頓繼安， 孫寶英

(1.北京教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院， 北京 100044；2.北京市通州區(qū)潞河中學(xué)， 北京 101199)

中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳 2021 年印發(fā)的《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》，著眼于建設(shè)高質(zhì)量教育體系、強(qiáng)化學(xué)校教育主陣地作用，要求“有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過(guò)重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)。”[1]筆者認(rèn)為，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)自發(fā)性，減少學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)的“量”，提升學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的 “質(zhì)”就成為學(xué)科教學(xué)落實(shí)“雙減”目標(biāo)的重要途徑。

數(shù)學(xué)學(xué)科具有“系統(tǒng)化了的常識(shí)”[2]序2的特點(diǎn)，這決定了即使是面對(duì)新的、有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生也會(huì)產(chǎn)生很多本能性、自發(fā)性的反應(yīng)，這些反應(yīng)可能使問(wèn)題順利被解決，也可能需要他們進(jìn)一步分析和努力，還可能與成功解決思路背道而馳。需要重視的是，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生的自發(fā)性反應(yīng)來(lái)自其特有的認(rèn)知方式和情緒情感模式，其中“隱含著真實(shí)的生命脈絡(luò)”[3]，如果學(xué)生真實(shí)的思維脈絡(luò)和情感脈絡(luò)沒(méi)有得到關(guān)注，那么，他們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的自發(fā)性反應(yīng)所內(nèi)蘊(yùn)的曲折或錯(cuò)誤就會(huì)被直接否定。他們也就沒(méi)有機(jī)會(huì)對(duì)自己已有的思維進(jìn)行審視、修正和優(yōu)化，也就不能真正理解或認(rèn)同所學(xué)的新知識(shí)、新方法及其背后的價(jià)值觀。學(xué)生學(xué)習(xí)“自發(fā)性就是學(xué)生在精神上自動(dòng)發(fā)出能量的過(guò)程，能煥發(fā)出學(xué)生的內(nèi)在的生命活力”[3]，因此，教師應(yīng)守望學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生的自發(fā)性反應(yīng)，理解并尊重學(xué)生特有的認(rèn)知方式，引領(lǐng)他們通過(guò)對(duì)自己自發(fā)性學(xué)習(xí)探索的整理、重組進(jìn)而找到新的成長(zhǎng)點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生成功解決問(wèn)題后油然而生的成就感，使這些艱苦的數(shù)學(xué)探索過(guò)程變得充滿樂(lè)趣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會(huì)變得快樂(lè)、輕松，也有利于減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)?；诖?，筆者將通過(guò)教師指導(dǎo)一位學(xué)生數(shù)學(xué)解題過(guò)程的案例，分析發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)自發(fā)性對(duì)減負(fù)的作用。

一、案例背景：C同學(xué)被一道具有挑戰(zhàn)性的拓展性作業(yè)題難住了卻沒(méi)有放棄

案例的發(fā)生緣起于學(xué)完“分式運(yùn)算”后一個(gè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題意外成為學(xué)生的作業(yè)。

問(wèn)題1中分式的分子變成了二次式，與學(xué)生熟悉的題目相比，解答時(shí)需要將該分式變?yōu)橐粋€(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式之和，之后仍然利用分子整數(shù)的整除性確定x值。從數(shù)學(xué)的角度看，問(wèn)題1與學(xué)生熟悉的問(wèn)題相比變化不大，但從學(xué)生認(rèn)知的角度看，難度卻大大增加。第二天的作業(yè)反饋表明，大多數(shù)學(xué)生此題空白未做，一些完成了的學(xué)生則表示自己是抄的答案。這種從學(xué)生熟悉的基本問(wèn)題出發(fā)逐步綜合更多知識(shí)產(chǎn)生的變式問(wèn)題，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很常見(jiàn)，它并沒(méi)有外在的有趣的情境，解答所需的知識(shí)學(xué)生都已經(jīng)具備，但根據(jù)問(wèn)題調(diào)動(dòng)已有知識(shí)并將之組織為解決問(wèn)題的思路和步驟的過(guò)程卻富有挑戰(zhàn)性，探索過(guò)程也因此而充滿趣味。如數(shù)學(xué)教育家波利亞所指出：“你要解答的題目可能很平常，但是如果它激起你的好奇心，并使你的創(chuàng)造力發(fā)揮出來(lái)，而且如果你用自己的方法解決了它，那么你就能經(jīng)歷那種緊張狀態(tài)，并且享受那種發(fā)現(xiàn)的喜悅。在一個(gè)易受外界影響的年齡階段，這樣的經(jīng)歷可能會(huì)培養(yǎng)出對(duì)智力思考的愛(ài)好，并對(duì)思想和性格留下終生的影響。”[4]

