陳鎮(zhèn)偉

【文摘】類(lèi)比是兩事物在一些方面相同或類(lèi)似去推知在另外一些方面也相同或類(lèi)似，但這種合情推理的結(jié)論可能正確，也可能錯(cuò)誤，它還要靠邏輯推理去證明正確與否.類(lèi)比法的關(guān)鍵就在于善于從新問(wèn)題聯(lián)想到舊問(wèn)題，并把新舊問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比.在具體應(yīng)用中，我們一般可以根據(jù)四個(gè)原則進(jìn)行類(lèi)比解題，把新舊問(wèn)題相類(lèi)比，把簡(jiǎn)單與復(fù)雜問(wèn)題相類(lèi)比，把直觀(guān)與抽象問(wèn)題相類(lèi)比，把學(xué)科間的問(wèn)題相類(lèi)比.有意識(shí)地培養(yǎng)應(yīng)用類(lèi)比法解題可提高思維能力和創(chuàng)造力，是獲得新思路新發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑，并且能有效鞏固和保持已有的知識(shí).

【關(guān)鍵詞】類(lèi)比;合情推理;數(shù)學(xué)問(wèn)題;新舊問(wèn)題;核心素養(yǎng)

在瀚如浩海的初等數(shù)學(xué)題中，有大量的題目可用一種特殊的數(shù)學(xué)解題方法——類(lèi)比法解決.什么是類(lèi)比法呢？著名教育家波利亞說(shuō)過(guò)，“在解答一個(gè)顯然難以求解的問(wèn)題時(shí)，提出一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助問(wèn)題，并加以解答，以找到解決原來(lái)問(wèn)題的途徑.這是一個(gè)最獨(dú)特的智力活動(dòng)……一個(gè)輔助問(wèn)題，只要和原來(lái)問(wèn)題相似，而且較為容易，它就可以給予方法論方面的意義”.實(shí)際上類(lèi)比法的實(shí)質(zhì)就是如此.它是根據(jù)新舊問(wèn)題在某些方面相似或相同，推導(dǎo)出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤姆椒?，如果我們從邏輯上?lái)看待類(lèi)比法，它的形式就是數(shù)學(xué)推理中的類(lèi)比推理，用符號(hào)表示即為：

研究對(duì)象??? 屬性

∵ 甲????? A B C D

乙???? A B C

∴乙也有屬性D.

類(lèi)比推理是一種或然推理，因而應(yīng)用類(lèi)比法所推得的結(jié)論是不確定的，我們不能把類(lèi)比法作為一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理方法.但是，當(dāng)我們面對(duì)一道數(shù)學(xué)題束手無(wú)策時(shí)，我們?nèi)艨紤]用類(lèi)比法來(lái)打開(kāi)思路，則往往能激發(fā)我們的思維火花，使我們找到解題線(xiàn)索，為解決問(wèn)題描出一個(gè)大概的過(guò)程和輪廓.正如康德所說(shuō)的：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類(lèi)比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn).”應(yīng)用類(lèi)比法解題，首先必須全面、細(xì)致地審清題意，在審清題意的基礎(chǔ)上，在腦海中閃現(xiàn)出與此類(lèi)似的舊問(wèn)題及相關(guān)的理論，并深刻分析問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，把未知問(wèn)題和已知問(wèn)題加以對(duì)照，從而根據(jù)已知結(jié)論對(duì)未知問(wèn)題的結(jié)論做出預(yù)測(cè)，解決新問(wèn)題.類(lèi)比法的關(guān)鍵就在于善于從新問(wèn)題聯(lián)想到舊問(wèn)題，并把新舊問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比.在具體應(yīng)用中，我們一般可以根據(jù)四個(gè)原則來(lái)進(jìn)行類(lèi)比解題，把新舊問(wèn)題相類(lèi)比，把簡(jiǎn)單與復(fù)雜問(wèn)題相類(lèi)比，把直觀(guān)與抽象問(wèn)題相類(lèi)比，把學(xué)科間的問(wèn)題相類(lèi)比.

一、把新問(wèn)題和舊問(wèn)題相類(lèi)比

已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法往往對(duì)我們所要解決的問(wèn)題有著重要的指導(dǎo)意義，適當(dāng)?shù)匕研聠?wèn)題和舊問(wèn)題相類(lèi)比，能開(kāi)闊我們的思路，使我們尋得解題方法.

例1 解方程x3+（1+2）x2-2=0.

分析 這是以x為未知數(shù)的三次方程，學(xué)生對(duì)三次方程的解法較為陌生，但對(duì)一元二次方程的解法則是掌握的，因此，我們可考慮把三次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，觀(guān)察原方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若把x視為“已知數(shù)”，把“2”看作未知數(shù)，則原方程便可以看作關(guān)于“2”的一元二次方程.

解 設(shè)y=2，則原方程可化為y2-x2y-（x3+x2）=0，

解方程得：y=-x或y=x2+x，

∴x=-2或x2+x-2=0，

∴x1=-2，x2=-1+1+422，x3=-1-1+422是原方程的解.

例2 已知x，y，z均為實(shí)數(shù)，且xy≠-1，yz≠-1，zx≠-1，

求證：x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy·y-z1+yz·z-x1+zx.

