理確定收斂區(qū)間可以得出復(fù)變冪級(jí)數(shù)的定義和收斂域。這樣的思維方式可以更進(jìn)一步將數(shù)學(xué)應(yīng)用到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)以及生活中，又是本課程學(xué)習(xí)目的的延伸。

三 復(fù)變函數(shù)與積分變換混合式教學(xué)的改進(jìn)措施

（一）高效學(xué)習(xí)方法的運(yùn)用

本課程的研究對(duì)象是復(fù)變函數(shù)，較之實(shí)變函數(shù)比較抽象難懂，學(xué)生普遍反映學(xué)習(xí)起來比較困難。在教學(xué)中，教師采用類比和比喻的方法[6]展開教學(xué)，比如將高等數(shù)學(xué)中的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)概念進(jìn)行類比易于學(xué)生理解;將積分變換比喻成小品中的豬變香腸，逆變換比喻成香腸變豬，在引發(fā)學(xué)生開心一笑的同時(shí)也幫助學(xué)生很好地理解了相關(guān)概念的本質(zhì)。

（二）進(jìn)一步優(yōu)化習(xí)題的分級(jí)策略

要想幫助學(xué)生學(xué)得好，首先要讓學(xué)生喜歡學(xué)，喜歡學(xué)的前提是有信心學(xué)好，可以通過逐級(jí)增加習(xí)題難度來達(dá)到相應(yīng)效果。在課前視頻環(huán)節(jié)設(shè)置低難度習(xí)題幫助學(xué)生樹立信心，在課上通過精心安排逐漸提高難度幫助學(xué)生進(jìn)一步搞清重點(diǎn)和難點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1] PAPPANO L. The year of the MOOC[J]. The New York times， 2012-11-04（26）.

[2]李逢慶.混合式教學(xué)的理論基礎(chǔ)與教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 現(xiàn)代教育技術(shù)， 2016 （9）： 18-24.

[3] 徐興波 . 淺談基于混合式教學(xué)的復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)改革 [J]. 教育現(xiàn)代化，2018，5（01）：89-91，104.

[4] 李紅，謝松法.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：高等教育出版社，2008：59-65.

[5] 包革軍，邢宇明，蓋云英.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：科學(xué)技術(shù)出版社，2013：94-121.

[6] Scott Young. 如何高效學(xué)習(xí). 程冕，譯[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013：86-92.

作者簡介：

孫曉云（1981—），女，遼寧沈陽人，講師，碩士，從事博弈論研究;

郭志鵬（1981—），通訊作者，男，山西晉城人，講師，碩士，從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究。