C同學(xué)有很強(qiáng)的學(xué)習(xí)自主性，他在全校430名同學(xué)中通常排在十名左右，最好的一次甚至排名全校第一，數(shù)學(xué)是他的優(yōu)勢(shì)學(xué)科。當(dāng)天下午寫作業(yè)時(shí)被這道題難住的C同學(xué)沒(méi)有放棄，而是來(lái)到辦公室找T老師尋求幫助，由此發(fā)生的故事就是本案例的主體部分。

二、案例呈現(xiàn)與分析：教師以守望和引領(lǐng)作為幫助學(xué)生突破難點(diǎn)的基本策略

本研究以T老師對(duì)C同學(xué)的指導(dǎo)過(guò)程作為資料進(jìn)行分析。資料包括師生的18組對(duì)話以及學(xué)生回家完成的自主探究作品。為了凸顯結(jié)構(gòu)和便于閱讀，筆者按照這一過(guò)程表現(xiàn)出的明顯的三個(gè)階段呈現(xiàn)。

階段1：面對(duì)學(xué)生解決挑戰(zhàn)性問(wèn)題受挫而產(chǎn)生的焦慮，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自發(fā)探索的價(jià)值，使學(xué)生自己找到解決問(wèn)題的方法。

C：老師，這道題我一點(diǎn)思路都沒(méi)有！

T：一點(diǎn)思路都沒(méi)有？不知道從哪里下手嗎？那就再看看題目吧？

C：題目中的分式，我能知道分母不為0，“值是整數(shù)”不明白，怎么就是整數(shù)了啊？

T：你找到了關(guān)鍵所在，就從“值為整數(shù)”下手唄！怎么辦？

C：聯(lián)系會(huì)的或者學(xué)過(guò)的知識(shí)。

T：非常好??！那“值為整數(shù)”的問(wèn)題你在哪里見(jiàn)過(guò)？或者題目變成什么樣是你會(huì)做的？

C：“值為整數(shù)”就是整除問(wèn)題，之前做過(guò)這樣的題，但那些題目的分子都不是2次??？

T：那就是說(shuō)，這里邊沒(méi)有誰(shuí)你就會(huì)做了？

C：沒(méi)有x2就好了！這個(gè)我想過(guò)了，可是x2它也不能消失??！

找到T老師的C同學(xué)表示“一點(diǎn)思路都沒(méi)有！” 但這并非客觀情況，而是學(xué)生遇挫時(shí)經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生的概括性且與事實(shí)并不相符的非理性、情緒化的反應(yīng)。由于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的緊密聯(lián)系性，學(xué)生面對(duì)新的問(wèn)題一定會(huì)有解決思路，只不過(guò)其思路有可能與成功解決問(wèn)題尚有距離，也可能不會(huì)指向成功；但教師如果不清楚學(xué)生已有的探索是什么，以及為什么未能成功解決問(wèn)題，就難以從根本上指導(dǎo)和幫助學(xué)生。此時(shí)，教師需要發(fā)揮的重要作用并非是直接給出答案，而是引導(dǎo)學(xué)生回到題目本身，認(rèn)識(shí)自己已有探索的脈絡(luò)，特別是認(rèn)識(shí)到自己已經(jīng)進(jìn)行的探索及其中蘊(yùn)含著價(jià)值的事實(shí)。

