龐 杰，韓振南

（太原理工大學機械工程學院，山西 太原 030024）

1 引言

自20 世紀80 年代以來，學者們對RV 傳動的研究有了很大的進展[1-2]，主要以RV 傳動精度及動態(tài)性能為主。文獻[3]建立了雙曲柄軸RV 減速器扭轉(zhuǎn)動力學模型，簡化模型并對整機扭轉(zhuǎn)剛度進行分析。文獻[4]建立了考慮擺線輪與曲柄軸公轉(zhuǎn)運動的雙曲柄軸RV 減速器扭轉(zhuǎn)動力學模型，計算了整機固有頻率及其對系統(tǒng)的靈敏度。文獻[5]建立了三曲柄軸RV 減速器平移-扭轉(zhuǎn)動力學模型，分析了整機固有特性。這些模型只考慮了定剛度和阻尼對整個系統(tǒng)的影響，缺少對傳動過程中嚙合阻尼、時變嚙合剛度、綜合傳動誤差的考慮。以三曲柄軸RV 傳動系統(tǒng)為例，建立了考慮軸承支承剛度、齒輪副嚙合阻尼、時變嚙合剛度及綜合嚙合誤差的RV 傳動純扭轉(zhuǎn)動力學模型，運用數(shù)值解法求解，得到了RV傳動系統(tǒng)的振動響應(yīng)，為RV 減速器的優(yōu)化設(shè)計奠定基礎(chǔ)。

2 RV 減速器傳動原理

圖1 RV 減速器傳動機構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic Diagram of the RV Reducer Drive Mechanism

RV 傳動系統(tǒng)機構(gòu)簡圖，如圖1 所示。動力由電機輸入，與輸入軸相連，通過與漸開線行星齒輪嚙合，實現(xiàn)第一級減速；行星輪與曲柄軸固接，作為擺線針輪傳動的輸入部分，通過曲柄軸帶動擺線輪與固定針輪嚙合，擺線輪公轉(zhuǎn)的同時，將擺線輪的自轉(zhuǎn)運動通過行星架輸出。

3 RV 傳動系統(tǒng)動力學模型的建立

3.1 動力學模型的建立

采用動態(tài)子結(jié)構(gòu)法與集中參數(shù)法建立RV 傳動系統(tǒng)動力學模型。但RV 減速器的運動比較復雜，故對RV 傳動系統(tǒng)進行以下簡化：（1）轉(zhuǎn)臂軸承與角接觸支承軸承簡化為彈簧；（2）設(shè)三個行星齒輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、輪齒嚙合剛度完全相同；（3）設(shè)轉(zhuǎn)臂軸承與角接觸球軸承的支承剛度是恒定的；（4）忽略齒面嚙合摩擦力的影響假設(shè)輪齒嚙合力始終沿嚙合線方向；（5）曲柄軸上軸承間距小，忽略其彎曲變形；（6）將輸入齒輪軸分為輸入軸與第一級漸開線齒輪傳動主動齒輪兩個集中質(zhì)量模型；（7）將曲柄軸簡化為三個集中質(zhì)量點，分別為漸開線齒輪傳動中心，以及支承擺線輪回轉(zhuǎn)運動的兩處中心；（8）曲柄軸第一集中質(zhì)量點與行星齒輪固接成一個集中質(zhì)量點。RV 傳動系統(tǒng)集中參數(shù)動力學模型，如圖2 所示。

