梁禮華

摘 要：向量是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具。解題中通過平面向量方法的應(yīng)用能夠很快地找到解題的突破口，明顯地提高解題效率，因此高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重平面向量知識的系統(tǒng)、深入講解，同時通過經(jīng)典例題的展示，使學(xué)生更好地把握平面向量方法在解題中的應(yīng)用細節(jié)，促進其解題能力更好地提升。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題;平面向量;應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中的平面向量涉及很多的概念以及一些定理。為使學(xué)生在解題中能夠靈活應(yīng)用，應(yīng)注重給予學(xué)生學(xué)習(xí)上的引導(dǎo)，使其做好基礎(chǔ)知識的整合，構(gòu)建系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，尤其做好相關(guān)的篩選與講解，更好地鍛煉學(xué)生的思維，提高其應(yīng)用平面向量方法解題的靈活性。

一、用于解答三角形問題

平面向量的幾何運算遵循矢量三角形以及平行四邊形法則，和三角形有著緊密的聯(lián)系。高中數(shù)學(xué)中的一些習(xí)題常將向量和三角形結(jié)合起來設(shè)問，考查學(xué)生向量知識的掌握與應(yīng)用熟練程度。運用平面向量方法解答三角形問題時總的來講共有兩大思路：（一）純粹地運用向量的幾何運算法則。解題的過程中需要具體情況具體分析，必要情況下做出相關(guān)的輔助線，通過線段的等量代換、向量的加法、減法等，實現(xiàn)不同線段的靈活轉(zhuǎn)化，以達到求解的目的。（二）運用向量的坐標運算。通過構(gòu)建平面直角坐標系，確定各個點的坐標，將幾何知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運算，以求解除相關(guān)的參數(shù)。例如：下題應(yīng)用向量的坐標運算成功地求出正確結(jié)果：

已知邊長為2的等邊△ABC的AB和AC兩邊上分別存在一點E、F，若滿足=λ，=μ，若，，則λ+μ的值為（ ）

A. B. C. D.

取邊BC的中點為O，以BC所在直線為x軸，以O(shè)A所在直線為y軸建立平面直角坐標系。易得A（0，），B（-1，0），C（1，0），則=（-1，-），=（1，-），∴=λ=（-λ，-λ），=μ=（μ，-μ），則=+=（-λ，-λ），=+=（μ，-μ），又∵，∴（-）·（-）=（-1+λ，λ-）·（1-μ，μ-）=λμ-λ-μ+1=①。同理，∵，∴（-）·（-）=λμ-2λ-2μ+1=-②。①-②得：λ+μ=，選擇C項。

二、用于解答函數(shù)問題

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點、難點，習(xí)題情境復(fù)雜多變。在教學(xué)中，教師應(yīng)展示平面向量方法在解答函數(shù)問題中的具體應(yīng)用，使學(xué)生深刻地體會具體的應(yīng)用過程，把握應(yīng)用細節(jié)，給其以后解答類似的習(xí)題帶來切實可行的參考，避免在解題中走彎路。例如：課堂上可向?qū)W生講解如下習(xí)題：

在函數(shù)y=x2的圖像上存在一點P，過點P作圓：x2+y2-4y+3=0的兩條切線，切點為A、B，則·的最小值為（ ）

A. B.2-3 C.0 D.-

∵圓的方程為x2+y2-4y+3=0，即，x2+（y-2）2=1，設(shè)其圓心為M，則圓心坐標為（0，2），半徑為1。如圖1所示：

∵cos∠APB=cos2∠APM=1-2sin2∠APM=1-2（）2 = 1-

設(shè)點P（m，m2），∴|PM|2=（m-0）2+（m2-2）2=m4-3m2+4=（m2-）2+≥。由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在[，+∞）單調(diào)遞增，因此，（）min=+-3=-，選擇A項。

三、用于解答不等式問題

不等式是高中數(shù)學(xué)非常重要的知識點。教學(xué)中為使學(xué)生認識到平面向量方法在解答不等式問題中的重要性，提高平面向量方法在解答不等式問題中的應(yīng)用意識，應(yīng)注重為學(xué)生剖析平面向量與不等式之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)以及相關(guān)習(xí)題的?？挤椒?。同時，應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情境，組織學(xué)生進行針對性的訓(xùn)練，更好地拓寬視野，鍛煉其應(yīng)用能力。課堂上可要求學(xué)生積極聯(lián)系所學(xué)的平面向量知識，解答如下習(xí)題：