實(shí)際上，C同學(xué)已經(jīng)抓住了“值是整數(shù)”這一關(guān)鍵條件，并“聯(lián)系會(huì)的”形成了初步的思路。教師在對(duì)學(xué)生的已有探索加以肯定和鼓勵(lì)后繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生：“那就是說(shuō)，這里邊沒(méi)有誰(shuí)你就會(huì)做了”。其意義在于讓學(xué)生將自己感到的困擾之處準(zhǔn)確地表達(dá)出來(lái)，從而幫助學(xué)生走出茫然和模糊的狀態(tài)：“之前做過(guò)的題的分子都不是2次”，這道題如果“沒(méi)有x2就好了”,但是“x2它也不能消失啊”。這也讓教師準(zhǔn)確了解到學(xué)生的難點(diǎn)：與其說(shuō)是認(rèn)知上的困難，不如說(shuō)是負(fù)面情緒阻礙了他看清事實(shí)——并非x2不能消失，而是要找到符合數(shù)學(xué)邏輯的辦法讓它消失，認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，學(xué)生的靈感瞬間產(chǎn)生：

T：當(dāng)然不能無(wú)故消失，但“二次方”礙事，咱還是得想辦法讓它“消失”。有什么辦法呢？

C：降次就行！

T：很好！你好像有了思路了，接下來(lái)怎么辦？

對(duì)話過(guò)程顯示，在C同學(xué)突破難點(diǎn)的過(guò)程中，T老師并未告知其具體的思路和方法，只是引導(dǎo)他重新認(rèn)識(shí)自己的思維過(guò)程，將他從非理性和混沌狀態(tài)拉回到理性、清醒狀態(tài)。之后，“降次”這一思路自然產(chǎn)生，進(jìn)而他已經(jīng)熟練掌握的用于降次的知識(shí)與技能才有了用武之地，繼之而來(lái)產(chǎn)生了積極的情緒體驗(yàn)：

C：(很興奮地繼續(xù)說(shuō))老師，我光想著讓x2消失了，沒(méi)想到降次！我一直想著怎么變成0，約分化為整式也是消失啊！

T：看看你多么善于總結(jié)??！

C同學(xué)的快樂(lè)體驗(yàn)來(lái)自問(wèn)題的成功解決，但更深層的原因則在于他對(duì)自己的反思讓自己找到了之前未能獨(dú)立解決問(wèn)題的原因：由于“光想著讓x2消失了”而“沒(méi)想到降次”。然而，稍顯不足的是，盡管他覺(jué)察到了自己的思維進(jìn)入“死胡同”的危害，但卻對(duì)進(jìn)入“死胡同”的情緒原因未能覺(jué)察。心理學(xué)家霍妮說(shuō)：“要挖掘個(gè)人潛能，就要進(jìn)行自我探索，健康的人能夠有效的自我分析”[5]。但T老師并未意識(shí)到這一點(diǎn)，否則在肯定C同學(xué)“善于總結(jié)”外，還可以引導(dǎo)他總結(jié)更深層次的內(nèi)容，比如追問(wèn)“為什么你光想著讓x2消失了，沒(méi)想到降次？”這樣的問(wèn)題將會(huì)引發(fā)學(xué)生對(duì)處于解題困境中的自我情緒的覺(jué)察與分析，從而形成覺(jué)察情緒的意識(shí)，改變被情緒左右的狀況。

階段2：在學(xué)生“自己出題、自己解題”時(shí)，尊重學(xué)生出難題的選擇，也得以讓學(xué)生真正理解解決這類問(wèn)題的原理 。

C同學(xué)解決了一道具體問(wèn)題，并不一定意味著他理解了解決這類問(wèn)題的原理。為了解學(xué)生的真實(shí)情況，有經(jīng)驗(yàn)的老師都會(huì)用新的題目檢驗(yàn)學(xué)生是否真懂了，而T老師頗具特色的做法是：并未直接出一道類似的題目讓學(xué)生解，而是讓學(xué)生自己出題。