圖2 RV 減速器動力學模型Fig.2 Dynamics Model of RV Reducer

以輸入軸中心為原點，輸入軸軸線方向為z 軸，以中心指向第一個曲柄軸軸線方向為y 軸，建立笛卡爾坐標系。通過上述建立的動力學模型得到動力學方程為：

式中：Ja、Js、Jp、JH—輸入軸、漸開線齒輪傳動太陽輪、漸開線齒輪傳動從動齒輪、行星架慣性矩；θa、θs、θpi、θH—輸入軸、漸開線齒輪傳動太陽輪、漸開線齒輪傳動從動齒輪、行星架振動角位移；Jij—第 i 個曲柄軸第 j 個集中質(zhì)量慣性矩；θij—第 i 個曲柄軸第 j 個集中質(zhì)量振動角位移，i 取 1，2，3，j 為 1，2；Jc11—擺線輪1 自轉(zhuǎn)慣性矩，θc11—擺線輪自轉(zhuǎn)振動角位移；Jc12—擺線輪1 公轉(zhuǎn)慣性矩，θc12—擺線輪1 公轉(zhuǎn)振動角位移；Jc21—擺線輪2 自轉(zhuǎn)慣性矩，θc21—擺線輪2 自轉(zhuǎn)振動角位移；Jc22—擺線輪2 公轉(zhuǎn)慣性矩；θc22—擺線輪2 公轉(zhuǎn)振動角位移；kas—輸入軸扭轉(zhuǎn)剛度；ksp、csp—漸開線齒輪嚙合剛度與嚙合阻尼；kij—第i 個曲柄軸第j 段扭轉(zhuǎn)剛度；kn—轉(zhuǎn)臂軸承支承剛度；kcp、ccp—擺線針輪傳動扭轉(zhuǎn)剛度與扭轉(zhuǎn)阻尼；e（t）—擺線針輪傳動綜合嚙合誤差；km—支承軸承支承剛度；R1—轉(zhuǎn)臂軸承中心分布圓半徑；R2—支承軸承分布圓半徑；β—曲柄軸兩個偏心軸線所在平面與過曲柄軸中心線和擺線輪中心軸線所成平面的夾角。

3.2 時變嚙合剛度

3.2.1 漸開線齒輪傳動時變嚙合剛度

根據(jù)石川公式計算單對齒嚙合剛度與雙對齒嚙合剛度，進而求得漸開線齒輪平均嚙合剛度，用傅里葉級數(shù)表示漸開線齒輪時變嚙合剛度為：

式中：km—平均嚙合剛度；k1—剛度幅值；ωsp—嚙合角頻率，ωsp=2πnz/60；φ—嚙合相位角。

3.2.2 擺線針輪傳動時變嚙合剛度

由于擺線針輪傳動在傳動過程中嚙合齒對數(shù)多，不能簡單將擺線輪齒與針齒嚙合的法向嚙合剛度疊加，因此，將其轉(zhuǎn)化為扭轉(zhuǎn)剛度模型進行計算[6]，則得到擺線輪齒與針齒嚙合的扭轉(zhuǎn)接觸剛度為：

式中：li—第i 對擺線輪齒與針齒接觸力作用力臂；n—接觸齒對數(shù)；kni—單對齒嚙合剛度。

3.3 嚙合阻尼

漸開線齒輪副嚙合阻尼[7]按以下公式計算：

式中：ξ—齒輪嚙合阻尼比，一般?。?.03～0.17）；ksp—漸開線齒輪傳動平均嚙合剛度；Js，rs—太陽輪轉(zhuǎn)動慣量與基圓半徑；Jp，rp—行星齒輪轉(zhuǎn)動慣量與基圓半徑。

擺線針輪傳動扭轉(zhuǎn)阻尼為：

式中：kcp—擺線針輪傳動扭轉(zhuǎn)嚙合剛度；Jc，rc—擺線輪轉(zhuǎn)動慣量與基圓半徑；Jz，rz—針輪轉(zhuǎn)動慣量與基圓半徑。

3.4 綜合傳動誤差

因漸開線齒輪傳動部分的誤差較擺線針輪傳動部分的誤差對RV 傳動誤差的影響小得多，故不計漸開線齒輪傳動部分的誤差，只考慮擺線針輪傳動部分的傳動誤差。

擺線針輪傳動部分的傳動誤差簡化為正弦曲線為：

式中：E—傳動誤差均值；ω—嚙合角頻率。

擺線針輪傳動部分的傳動誤差包括在曲柄軸轉(zhuǎn)一圈（擺線輪轉(zhuǎn)一個齒）與輸出軸轉(zhuǎn)一圈的過程中，兩部分的轉(zhuǎn)角誤差，前者稱為小周期的傳動誤差，后者稱為大周期的傳動誤差[8]。擺線針輪傳動小周期傳動誤差，如表1 所示。擺線針輪傳動大周期傳動誤差，如表2 所示。

