陳夫凱

【摘要】問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，教學(xué)培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng).問題始終伴隨著數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是概念教學(xué)，更應(yīng)該注重與學(xué)生思維的連接.本文通過問題的設(shè)計(jì)，以核心素養(yǎng)為引領(lǐng)，旨在促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定義的理解、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，推動(dòng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.

【關(guān)鍵詞】問題驅(qū)動(dòng);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握

問題是促使數(shù)學(xué)發(fā)展的源動(dòng)力，數(shù)學(xué)上許多基本的、核心的概念與原理都是為了解決許許多多的實(shí)際問題而產(chǎn)生的.因此，在教學(xué)中教師應(yīng)以問題為中心，讓學(xué)生在解決問題的過程中形成相應(yīng)的概念與原理.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》指出，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)人應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).因此，每一節(jié)數(shù)學(xué)課都蘊(yùn)含著提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的目的，也體現(xiàn)了學(xué)科育人的目的.本文著力于以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，滲透在任意角的三角函數(shù)定義的每一個(gè)環(huán)節(jié)，精心設(shè)計(jì)問題，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、任意角的三角函數(shù)定義的教學(xué)過程

1.情境引入，引出問題

問題1 點(diǎn)P為摩天輪上的任意一點(diǎn)，如何表示點(diǎn)P的位置？

設(shè)計(jì)意圖：在摩天輪模型中，通過對(duì)一點(diǎn)的觀察與分析，引導(dǎo)學(xué)生能夠用（x，y）和（r，α）兩種方式準(zhǔn)確描述出點(diǎn)的位置，并初步體會(huì)到兩者之間的關(guān)系，提高學(xué)生的觀察能力.

問題2 在直角坐標(biāo)系xOy中，同一點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）和（r，α）之間有什么關(guān)系？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生了解在坐標(biāo)系中研究點(diǎn)的位置時(shí)，P點(diǎn)在第一象限時(shí)有如下結(jié)論：sin a=yr，

cos a=xr，r2=x2+y2，tan α=yx等，并讓學(xué)生聯(lián)想初中學(xué)過的三角函數(shù)的定義.

2.回顧舊知，找尋本質(zhì)

問題3 在初中，銳角A的正弦、余弦、正切值分別是如何定義的？

學(xué)生通過回憶：銳角A的正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）都叫作角A的銳角三角函數(shù).

正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊：sin A=ac，

余弦（cos）等于鄰邊比斜邊：cos A=bc，

正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊：tan A=ab.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，為推廣任意角的三角函數(shù)做準(zhǔn)備.

通過前兩問的引導(dǎo)，學(xué)生已經(jīng)初步回憶起了銳角三角函數(shù)值的定義.教師此時(shí)再發(fā)問，學(xué)生可以回答得順理成章，也為本節(jié)課的任意角的三角函數(shù)進(jìn)行引入.

問題4 在直角坐標(biāo)系中，30°角的三角函數(shù)值怎么求？

設(shè)計(jì)意圖：將角置于直角坐標(biāo)系中時(shí)，學(xué)生會(huì)想到初中學(xué)過的三角函數(shù)的幾何定義，并取自己熟悉的30°角的直角三角形，在其斜邊上取點(diǎn)，取點(diǎn)依據(jù)是30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.教師帶領(lǐng)學(xué)生得出特殊點(diǎn)，比如P（3，1），接著教師提問：還可以取其他點(diǎn)求嗎？探究發(fā)現(xiàn)：在30°角終邊上任取一點(diǎn)（x，y），這些比值都相等;只要角確定，終邊就確定;只要角的終邊確定，三角函數(shù)值就不變;可以用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)等結(jié)論.

3.積累素材，建構(gòu)數(shù)學(xué)

問題5 在直角坐標(biāo)系中，你認(rèn)為390°角的三角函數(shù)值怎么定義？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)回到摩天輪模型中討論，結(jié)合直角坐標(biāo)系，得出390°和30°兩角終邊相同，三角函數(shù)值也對(duì)應(yīng)相等.教師創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過討論摒棄原先的概念，讓學(xué)生通過求390°角的三角函數(shù)值，體會(huì)用坐標(biāo)來表示三角函數(shù)的必要性和合理性，提高學(xué)生的探索能力，為引入任意角的三角函數(shù)的定義做準(zhǔn)備.