T：那你不妨再看看，如果沿著這個(gè)思路下去，這題還可以怎么出？

C：嗯，x2的系數(shù)不是1。那就比較復(fù)雜了！

T：改編得非常好！那你試試能不能解決！干脆就著這道題改吧！

C：行！那就讓x2的系數(shù)是2吧！咦，2的話可以提公因數(shù)，太簡(jiǎn)單了，換成3吧！

T：可以，隨你！不過(guò)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜有利于問(wèn)題的解決。

C：我就用3吧！

“沿著這個(gè)思路”可以有多個(gè)方向的問(wèn)題產(chǎn)生：一是將分子變?yōu)槿问?，但三次式的分解并非初中?shù)學(xué)的要求，C同學(xué)自然選擇了另一個(gè)方向“x2的系數(shù)不是1”。而在本案例中的第三階段，C同學(xué)還主動(dòng)設(shè)計(jì)了一道分母為二次式的題目，表明C同學(xué)對(duì)于常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題的演變規(guī)律有著非常清楚的認(rèn)識(shí)，這得益于T老師在平時(shí)的教學(xué)中經(jīng)常讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)題目的做法，通過(guò)解決自己設(shè)計(jì)的題目，提升學(xué)生的自發(fā)性。

在提出“x2的系數(shù)不是1”的問(wèn)題后，C同學(xué)迅速做了評(píng)估：“那就比較復(fù)雜了”，但他并沒(méi)有逃避困難，而是主動(dòng)選擇復(fù)雜且具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題“(系數(shù)是)2的話可以提公因數(shù)，太簡(jiǎn)單了，換成3吧”，此時(shí)他表現(xiàn)得非常有主見(jiàn)和自信，即使在T老師“由簡(jiǎn)單到復(fù)雜有利于問(wèn)題的解決”的提醒下，他仍然選擇二次項(xiàng)系數(shù)為3的復(fù)雜情況。從數(shù)學(xué)的角度看，與二次項(xiàng)系數(shù)為2時(shí)問(wèn)題可以直接看出通過(guò)提取公因式轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題不同的是，二次項(xiàng)系數(shù)為3的問(wèn)題更具普遍意義，其解決方法的獲得需要以對(duì)一般性原理的理解為基礎(chǔ)，也會(huì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題更為深刻的理解。C同學(xué)在自己選擇的問(wèn)題面前再次遇到的困難凸顯了這個(gè)問(wèn)題的意義：

T：為什么不能降次了？

C：剛才那個(gè)剛好括號(hào)里跟分母一樣，這個(gè)不行了！

問(wèn)題1的探索歷史再次重演。C同學(xué)不假思索地對(duì)新的問(wèn)題(記為問(wèn)題2)做了變形，在沒(méi)能取得預(yù)期進(jìn)展時(shí)，他將其歸因于“這個(gè)沒(méi)辦法降次了”，由此再次出現(xiàn)非理性情緒，與問(wèn)題1的探索中“可是x2它也不能消失啊”如出一轍，是其特定反應(yīng)模式和個(gè)性特征的體現(xiàn)。T老師仍然引導(dǎo)他對(duì)自己的思維進(jìn)行分析，使他認(rèn)識(shí)到“剛才那個(gè)剛好括號(hào)里跟分母一樣”這一表象背后的原理：

T：說(shuō)得好！要“跟分母一樣”，為什么？

C：跟分母一樣就能約分了。

T：好！那“跟分母一樣”就只有配方這一種方法嗎？還有什么方法讓其變得“跟分母一樣”呢？

C(觀察后，恍然大悟)：老師，我知道了！我又犯剛才的錯(cuò)誤了，這個(gè)不一定是完全平方！(繼續(xù)想了想)3x2-2x+3可以化成(x-1)(3x+1)+4的形式，這樣就有x-1了！哈哈，老師我明白了！