表1 擺線針輪傳動小周期傳動誤差Tab.1 Small Period Transmission Error of Cycloid Drive

表2 擺線針輪傳動大周期傳動誤差Tab.2 Large Period Transmission Error of Cycloid Drive

4 RV 減速器仿真求解

采用（4～5）階變步長 Runge-Kutta 法對 RV 傳統(tǒng)系統(tǒng)動力學方程進行數(shù)值積分方法求解。輸入?yún)?shù)如下：額定功率1.64kW，輸入轉(zhuǎn)速為1515r/min，得到RV 傳動系統(tǒng)在內(nèi)部激勵與外部激勵下各部分的振動位移和振動速度。RV 減速器各構(gòu)件參數(shù)，如表3 所示。各部分支承剛度及扭轉(zhuǎn)剛度，如表4 所示。

表3 RV 減速器各構(gòu)件參數(shù)Tab.3 Components Parameters of RV Reducer

表4 各部分支承剛度及扭轉(zhuǎn)剛度Tab.4 Support Stiffness and Torsional Stiffness of Each Part

4.1 振動角位移分析

傳動系統(tǒng)主要傳動部分的振動位移響應(yīng)，如圖3 所示。其中，太陽輪振動角位移曲線，如圖3（a）所示。行星輪振動角位移曲線，如圖3（b）所示。行星架振動角位移曲線，如圖3（c）所示。太陽輪振動角位移幅值為0.1094°，平均值為0.0256°；行星輪振動角位移幅值為0.1097°，平均值為0.0280°；行星架振動角位移幅值為0.1092°，平均值為0.0240°。比較各構(gòu)件的振動角位移，表明高速級行星輪的振動位移大，低速級行星架的振動位移最小。

圖3 各部分振動角位移Fig.3 Vibration Angular Displacement of Each Part

4.2 振動角速度分析

圖4 各部分振動角速度Fig.4 Vibration Angular Velocity of Each Part

傳動系統(tǒng)主要傳動部分的振動速度曲線，如圖4 所示。其中，太陽輪振動角速度曲線，如圖4（a）所示。行星輪振動角速度曲線，如圖4（b）所示。行星架振動角速度曲線，如圖4（c）所示。太陽輪振動角速度幅值為5.3825°/s；行星輪振動角速度幅值為6.2832°/s；行星架振動角速度幅值為5.9364°/s。比較各傳動部分振動角速度，系統(tǒng)各部分扭轉(zhuǎn)振動角速度以零為中心上下波動，高速級行星輪振動較為劇烈。

5 ADAMS 仿真驗證分析

在UG 中建立RV 減速器實體模型，導入到ADAMS 中進行動力學仿真[9-10]。輸出行星架振動角速度仿真時域曲線；數(shù)值仿真結(jié)果中，行星架振動角速度均值為0.014°/s，ADAMS 仿真結(jié)果中，行星架角速度均值為0.012°/s，如圖5 所示。根據(jù)RV 減速器傳動技術(shù)要求，其輸出誤差小于1′/s，即0.017°/s。比較仿真結(jié)果，輸出振動角速度曲線相差極小，驗證數(shù)值仿真是準確的。

圖5 輸出角速度對比分析Fig.5 Comparison Analysis of Output Angular Velocity

5.1 嚙合力驗證分析

根據(jù)動力學模型分析，對漸開線齒輪傳動中嚙合線方向的線位移為：

則漸開線齒輪傳動嚙合力為：

對擺線針輪傳動過程中，其扭轉(zhuǎn)角位移為：

則擺線針輪傳動等效扭轉(zhuǎn)力矩為：

圖6 漸開線齒輪傳動嚙合力對比分析Fig.6 Comparison Analysis of Meshing Force of Involute Gear Drive