問題6 如何定義3π4角的三角函數(shù)值？

設(shè)計(jì)意圖：有了390°角三角函數(shù)的求法經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以在角的終邊上選點(diǎn)，按照坐標(biāo)相應(yīng)比值來計(jì)算，通過操作用坐標(biāo)來表示3π4的三角函數(shù)值，感受新定義的運(yùn)算.

問題7 如何定義任意角的三角函數(shù)？（給出任意角的三角函數(shù)的定義）

經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意角α，在其終邊上任意取一點(diǎn)P（x，y），比值yr，xr，yx都是唯一確定的，因此得到

f1：α→yr——正弦：sin α=yr;

f2：α→xr——余弦：cos α= xr;

f3：α→yx——正切：tan α=yx（x≠0）.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過討論能夠說出任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，體會(huì)坐標(biāo)思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的推理過程，樹立勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新意識(shí).

4.函數(shù)思想，加深理解

問題8 sin α，cos α，tan α是α的函數(shù)嗎？

通過回顧函數(shù)的定義，討論得出結(jié)論：對(duì)于確定的角α，比值yr和xr都是唯一確定的，故正弦和余弦都是角α的函數(shù).當(dāng)α≠π2+kπ（k∈Z）時(shí)，對(duì)于確定的角α，比值yx也是唯一確定的，故正切也是角α的函數(shù).sin α，cos α，tan α分別叫作角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，以上三個(gè)函數(shù)我們都稱為三角函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)的定義，分析得出三角函數(shù)是函數(shù)，將三角函數(shù)統(tǒng)一理解.

問題9? sin α，cos α，tan α的符號(hào)如何確定？

利用任意角的三角函數(shù)定義，根據(jù)角的終邊的位置判斷任意角的三角函數(shù)值的符號(hào).

設(shè)計(jì)意圖：通過函數(shù)的概念類比得到任意角的三角函數(shù)定義，對(duì)“任意角的三角函數(shù)”的概念有進(jìn)一步的理解.

5.例題解決，鞏固所學(xué)

例1 已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2，-3），求α的正弦值、余弦值、正切值.

例2 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào).

（1）cos 7π12 ;（2）sin（-465°） ;（3）tan11π3.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在例題的練習(xí)中再次鞏固任意角的三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)定義中反映的數(shù)值特點(diǎn)（與該角所在的象限有關(guān)），簡單進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理.

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的問題驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)分析

1.探究式情境的引入和抽象問題的可視化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象、直觀想象與數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)

情境的引入最好貼近生活.在探求摩天輪上一點(diǎn)的位置的過程中，問題探尋很自然地創(chuàng)造了探究環(huán)境，潤物細(xì)無聲，使得數(shù)學(xué)問題可觸及、有依據(jù)、可視化、形象化，觸發(fā)學(xué)生自己解決身邊相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的欲望，提高了學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問題的學(xué)習(xí)積極性，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀想象將摩天輪放置于坐標(biāo)系中，抽象出（x，y）和（r，α）兩種形式，培養(yǎng)學(xué)生分析觀察能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

2.對(duì)銳角三角函數(shù)定義的適時(shí)提問，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象的有機(jī)組合

初中學(xué)的銳角三角函數(shù)定義是在直角三角形中研究的.復(fù)習(xí)此定義的目的是想讓學(xué)生說出：銳角三角函數(shù)是直角三角形邊之間的一個(gè)比值.在研究摩天輪上一點(diǎn)位置的表示的時(shí)候，在探究的過程中，學(xué)生會(huì)想到利用銳角三角函數(shù)來解釋.此時(shí)，教師提出任意角的三角函數(shù)的定義顯得更自然，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象的有機(jī)結(jié)合.