T(不由得豎起了大拇指)：你真厲害！

通過(guò)肯定C同學(xué)思維中有意義的成分，T老師讓C同學(xué)明晰自己已有思維成果的意義和存在的不足，再次讓C同學(xué)回到問(wèn)題本身，認(rèn)識(shí)到“跟分母一樣”是外在表現(xiàn)，而“能約分”是目的，為了達(dá)到這一目的，需要將分子變?yōu)榭梢耘c分母約分的式子以及一個(gè)常數(shù)的和。問(wèn)題1的特點(diǎn)決定了可以用“公式法”(完全平方)達(dá)到目的，而問(wèn)題2則需要新的手段，由此，解決新問(wèn)題的方法就找到了， “哈哈”與維果茨基用來(lái)描述兒童在終于完全懂得了某個(gè)東西后的感受所用“啊哈”一詞幾乎相同，代表了學(xué)生掌握了一個(gè)實(shí)質(zhì)性的東西，在發(fā)展中完成了轉(zhuǎn)折。[6]T老師希望學(xué)生把自己感受到的東西明確化：

T：那你說(shuō)說(shuō)，二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，問(wèn)題該怎么解呢？

C：把分子拆成分母和另一個(gè)式子的乘積，不一定是變成完全平方的樣子！

T：“另一式子”似乎還需要再準(zhǔn)確些，應(yīng)該不是隨便一個(gè)式子吧！

C：嗯，得是整式！要用分母的一次項(xiàng)系數(shù)去湊！

“用分母的一次項(xiàng)系數(shù)去湊”是C同學(xué)的原話，這話不太完整和準(zhǔn)確?！皽悺钡氖恰傲硪粋€(gè)式子”的系數(shù)，嚴(yán)格地說(shuō)是待定系數(shù)法，需要的也不僅僅是“分母的一次項(xiàng)系數(shù)”。但C同學(xué)的話表達(dá)了其體會(huì)到的要點(diǎn)，T老師也領(lǐng)會(huì)了C同學(xué)的理解，這類問(wèn)題的探討就在師生的心領(lǐng)神會(huì)中結(jié)束了。

階段3：學(xué)生主動(dòng)提出一個(gè)更具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，并脫離教師獨(dú)立、耐心地解決，發(fā)展其學(xué)習(xí)自發(fā)性。

第三階段起于C同學(xué)自己提出的一個(gè)新的問(wèn)題：

C：老師，您說(shuō)分母如果也是2次的，那還能做嗎？

T：你可以試試，從簡(jiǎn)單一點(diǎn)的入手，先給個(gè)特殊的，但是解決方法你心里有數(shù)就行！說(shuō)不定你能歸納出“曹氏定理”呢！

C：是降次，還有約分！

T：降次的方法有了，約分需要什么條件？

C：因式分解。

T：是?。∷阅愕姆帜傅媚軌蛞蚴椒纸獠判?，否則情況就很復(fù)雜了！

C：好的老師，我回去試試。

事后，筆者對(duì)C同學(xué)做了進(jìn)一步調(diào)查：“怎么想到提這個(gè)問(wèn)題了？”他回答說(shuō)：“分子是二次的已經(jīng)完全可以搞定了，那要是再難、再?gòu)?fù)雜的話，就應(yīng)該在分母上變了?！彼幕卮鸺却砹怂麑?duì)問(wèn)題發(fā)展的學(xué)科邏輯的認(rèn)識(shí)，也反映了他的個(gè)性特征：不在自己“完全可以搞定”的問(wèn)題上浪費(fèi)時(shí)間，解決“再難、再?gòu)?fù)雜”的問(wèn)題對(duì)于自己才是有價(jià)值的。

從數(shù)的角度看，當(dāng)分母從一次式變?yōu)槎问胶?，?wèn)題的性質(zhì)發(fā)生了變化，因?yàn)榇藭r(shí)通過(guò)代數(shù)變換分式不一定能變?yōu)椤罢?分子為整數(shù)的分式”的形式了，已有的方法又不能解決問(wèn)題了。由于這樣的問(wèn)題在初中并不討論，T老師也不熟悉，但還是鼓勵(lì)C同學(xué)探究，而且她很自然地用以學(xué)生的姓氏命名知識(shí)的方法鼓勵(lì)學(xué)生，同時(shí)也對(duì)解決問(wèn)題的思路給予了些許指導(dǎo)(從簡(jiǎn)單的、特殊的出發(fā))，而情緒高漲的C同學(xué)則迅速投入到新問(wèn)題的解決思路上。之后，C同學(xué)將自己的探究作品拍照發(fā)給T老師，如圖1所示(圖1中的題目記為問(wèn)題3)。

