◎趙忠偉 （平塘民族中學，貴州 黔南 558300）

作為一種典型的發(fā)散思維，逆向思維具有其獨特之處．因為正常情況下，人們遇到問題的時候，往往會從問題的發(fā)展過程分析結(jié)果，但逆向思維是相反的，就是從結(jié)果出發(fā)分析問題的過程即原因．在高中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的逆向思維能力，不僅能夠提高學生的數(shù)學能力，還能夠令他們形成敏銳的思維，更好地成長，所以在高中數(shù)學中培養(yǎng)學生形成逆向思維，對提高數(shù)學教學質(zhì)量以及學生的個人能力都具有重要意義．

一、培養(yǎng)逆向思維的重要性

（一）有利于學生對基礎(chǔ)知識的了解

高中時期的學生對數(shù)學這一科目的認知還處于初級的基礎(chǔ)階段，此時他們對數(shù)學的了解程度就是他們對數(shù)學概念的理解程度．在此階段，概念的學習是學生學習數(shù)學的重點．提高他們對數(shù)學概念的理解程度就能提高高中數(shù)學的整體教學水平．在高中數(shù)學教學中利用逆向思維方式能夠深化學生對數(shù)學概念的理解和掌握，了解這些概念的具體用處，可以為學生在以后學習更深層次的數(shù)學知識和概念打下堅實的基礎(chǔ)．

（二）有利于提高學生分析問題的能力及拓展想象空間

在中學數(shù)學中，逆向思維主要運用在解題過程中．學生在解數(shù)學題的時候可以選擇雙向思維的方式．在高中數(shù)學教學中，要求學生掌握的定理和逆定理、運算和逆運算等這些能促進雙向思維能力的發(fā)展，這也是一種逆向思維在數(shù)學教學中的應用體現(xiàn)．另外，教師在進行數(shù)學教學的時候，首先會從概念入手對學生進行引導，在學生明確概念內(nèi)容之后，再要求他們利用逆向思維進行思考，這樣就可以避免學生被思維阻礙，提高他們對數(shù)學問題的想象力和計算能力，最終提高學生的整體素質(zhì)．

（三）有利于提升學生的創(chuàng)新能力

目前很多學生都習慣用固定的思維方式去分析問題，用固定的思維去解決問題，但并不是所有的問題都可以通過這種思維去解決，所以數(shù)學老師需要培養(yǎng)學生運用逆向思維，讓他們學會從不同的角度去分析問題．通過這一方式能夠令他們更加輕松地解決問題．讓學生在面對問題的時候能夠從不同的角度去分析，選擇最佳的方式解決問題．學生形成這種思維之后，往往會針對一道題產(chǎn)生幾種不同的解題思路，從而提高學生的創(chuàng)新能力．

二、逆向思維在解題中的運用

（一）逆用定義和逆用公式

在數(shù)學解題過程中往往會運用到許多數(shù)學知識，而巧妙運用定義進行解題則對學生起到了相應的導向作用，在實際解題過程中如果采用逆向思維的方式運用定義，那么在一定程度上能夠起到事半功倍的效果，因此需要加強對逆用定義解題方法的重視．與此同時，數(shù)學公式的運用對解決數(shù)學問題也有著積極的作用，通常情況下，在解題過程中運用公式往往是按照從左向右的邏輯思維進行數(shù)學問題的解決，然而其并不是固定不變的，在某種情況下可以從右往左進行，采用逆向思維方式進行數(shù)學問題的解決．

1．關(guān)于逆用定義解題，要充分利用概念的定義，對其進行逆向思維的運用，以達到簡化問題的效果．

例1已知對｜1-a｜-｜a-4｜進行簡化可以得出2a-5，求a 的取值范圍．

想要快速地解出這道數(shù)學題，可以通過運用逆向思維的方法，從而實現(xiàn)對絕對值概念的逆用．根據(jù)題目中的意思表達可以得出｜1-a｜-｜a-4｜＝2a-5，與此同時，通過運用逆向思維方式得出1-a≤0，a-4≤0，根據(jù)得出的這兩個條件，最終得出1≤a≤4．

例2已知F1，F(xiàn)2是雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，求雙曲線的離心率．

在解答的時候就要用到雙曲線的定義．因為△MF1F2是正三角形且邊MF1的中點在雙曲線上，則設(shè)邊MF1的中點為P，有∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝60°，從而有｜PF2｜＝，｜PF1｜＝c，所以根據(jù)雙曲線的定義可知，若點P 的軌跡是雙曲線，則等式2a＝｜PF2｜-｜PF1｜恒成立，則2a ＝｜PF2｜-解得離心率這道題的解法就是對定義的逆用，當已知是何種圓錐曲線且與兩焦點有關(guān)時，可以直接利用定義求解，以達到簡省思路、簡化運算的目的．

