李捷生

[摘 ?要] 文章以“簡(jiǎn)單幾何體外接球”為例，借助數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換思想，通過(guò)圖形轉(zhuǎn)換、思維轉(zhuǎn)換等方式，培養(yǎng)學(xué)生的模式化思維和載體化意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的遷移能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想;核心素養(yǎng);直觀想象素養(yǎng);簡(jiǎn)單幾何體;外接球

引言

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的[1]. 對(duì)此，部分教師在教學(xué)中進(jìn)行了嘗試，并取得了一定的成果. 比如培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，朱賢良通過(guò)特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征來(lái)確定外接球球心的位置，梳理了部分規(guī)則幾何體的解題思路[2];李健通過(guò)一節(jié)課堂實(shí)例，呈現(xiàn)了如何借助一個(gè)立體幾何問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的具體范例[3];符強(qiáng)如在高三復(fù)習(xí)中，嘗試通過(guò)將多面體外接球問(wèn)題“模式化”，助力學(xué)生深度學(xué)習(xí)[4]. 這些嘗試，在解決簡(jiǎn)單幾何體外接球問(wèn)題的技巧上提供了很好的借鑒方案，也為提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)提供了很好的范例.

在這些優(yōu)秀同行的研究基礎(chǔ)上，文章嘗試從數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)教學(xué)過(guò)程的角度出發(fā)，以“簡(jiǎn)單幾何體外接球”教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谵D(zhuǎn)換思想[5]的引領(lǐng)下，培養(yǎng)學(xué)生的模式化思維和載體化意識(shí)，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)展示一條實(shí)施路徑.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 以圓柱為載體的外接球

教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分別從題4-1、題4-2的幾何體棱長(zhǎng)和底面垂直的特征中“萃取”線面垂直模型，從題4-3的幾何體一個(gè)底面與其中一個(gè)側(cè)面垂直的特征中“萃取”面面垂直模型，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的概括能力. 通過(guò)“問(wèn)題鏈”的方式，引導(dǎo)學(xué)生尋求這兩個(gè)特殊模型的解決方案，并通過(guò)類比推理，搭建起空間與平面思維的通道，實(shí)現(xiàn)思維的轉(zhuǎn)換. 在教學(xué)過(guò)程中，教師啟發(fā)學(xué)生思考并提出問(wèn)題：“平面幾何中，確定圓心的位置是解決圓的問(wèn)題的關(guān)鍵，我們是如何確定圓心的？”“找圓心的方法可以類比到找球心的方法嗎？”“圓中的弦該類比到球中的哪個(gè)幾何元素呢？”通過(guò)一系列“問(wèn)題鏈”的引導(dǎo)，類比新舊知識(shí)，進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練，構(gòu)建獲得新知的科學(xué)路徑，引導(dǎo)學(xué)生注重知識(shí)之間的聯(lián)系，滲透轉(zhuǎn)換思想;通過(guò)新舊知識(shí)的類比，將解決平面幾何問(wèn)題的方法遷移至立體幾何問(wèn)題上，實(shí)現(xiàn)從空間到平面的轉(zhuǎn)換，有助于學(xué)生對(duì)球問(wèn)題的深度理解. 將條件特殊化后的兩個(gè)模型的外接球問(wèn)題（面面垂直、線面垂直）與平面中圓的兩條垂直弦的模型進(jìn)行類比，加深學(xué)生對(duì)前一次類比的理解. 通過(guò)數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)，提升學(xué)生的知識(shí)理解能力和遷移能力.

教學(xué)思考

1. 由圖形轉(zhuǎn)換提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的提升落實(shí)到“簡(jiǎn)單幾何體外接球”的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師需要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)并理解圖形之間的關(guān)系，借助圖形的特性，將復(fù)雜圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單圖形的問(wèn)題，將陌生的圖形轉(zhuǎn)換為熟悉的圖形，幫助學(xué)生進(jìn)行深度理解，培養(yǎng)學(xué)生的模式化思維和載體化意識(shí).

在“以圓柱、圓錐為載體的外接球”的教學(xué)中，整個(gè)教學(xué)圍繞“如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換”展開(kāi)，目的是讓學(xué)生充分體會(huì)兩次轉(zhuǎn)換（見(jiàn)圖5）的意義，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形的對(duì)稱性及圖形之間的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)將特殊棱柱、棱錐問(wèn)題轉(zhuǎn)換為圓柱、圓錐問(wèn)題，提升直觀想象素養(yǎng).