圖1 學(xué)生自主探究作品

探究中，C同學(xué)再次發(fā)現(xiàn)已有的經(jīng)驗(yàn)是不適用的，于是嘗試使用了三種方法，其中，通過(guò)兩種方法找到了答案，而一種方法未能成功。盡管C同學(xué)給出的兩種方法在邏輯上并不嚴(yán)謹(jǐn)，而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹椒ㄐ枰闹R(shí)C同學(xué)并不具備，但是這兩種方法的運(yùn)用都需要繁雜而細(xì)致的分類，C同學(xué)卻堅(jiān)持了下來(lái)。這一過(guò)程中表現(xiàn)出的靈活、耐心和韌性，與解決問(wèn)題1時(shí)因“碰了南墻不知道回頭”而陷入沮喪的狀態(tài)已經(jīng)是截然不同了。

三、討論與結(jié)論：教師的守望和引領(lǐng)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)自發(fā)性，難題帶給學(xué)生“不一般的快樂(lè)”

“不一般的快樂(lè)”也叫“不順利的快樂(lè)”，是指戰(zhàn)勝挫折而獲得成長(zhǎng)的快樂(lè)。[7]C同學(xué)在這道拓展性問(wèn)題的解決過(guò)程中產(chǎn)生了這種快樂(lè)，這與他自己的品質(zhì)有關(guān)，也與教師的教學(xué)方式有關(guān)。

(一)主動(dòng)的投入與真正的理解讓成為他人負(fù)擔(dān)的難題帶給該學(xué)生“不一般的快樂(lè)”

與其他學(xué)生被問(wèn)題1難住后或者直接放棄，或者直接尋求現(xiàn)成答案不同的是，C同學(xué)投入了更多的時(shí)間和精力，那么，這道作業(yè)題對(duì)C來(lái)說(shuō)是否構(gòu)成了學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)？當(dāng)然不是?！皩W(xué)習(xí)者主動(dòng)性的增加會(huì)使學(xué)習(xí)者較少地感到學(xué)習(xí)是個(gè)負(fù)擔(dān)”，而根據(jù)學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的量化模型“學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)率=被動(dòng)投入時(shí)間/總投入時(shí)間”[8]，以及C同學(xué)在這道題目上所花費(fèi)的時(shí)間特別是進(jìn)一步的延展性問(wèn)題的探索都是主動(dòng)投入的這一事實(shí)，這個(gè)題目并不構(gòu)成C同學(xué)的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。與之相比，那些直接抄答案交作業(yè)的同學(xué)盡管用時(shí)不多，但被動(dòng)投入的時(shí)間占比更大，負(fù)擔(dān)也更大。

學(xué)習(xí)成為負(fù)擔(dān)的另一個(gè)重要的標(biāo)志是學(xué)習(xí)引發(fā)了痛苦和厭惡。英國(guó)哲學(xué)家休謨強(qiáng)調(diào)：“順利是快樂(lè)的一個(gè)必然的來(lái)源……但是還有一點(diǎn)：順利雖然把痛苦轉(zhuǎn)化為快樂(lè)，可是當(dāng)順利的程度太大，使得心靈的活動(dòng)變得微弱無(wú)力、不足再使心靈繼續(xù)感到興奮并提起精神來(lái)時(shí)，它就把快樂(lè)變成痛苦了。”[9]問(wèn)題1的解決為C同學(xué)帶來(lái)了豐富的情感體驗(yàn)，他的思維力量得以展現(xiàn)，期間多次的情感表達(dá)是他產(chǎn)生的“不一般的快樂(lè)”的體現(xiàn)。實(shí)際上，“快樂(lè)程度取決于愿望滿足的意外程度”[10]，C同學(xué)不僅獲得了問(wèn)題1的解法，還通過(guò)問(wèn)題2的探索理解了問(wèn)題1解法的本質(zhì)，并在更為復(fù)雜的問(wèn)題3的探索中表現(xiàn)出了耐心和堅(jiān)持，顯然，意外成為作業(yè)的問(wèn)題1對(duì)C同學(xué)的發(fā)展所起的作用遠(yuǎn)大于其他學(xué)生，較高的學(xué)習(xí)效益和效率也帶來(lái)了另一個(gè)意義上的減負(fù)。