已知兩個非零向量a、b，若對任意實數(shù)t，均有|b+ta|≥|b+a|，則（ ）

A.|a|>|a+b| B.|a|<|a+b| C.|b|>|a-b| D.|b|<|a-b|

∵|b+ta|≥|b+a|，不等式式兩邊平方得到：t（2a·b）+t2|a|2≥a·b+|a|2，∴|a|2t2+（2a·b）t-|a|2-a·b≥0，∵|a|≠0，∴Δ=4（a·b）2-4|a|2（-|a|2-a·b）≤0，整理得到：（|a|2+a·b）2≤0，則|a|2+a·b=0，即，|a|2+2a·b=0，∴a·b<0。若|a|2+2a·b=0兩邊均加上|b|2，則（a+b）2=b2，則|a+b|=|b|。若|a|2+2a·b=0兩邊均加上|b|2-4a·b，則（a-b）2=|b|2-4a·b，∴|a-b|2-|b|2>0，∴|a-b|>|b|，選擇D項。

四、用于解答數(shù)列問題

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中以抽象而著稱，對學(xué)生分析問題的能力要求較高。教學(xué)中應(yīng)注重做好數(shù)列問題常規(guī)的解題思路，使學(xué)生切實打牢基礎(chǔ)。同時，告知學(xué)生數(shù)列習(xí)題也可與向量知識結(jié)合起來，要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中提高認識，多加留意，并要求學(xué)生在課堂上做好聽課的總結(jié)，認真揣摩平面向量與數(shù)列知識是如何融合在一起的、解題的過程中應(yīng)用了哪些技巧、從中獲得了哪些啟發(fā)等，真正地將相關(guān)的解題技巧吸收、掌握。如下題：

如圖2，在平面四邊形ABCD中S△ABC=3S△ACD。在數(shù)列{an}中a1=1，a2=3，當(dāng)n≥2時，恒有=（an-an-1）+（an+1-2an），則數(shù)列{an}的前6項和為（）

A.2020 B.1818 C.911 D.912

根據(jù)題意連接BD和AC交于點E?！逽△ABC=3S△ACD，∴BE=3ED，=-3，設(shè)x=an-an-1，y=an+1-2an，則=λ=x+y=x（+）+y（+）=（x+y）+x+y，∴[λ-（x+y）]=（-3x+y），∵和不共線，∴-3x+y=0，即=3，∴=3，整理得到：an+1-2an=3an-4an-1，即，an+1-an=4（an-an-1），則=4，n≥2。數(shù)列{an+1-an}是以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，∴an+1-an=2·4n-1，則a2-a1=2·40，a3-a2=2·41，a4-a3=2·42，，···，an-an-1=2·4n-2，累加得到：an=，∴Sn=n+（40+41+42+···+4n-1）=，則S6=912，選擇D項。

五、用于解答圓錐曲線問題

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點知識，是高考的必考知識點。相關(guān)習(xí)題常和平面向量知識相結(jié)合，難度較大。教學(xué)中為使學(xué)生掌握相關(guān)的破題思路，一方面，與學(xué)生歸納運用平面向量方法解答圓錐曲線習(xí)題的常用知識點，主要是向量的幾何、坐標運算法則、圓錐曲線的相關(guān)定義、直線的平行以及常規(guī)圖形的一些幾何性質(zhì)等，使學(xué)生在解答相關(guān)習(xí)題時能夠有意識地聯(lián)想這些知識點。另一方面，組織學(xué)生多開展相關(guān)的專題訓(xùn)練活動，并要求學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，做好訓(xùn)練總結(jié)的同時與其他學(xué)生共同交流學(xué)習(xí)心得，相互學(xué)習(xí)高效的解題思路與解題方法。如下題既需要應(yīng)用平面向量知識，又需要應(yīng)用直線的平行知識：

已知橢圓+（a>b>0）的一個焦點為F。橢圓E上存在一點P，若線段PF和圓x2+（y-）2=相切于點Q，O為坐標原點，且（+）·=0，則橢圓E的離線率為（）

A. B. C. D.

設(shè)橢圓的下焦點為F1，圓的圓心為A，線段PF的中點為B，畫圖如圖3：

∵（+）·=0，∴（+）·（-）=0，∴OB⊥PF，||=||=c，又∵OB∥PF1，∴PF1⊥PF，∵PF和圓切于點Q，∴AQ⊥PF，∴PF1∥AQ，即，=，又∵|FF1|=2c，|AQ|=，|AF|=，∴|PF1|=b。由橢圓定義可得|PF|=2a-b，∴（2a-b）2+b2=4c2，即，=，則e===，選擇B項。

結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為提高學(xué)生運用平面向量方法解答數(shù)學(xué)習(xí)題的靈活性，講解理論知識時應(yīng)注重鼓勵學(xué)生自己進行探究，歸納相關(guān)的結(jié)論，深化對基礎(chǔ)知識的認識與理解。同時，在課堂例題的講解、習(xí)題訓(xùn)練環(huán)節(jié)應(yīng)注重給予學(xué)生引導(dǎo)，使其把握正確的思考方向，做好聽課與訓(xùn)練的總結(jié)，不斷地改進解題中的不足。

參考文獻

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