李勁松

摘 要：將一個式子或式子的一部分通過恒等變形為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法。這種方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形方法，是解題的有力手段之一。初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常在解方程，化簡二次根式，求二次函數(shù)的最值以及證明等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，若學(xué)生在解題時能熟練掌握并靈活運用，那么學(xué)生運用知識解題的能力也就明顯提高了。同時，配方法的應(yīng)用也能培養(yǎng)學(xué)生思維能力，解題技巧和靈活性。本文從幾個例題中來體現(xiàn)配方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);配方法;應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)是中學(xué)生學(xué)習的重點，配方法又是數(shù)學(xué)學(xué)習的重點和難點之一。在教學(xué)中先要求學(xué)生掌握其基本公式：a2±2ab+b2=a±b2，只要對已知的式子進行靈活巧妙的配方，就可以找到解決問題的途徑。結(jié)合我在教學(xué)中的體會，下面談幾種配方法應(yīng)用的例題。

用配方法解一元二次方程

例1：解方程：2x2+3=7x

解：1化：方程化為一般形式，二次項系數(shù)化為1，

x2-72x+32=0

2移項：常數(shù)移到方程右邊，

x2-72x=-32

3配方：方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，

x2-72x+4916=-32+4916

4變形：方程左邊化成完全平方，右邊合并同類項，

x-742=2516

5求解：用直接開平方法解出方程，

x-74=±54

所以：x1=3，x2=12

用配方法化簡二次根式

例2：化簡二次根式：

（1）4+23;（2）13-242

解：（1）4+23=3+23+1=32+23+12=3+12=3+1

（2）13-242=7-242+6=72-242+62=7-62=7-6

用配方法求最值

（一）、應(yīng)用在二次函數(shù)中求最值

例3：某廣告公司設(shè)計一幅周長為12米的矩形廣告牌，設(shè)計費為每平方米1000元，設(shè)矩形的一邊長為x米，面積為S平方米。

（1）求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍;

（2）請你設(shè)計一個方案，使獲得的設(shè)計費最多，并求出最高費用。

解：（1）∵矩形的周長為12m，其中一邊為x，則另一邊為（6-x），

∴S=x6-x=-x2+6x0

（2）S=-x2+6x=-x2-6x=-x2-6x+9-9=-x-32+9

∴當x=3時，即邊長為3m的矩形廣告牌的面積最大，最大面積為9m2，此時獲得最高廣告費用為：9×1000=9000元。

（二）、應(yīng)用在代數(shù)式中求最值

例4：已知代數(shù)式：2x2-10x+15，試說明無論x取何值，代數(shù)式的值總是正數(shù)，再求出x取何值時代數(shù)式的值最小，最小值是多少？

解：2x2-10x+17=2x2-5x+17=2x2-5x+254-254+17

=2x-522+92

∵2x-522+92>0

∴無論x取何值，代數(shù)式的值總是正數(shù);且當x=52時，代數(shù)式有最小值，最小值為92。

配方法在證明題中的應(yīng)用

（一）在一元二次方程中的證明

例5：已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-3m+3x+2m+4=0，求證方程總有兩個不相等的實數(shù)根。

證明：∵?=-3m+32-4m2m+4

=9m2+18m+9-8m2-16m

=m2+2m+9

=m+12+8>0

∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根。

（二）在二次函數(shù)中的證明

例6：求證：無論m取任何實數(shù)，拋物線y=2x2-mx+m-3都與x軸有兩個交點。

證明：∵a=2>0

∴拋物線y=2x2-mx+m-3開口向上

令y=0，則2x2-mx+m-3=0

?=-m2-8m-3=m2-8m+24=m-42+8

∵?=m-42+8>0

∴無論m為任何實數(shù)，拋物線與x軸都有兩個交點。

（三）、在恒等變形中的證明

例7：已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，求證△ABC為等邊三角形。

證明：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc

∴2（a2+b2+c2）=2（ab+ac+bc）

2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc

a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2ac-2bc=0

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0

a-b2+a-c2+b-c2=0

∴a-b=0，a-c=0，b-c=0

即：a=b=c

∴△ABC是等邊三角形。

所以，配方法在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，它是代數(shù)中恒等變形的重要手段，是研究等量關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，也是求代數(shù)式和二次函數(shù)最值的重要方法，是初中生必備的一種解題能力。讓我們共同學(xué)好它，用這把利劍在學(xué)習數(shù)學(xué)知識道路上披荊斬棘。

參考文獻

[1]施月星，呂秀華.配方法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1993（04）：31.

[2]特殊化思想與初中數(shù)學(xué)解題[J].全溫.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.1994（03）