3.對(duì)30°角、390°角、3π4角的三角函數(shù)值先后進(jìn)行探究，體現(xiàn)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算

π4角與3π4角的聯(lián)系不如30°角和390°角緊密，所以首先選擇30°角和390°角開始研究，只要角確定，終邊就確定.對(duì)于30°角的詳細(xì)探究得出：只要角的終邊確定，三角函數(shù)值就不變.因此，對(duì)于390°角的定義的研究自然就有了依據(jù)，可以很容易得到390°的三角函數(shù)值與30°角對(duì)應(yīng)相等，突顯了數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和任意角的三角函數(shù)定義的合理性.關(guān)于3π4角的求解，學(xué)生會(huì)在角的終邊上選點(diǎn)，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算求出3π4角的三角函數(shù)值，體會(huì)任意角三角函數(shù)的求解，進(jìn)一步加深對(duì)非銳角的特殊角的三角函數(shù)定義的理解.

4.定義層層鋪墊，呼之欲出，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算

在對(duì)30°角、390°以及3π4角的正弦值求解時(shí)，學(xué)生已經(jīng)清晰三角函數(shù)值可以用坐標(biāo)表示.在層層的計(jì)算探討過程中，學(xué)生由特殊到一般，通過知識(shí)遷移，自然想到任意角的三角函數(shù)用坐標(biāo)來定義，并已經(jīng)組織好了相應(yīng)語言，只等著教師來問.任意角的三角函數(shù)不再局限于邊之比，抽象的邊已經(jīng)轉(zhuǎn)化成了坐標(biāo).

5.概念及時(shí)鞏固，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理

對(duì)于sin α，cos α，tan α是不是α的函數(shù)的判斷，是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)定義的理解程度.任意角的三角函數(shù)是關(guān)于角的函數(shù)，求法為在角的終邊上取一點(diǎn)，借助坐標(biāo)來求.結(jié)果可得三角函數(shù)是恒定的比值關(guān)系，與終邊上點(diǎn)的選取無關(guān)，只與角有關(guān).教師讓學(xué)生體會(huì)用定義找出終邊上的點(diǎn)所在的位置來判斷三角函數(shù)的符號(hào)，鞏固加深本節(jié)課的概念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)謹(jǐn)性.

三、數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

我國教育學(xué)、心理學(xué)理論對(duì)知識(shí)的掌握所持的普遍觀點(diǎn)是：領(lǐng)會(huì)、鞏固和應(yīng)用，知識(shí)的掌握過程就是通過一系列的心智活動(dòng)，在頭腦中建立起相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.曹才翰、章建躍指出，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握分為：增生、重建、融會(huì)貫通三個(gè)階段.在摩天輪上一點(diǎn)的位置探究過程中，學(xué)生產(chǎn)生了疑問;求解決疑問的過程中學(xué)生出現(xiàn)了建立直角坐標(biāo)系;尋找兩種表示關(guān)系的過程中學(xué)生回想到銳角三角函數(shù)的定義;在得出銳角三角函數(shù)定義的本質(zhì)的過程中，重建了銳角三角函數(shù)的定義，也使得三角函數(shù)的定義跨越了銳角，突破象限，推廣到了任意角.總之在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的引導(dǎo)下，充分說明了素養(yǎng)與能力是相互依存的.

四、核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)思考

章建躍指出數(shù)學(xué)教育在學(xué)生的核心素養(yǎng)的發(fā)展中具有不可替代性，數(shù)學(xué)教育要用數(shù)學(xué)的方式來發(fā)揮內(nèi)在力量.對(duì)于數(shù)學(xué)教師來說，真正提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最主要的陣地就是課堂.教師要在課堂中精心設(shè)計(jì)教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，將課程改革的目標(biāo)體現(xiàn)在每節(jié)課里，將教學(xué)目標(biāo)可視化、可量化.如今，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)已經(jīng)非常完善，運(yùn)用先進(jìn)的信息技術(shù)，如Seewo授課助手、iPad工具、圖形計(jì)算器等.教師以探究式教學(xué)引領(lǐng)課堂教學(xué)改革，有效變革學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性與合作性，進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)的邏輯思維與抽象概括能力，發(fā)揮學(xué)生的想象力，提高動(dòng)手操作能力，培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勤于實(shí)踐的科學(xué)精神.而實(shí)現(xiàn)這一切的前提與關(guān)鍵是教師自身的理念與觀念要及時(shí)更新，要仔細(xì)研讀課本教材、課程標(biāo)準(zhǔn)，研究學(xué)生，研究教學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

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[4]章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的立體幾何教材變革[J]數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（11）：1-6.