(二)“守望和發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)自發(fā)性”是教師發(fā)揮作用之所在

到底是什么讓這樣一道平常的題目帶給C同學(xué)以不同的意義？不可否認(rèn)，C同學(xué)自身的品質(zhì)是根本，許多老師認(rèn)為C同學(xué)的品質(zhì)“是天生的，不是老師培養(yǎng)出來(lái)的”，這有一定的道理。的確，學(xué)生的人格塑造并非全部在學(xué)校完成，特別是某一學(xué)段、某一學(xué)科的教師所起作用極其有限。但我們也必須看到，案例中T老師通過(guò)為學(xué)生提供有發(fā)展空間的問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)省而提升學(xué)生自我發(fā)展的能力，顯然進(jìn)一步發(fā)展了C同學(xué)的人格。理解了這一點(diǎn)，教師將能夠更為自覺(jué)地施教，促進(jìn)學(xué)生更為健康的發(fā)展。

盡管問(wèn)題1的布置出于意外，但是當(dāng)C同學(xué)在臨近下班來(lái)尋求幫助時(shí)，T老師明知道這道題有難度，也沒(méi)有以“這道題太難了，你不用做”為說(shuō)辭，也沒(méi)有直接提示學(xué)生做法或給出答案，而是盡量讓學(xué)生自己想；在問(wèn)題1解決后，又推動(dòng)學(xué)生自己提出新的問(wèn)題；明知道問(wèn)題3并非初中階段的要求，仍然鼓勵(lì)學(xué)生去探索。這都是T老師為C同學(xué)提供的發(fā)展空間。阿德勒說(shuō)：“孩子面對(duì)的重重困難，再加上他對(duì)這些障礙的反應(yīng)，構(gòu)成了他的個(gè)性”[11]。T老師為學(xué)生提供了挑戰(zhàn)性問(wèn)題，在學(xué)生遇到困難時(shí)，則讓其展示自己的自發(fā)性反應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的智慧，這有利于學(xué)生對(duì)自己學(xué)習(xí)自發(fā)性的珍視，也在示范如何通過(guò)分析自己的自發(fā)性反應(yīng)即形成“自知之明”而獲得成長(zhǎng)感?！白灾髋c其說(shuō)是一個(gè)內(nèi)省的過(guò)程還不如說(shuō)是一個(gè)成長(zhǎng)的過(guò)程。”[12]皮亞杰也將對(duì)本能反應(yīng)的反思作為促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展的基本活動(dòng)。[13]C同學(xué)在解決問(wèn)題過(guò)程中的內(nèi)省，是其獲得實(shí)質(zhì)性發(fā)展的內(nèi)在機(jī)制。內(nèi)省讓C同學(xué)認(rèn)識(shí)到了自己相對(duì)固定的反應(yīng)模式對(duì)自己解決問(wèn)題的阻礙作用，這讓他形成更為靈活的反應(yīng)模式，這是其問(wèn)題解決能力得以發(fā)展的直接原因。