2．關(guān)于逆用公式，可以運用到解答此題上：求tan 17°＋的值．

我們注意到17°＋43°＝60°，那么我們就可以利用到公式

無論是逆用定義還是逆用公式，都是在正向運用概念和公式解題受阻時可以派上用場的，對公式和定義、定理等的逆向運用，往往能易化解題難度，還能幫助學生開拓思維空間，使學生受益無窮．

（二）反證法和正難則反

1．運用反證法解決問題

在高中數(shù)學中，關(guān)于數(shù)學命題的證明方法主要有直接法與間接法，其劃分依據(jù)主要是根據(jù)其所證明的對象．而反證法屬于間接證法中的一種，其往往用于證明等價命題，也是在遇到很多問題時，經(jīng)常被采用的方法，在數(shù)學教學中經(jīng)常會出現(xiàn)無法從正面解決的難題，然而換個角度從反面來分析問題就會變得較為簡單．

例1圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分．

分析假設(shè)兩條不是直徑的相交弦能互相平分，那么交點到兩條弦在圓上的點的距離相等，所以交點為圓心．又因為這兩條相交弦不是直徑，所以圓還有一個圓心，這樣同一個圓有兩個圓心，而這是不可能的，所以假設(shè)錯誤，即圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分．

例2已知一個整數(shù)的平方能被2 整除，求證這個數(shù)是偶數(shù)．

用反證法可以先設(shè)這個整數(shù)a 為奇數(shù)，且a 的平方能被2 整除，那么設(shè)a ＝2m＋1（m 是整數(shù)），那么a2＝（2m＋1）2＝4m2＋4m＋1＝4m（m＋1）＋1，因此a2是奇數(shù)，這與已知相沖突，因此假設(shè)不成立，所以a 是偶數(shù)．

例3已知a≠0，求證關(guān)于x 的方程ax＋b＝0 有且只有一個根．

我們可以假設(shè)方程ax＋b＝0（a≠0）至少存在兩個根，則可設(shè)其中的兩個根分別為x1和x2，且x1≠x2，則ax1＝-b，ax2＝-b，所以ax1＝ax2，則ax1-ax2＝0，a（x1-x2）＝0．因為x1≠x2，那么x1-x2≠0，那么a ＝0，然而這與已知的a≠0 矛盾，故假設(shè)不成立，而結(jié)論成立．

例4求證是無理數(shù)．

由此可見，反證法的巧妙之處就在于它通過設(shè)定一個與原題結(jié)論相矛盾的條件，然后進行推理，最后得出設(shè)定條件與自身出現(xiàn)矛盾，從而充分地證明了假設(shè)的不正確性，證明了原題結(jié)論的合理性．這在以順向思維證明結(jié)論受阻時，能起到迂回解決問題的作用．

2．運用正難則反解決問題

正難則反是解題過程中一個重要的思維方法，當遇到的問題從正面思考不能解決時，可以通過逆向思維，從問題的反面出發(fā)，逆向運用知識來解決問題．大概的意思是當我們遇到這個題目，經(jīng)過仔細研究后，感覺順推有困難時，就要嘗試運用逆推的原理，不要認準一條思路．許多事情都說明了：對問題正面思考陷入困境后，使用反向思維往往會使人恍然大悟．

例1設(shè)有兩個實數(shù)a 和b，若a2＋b2＝0，則a 和b 必須同時為零．

證明設(shè)a，b 至少有一個不為0，

則有a2＋b2＞0，這與已知矛盾，

所以假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a＝b＝0．

例2已知b＝b1＋b2，其中b1與a 成正比例關(guān)系，b2與a 成反比例關(guān)系，并且當a＝1 時，b ＝4；a ＝2 時，b ＝5．求b 與a 之間存在的函數(shù)關(guān)系．

解答此題的時候，用常規(guī)的思維會受阻，應當運用正難則反的方式來解決問題．那么依據(jù)題意可以設(shè)b1＝k1a，b2＝則由已知條件可以列方程組：解此方程組得因此b 與a 之間的函數(shù)關(guān)系式為

由此可見，通過運用逆向思維，可以解決用常規(guī)正向思維不能順利解決的問題，用正難則反的方式，往往能簡化對問題的解答，從而開拓出新的解答問題的途徑．

綜上所述，在中學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的逆向思維有利于開拓學生的思維空間，提高其數(shù)學知識的掌握水平．逆向思維的運用不會局限于數(shù)學這一科目，但是在中學時期培養(yǎng)學生逆向思維的最佳課程卻是數(shù)學．數(shù)學教師在中學數(shù)學教學的過程中重視培養(yǎng)學生的逆向思維，能夠提高學生的分析問題、解決問題的能力，促進學生全面發(fā)展．