在“以長(zhǎng)方體為載體的外接球”的教學(xué)中，以轉(zhuǎn)換思想引領(lǐng)學(xué)生觀察特殊三棱錐的特性，聯(lián)想到長(zhǎng)方體的棱垂直多、對(duì)角線相等的幾何特性，將特殊三棱錐還原為長(zhǎng)方體，實(shí)現(xiàn)特殊三棱錐模型與長(zhǎng)方體模型的轉(zhuǎn)換（見(jiàn)圖6）. 一方面，教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注幾何體特殊性質(zhì)的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生能從一般幾何體中“萃取”某一類特殊幾何體的能力，并能用直觀形象的名稱表達(dá)出有類別的特殊性質(zhì)，這實(shí)際上就是學(xué)生直觀想象素養(yǎng)在“能用數(shù)學(xué)的眼光看世界”“能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”的一種具體表現(xiàn)形式. 另一方面，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)視角去看待同一個(gè)幾何體，而且還要引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光去看待多個(gè)幾何體，從幾何體之間的聯(lián)系這個(gè)角度去直觀感知幾何體，掌握研究幾何圖形的基本方法，提升直觀想象的素養(yǎng)[6].

2. 由思維轉(zhuǎn)換提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

史寧中認(rèn)為：“幾何教學(xué)，更好的教學(xué)過(guò)程應(yīng)當(dāng)是先討論二維空間的情況，然后類比到三維空間的情況，最后抽象出一般n維空間.”[7]球作為圓在三維空間中的拓展，是提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)很好的一個(gè)素材. 但是，由于學(xué)生原有的幾何儲(chǔ)備知識(shí)大部分屬于二維平面知識(shí)，因此在實(shí)際的教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換，將三維空間問(wèn)題降維到他們熟悉的二維平面問(wèn)題，然后調(diào)用二維平面中相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行類比并解決三維空間問(wèn)題.

上述教學(xué)設(shè)計(jì)，目的是引導(dǎo)學(xué)生站在思想高度去看問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生高觀點(diǎn)下思考問(wèn)題的能力，通過(guò)圖形轉(zhuǎn)換和思維轉(zhuǎn)換將簡(jiǎn)單幾何體分別轉(zhuǎn)化為圓柱模型、圓錐模型、長(zhǎng)方體模型、垂直模型等四種模型，讓學(xué)生參與并經(jīng)歷這些轉(zhuǎn)化過(guò)程，促使學(xué)生更加關(guān)注圖形特征、圖形之間的聯(lián)系，從而提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 另一方面，通過(guò)數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)，讓學(xué)生感悟從整體的視角關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系，感悟從模型的視角去整合知識(shí)，有利于促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的模式化思維和載體化意識(shí)，提升學(xué)生的遷移能力.

結(jié)束語(yǔ)

張奠宙教授指出：“每一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科都有其特有的數(shù)學(xué)思想，賴以進(jìn)行研究（或?qū)W習(xí)）的導(dǎo)向，以便掌握其精神實(shí)質(zhì). 只有把數(shù)學(xué)思想掌握了，計(jì)算才能發(fā)生作用，形式演繹體系才有靈魂.”素養(yǎng)的培養(yǎng)不可能一蹴而就，學(xué)生從理解到感悟需要一個(gè)過(guò)程，需要教師進(jìn)行有意識(shí)的引導(dǎo). 因此，教學(xué)活動(dòng)需要數(shù)學(xué)思想作為引領(lǐng)，借助具體的知識(shí)作為載體，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)理解、遷移、應(yīng)用的能力.

參考文獻(xiàn)：

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[2] ?朱賢良. 眾里尋“心”千百度 繁華落盡識(shí)真顏——確定多面體外接球球心位置的一般途徑與四個(gè)特殊模型[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（21）.

[3] ?李健. 直觀把握數(shù)學(xué)本質(zhì)動(dòng)態(tài)提升思維品質(zhì)——從教材中一個(gè)立體幾何問(wèn)題例談變式教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（10）.

[4] ?符強(qiáng)如. 巧建數(shù)學(xué)模型 助力深度學(xué)習(xí)——以模式化思想求解多面體外接球問(wèn)題為例[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（17）.

[5] ?吳炯圻，林培榕. 數(shù)學(xué)思想方法：創(chuàng)新與應(yīng)用能力的培養(yǎng)[M]. 廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué)出版社，2009.

[6] ?宋建輝. 基于學(xué)科核心素養(yǎng)的2019高考全國(guó)卷立體試題分析[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（01）.

[7] ?史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論（第4輯）——數(shù)學(xué)中的歸納推理[M]. 長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2010.

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