“人類最難做的事情就是認(rèn)識(shí)自己，改變自己”[14]。而T老師對(duì)C同學(xué)的指導(dǎo)主要在于推動(dòng)其認(rèn)識(shí)自己?！霸賱?chuàng)造數(shù)學(xué)教學(xué)法”的提出者、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說(shuō)：“學(xué)生只需要回憶，教師的責(zé)任就是幫助他，教學(xué)過(guò)程只是引導(dǎo)學(xué)生回想他已經(jīng)忘掉的東西。獲得知識(shí)只是再發(fā)現(xiàn)我本人靈魂深處已有的東西，而并非別人知道的東西”[2]95，這與布魯納關(guān)于“發(fā)現(xiàn)”的說(shuō)法異曲同工:“與其說(shuō)是引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)‘那里發(fā)生’的事情的過(guò)程，不如說(shuō)是他們發(fā)現(xiàn)他們自己頭腦里的想法的過(guò)程。”[15]回顧案例中T老師在對(duì)話中的全部話語(yǔ)，指向的都是“引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己頭腦里的想法”,“引導(dǎo)學(xué)生回想他已經(jīng)忘掉的東西”，所起作用即為幫助學(xué)生形成“自知之明”，形成更好的自發(fā)性。

(三)教師還需要關(guān)注學(xué)生情緒情感以及人格的發(fā)展，從而更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展自發(fā)性

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”[16]，解題是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中最重要的活動(dòng)。數(shù)學(xué)家季莫維耶夫這樣描述問(wèn)題和“解決問(wèn)題的過(guò)程”帶給人的感受：“問(wèn)題是生活的特征，當(dāng)然也是數(shù)學(xué)的特征，好的問(wèn)題能把心智集中起來(lái)：它們的挑戰(zhàn)使你懊喪；它們培育雄心，也培育出謙遜；它們暴露出我們的知識(shí)的界限，也把更有力的思想的潛在源泉顯露出來(lái)。與此對(duì)照，‘解’字暗示著這種緊張的釋放或緩解，所以把這兩個(gè)字放在一起成為解題，這可能使得天真的人以為會(huì)有某種秘籍或者程序，像做按摩似的使得這種不受歡迎的緊張得到舒緩，這是不可能的，不會(huì)有這樣的秘籍”[17],這提醒數(shù)學(xué)教師：數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程能夠帶給學(xué)生的，不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)自身的理解，還帶動(dòng)情緒情感及人格的發(fā)展，如果教師在關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的同時(shí)能夠關(guān)注這些，將會(huì)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)自發(fā)性的發(fā)展更有幫助。

T老師對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)中鮮有引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)并調(diào)控其情緒的言行，事后的訪談中，她也意識(shí)到了自己對(duì)學(xué)生的情緒及情緒的作用關(guān)注不夠。這也代表了絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師的狀況。情緒的覺(jué)察與調(diào)控對(duì)解決問(wèn)題也有重要影響，也是學(xué)生健康自我的重要組成部分。因此，數(shù)學(xué)教師既要理解解題規(guī)律，也要理解并發(fā)展學(xué)生的自我，才能“不錯(cuò)過(guò)學(xué)生內(nèi)心最為純潔美麗的風(fēng)景，讓孩子們可愛(ài)的心靈能在我們的理解中得到滋養(yǎng)”[18]，讓學(xué)科學(xué)習(xí)在學(xué)生健康人格形成中的價(jià)值得以更好發(fā)揮。

結(jié) 語(yǔ)

守望需要勇氣，因?yàn)閷W(xué)生自發(fā)摸索的學(xué)習(xí)過(guò)程可能很“低效”，而教師在特定時(shí)空中必須完成某些教學(xué)任務(wù)，渴望讓學(xué)生盡快掌握更好方法、獲得更多知識(shí)并讓學(xué)生順興而為并不容易；守望更需要智慧，既需要教師能夠看到學(xué)生可能尚處于一團(tuán)亂麻中的摸索的價(jià)值，也需要善于引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)對(duì)自己已有的探索進(jìn)行整理、重組，找到新的成長(zhǎng)點(diǎn)進(jìn)而成功解決問(wèn)題并產(chǎn)生自我探索的成就感。但守望是值得的。守望與發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)自發(fā)性會(huì)讓學(xué)生感到真正的被尊重、被關(guān)注，由此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中也將會(huì)更為全神貫注，煥發(fā)出更大的能量和更多的生命活力。