圖7 擺線針輪傳動等效扭轉(zhuǎn)力矩對比分析Fig.7 Comparison Analysis of Equivalent Torsion Torque of Cycloid Drive

通過數(shù)值仿真求解與ADAMS 仿真對RV 減速器進行動力學分析。漸開線齒輪傳動嚙合力，如圖6 所示。擺線針輪扭轉(zhuǎn)力矩，如圖7 所示。其具有相同的振動特征，數(shù)值仿真結(jié)果中，漸開線傳動嚙合力均值為233.5N；ADAMS 仿真結(jié)果中，嚙合力均值為242.49N，誤差小于6%；數(shù)值仿真結(jié)果中，擺線針輪扭轉(zhuǎn)力矩均值為640053N/mm，ADAMS 仿真結(jié)果中，扭轉(zhuǎn)力矩均值為5977-91.2N/mm，誤差小于7%。分析表明，低速級擺線針輪傳動動態(tài)嚙合力較大，高速級行星齒輪傳動動態(tài)嚙合力較小。

5.2 嚙合剛度對嚙合力的影響

為深入研究RV 傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性，嚙合剛度是影響齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的重要因素。漸開線齒輪傳動直接影響整個RV 傳動的動態(tài)特性，因此，通過改變漸開線齒輪傳動時變嚙合剛度來探究嚙合剛度對動態(tài)嚙合力影響。

漸開線齒輪傳動嚙合力隨嚙合剛度變化曲線，如圖8 所示。從曲線圖可得，隨著嚙合剛度的增大，嚙合力的變化更加劇烈。因嚙合剛度增加，嚙合過程中內(nèi)部激勵增加，使得嚙合力變化較大。

圖8 漸開線齒輪傳動嚙合力隨剛度變化曲線Fig.8 Variation Curve of Meshing Force with Stiffness of Involute Gear Transmission

表5 嚙合力變化幅值與均值Tab.5 Amplitude and Mean of Meshing Force Change

嚙合力變化幅值與均值，嚙合力變化幅值增大，嚙合力均值逐漸減小，因嚙合變形減小，齒輪傳動過程中最接近理想狀態(tài)，如表5 所示；當剛度達到一定值時，嚙合力不再保持同樣的振動特征。嚙合剛度達到一定值時的嚙合力曲線，如圖9 所示。

圖9 剛度為1.46×106 時嚙合力曲線Fig.9 Meshing Force Curve When Stiffness is 1.46×106

6 結(jié)論

（1）以三曲柄軸RV 傳動系統(tǒng)為研究對象，綜合考慮軸承支承剛度、嚙合阻尼、時變嚙合剛度，并考慮擺線針輪傳動過程中的小周期與大周期傳動誤差，建立RV 傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動力學模型。（2）對動力學模型進行數(shù)值積分求解，得到RV 傳動系統(tǒng)角位移振動響應(yīng)、角速度振動響應(yīng)，各級傳動嚙合力響應(yīng)。并通過ADAMS 仿真驗證，輸出誤差<1′/s，漸開線齒輪傳動嚙合力誤差<6%，擺線針輪傳動等效扭轉(zhuǎn)力矩誤差<7%，因嚙合剛度、嚙合阻尼、傳動誤差與實際運動過程中有細微差距，故求解結(jié)果存在微小誤差。（3）通過改變嚙合剛度，得到其對RV 傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，隨著嚙合剛度的增加，在一定范圍內(nèi)，傳動過程中的嚙合力更加穩(wěn)定。當嚙合剛度>1.46e6N·mm-1時，嚙合力急劇增加，不再收斂，因此，需合理考慮齒輪傳動過程中嚙合剛度。