分析 此題若用代數(shù)方法證明，則很冗繁，由于這道題的結(jié)論形式是三個(gè)代數(shù)式和等于它們?nèi)咧e，因此我們可以回憶一下所解過(guò)的類(lèi)似問(wèn)題，如下題：

在△ABC中，求證：tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

這道題的證法是：∵A+B+C=π，∴A+B=π-C，

等式兩邊取正切得：tan A+tan B1-tan A·tan B=-tan C，

去分母整理得：tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

要將該題的證法進(jìn)一步移植到原題中，還必須使：

tan A=x-y1+xy，tan B=y-z1+yz，tan C=z-x1+zx.

經(jīng)過(guò)分析研究，證法如下：

令x=tan α，y=tan β，z=tan γ，A=α-β，B=β-γ，C=γ-α，

則tan A=tan（α-β）=tan α-tan β1+tan α·tan β=x-y1+xy，

同理tan B=y-z1+yz，tan C=z-x1+zx，

∵A+B+C=（α-β）+（β-λ）+（λ-α）=0，∴A+B=-C，

取正切得tan A+tan B1-tan A·tan B=-tan C，

∴tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C，

即x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy·y-z1+yz·z-x1+zx.

二、把復(fù)雜問(wèn)題和簡(jiǎn)單問(wèn)題相類(lèi)比

面對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題，可把它簡(jiǎn)單化并解決之，從而獲得解決原問(wèn)題的啟示和依據(jù).

例3 已知角α，β，γ，θ都是銳角，且α+β+γ+θ=π，

求y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的最大值.

分析 這里的y是多個(gè)角的三角函數(shù)的積，較復(fù)雜，求解難以入手，不妨先來(lái)探討一個(gè)相似的簡(jiǎn)單問(wèn)題：已知角α，β都是銳角，α+β=A（A為定值且0

y=sin α·sin β=sin α·sin（A-α）

=12cos （2α-A）-cos A，

依題設(shè)條件可知：當(dāng)且僅當(dāng)α=A2，即α=β=A2時(shí)，

y取得最大值sin A22.

這個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決給了我們什么啟示呢？它使我們自然會(huì)猜想原問(wèn)題正確的結(jié)論也許是：當(dāng)且僅當(dāng)α=β=γ=θ=π4時(shí)，y取得最大值sin π44，這個(gè)結(jié)論果真正確嗎？需要證明，直接證明此結(jié)論似難入手，正難則反，試證若α，β，γ，θ不都相等，則y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的值就無(wú)法取到最大.有了前面對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的探究，此命題是很容易解決的，事實(shí)上，若α，β，γ，θ不都相等，不妨設(shè)α≠β，我們暫且固定γ，θ的值不變，而讓?duì)粒轮底兓?

則有α+β=π-（γ+θ）為定值，且0<π-（γ+θ）<π.

∵α≠β，∴sin α·sin β的值不是最大，從而y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的值也不是最大，所以我們對(duì)原問(wèn)題的猜想是正確的，問(wèn)題得以順利解決.

例4 解方程組x+y+z=3，（1）

x2+y2+z2=3，（2）

x3+y3+z3=3.（3）

分析 粗看之下，很難入手，若用代入消元法，則計(jì)算十分繁雜，因此先考慮方程組x+y=3，（4）x2+y2=5，（5）雖然這兩個(gè)方程組的元數(shù)，次數(shù)均不相同，但仍有不少與原題相似的地方，如每一方程未知數(shù)的次數(shù)都是一樣的，都是關(guān)于未知數(shù)的輪換式，都沒(méi)有不同未知數(shù)乘積的項(xiàng)等.根據(jù)x+y=3，再由（4）2-（5）2，求出xy=2，根據(jù)韋達(dá)定理得方程x2-3x+2=0，∴x=1或2，∴方程組的解為x1=1，y1=2，或x2=2，y2=1.

類(lèi)比于上述解法，在原方程組中已知x+y+z=3，同樣設(shè)法求xy+yz+zx和xyz的值，最后用韋達(dá)定理求解.

具體解法是：由（1）2-（2）2得

xy+yz+zx=32-32=3，

由（1）3-（3）得（x+y+z）3-（x3+y3+z3）=24，

∴（x+y）（y+z）（z+x）=8，

即（3-z）（3-x）（3-y）=8，

∴xyz=1.

根據(jù)韋達(dá)定理得u3-3u2+3u-1=0，∴（u-1）3=0.

從而可知x=1，y=1，z=1是原方程組的解.

三、把抽象的問(wèn)題和直觀(guān)的問(wèn)題相類(lèi)比

直觀(guān)圖形有助于挖掘問(wèn)題的本質(zhì)東西，幫助我們理清條序，迅速解題.

例5 已知a>0，b>0且a+b=1，求證a-1a2+b-1b2≥92.

分析 我們注意到左邊兩個(gè)平方項(xiàng)有相同的結(jié)構(gòu)，可以類(lèi)比聯(lián)想到具有這種結(jié)構(gòu)的函數(shù)f（x）=x-1x2，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)容易斷定此函數(shù)圖像是凹的.如圖1所示，

∴f（a）+f（b）2≥fa+b2，

∴a-1a2+b-1b2≥92.

四、把這一學(xué)科的問(wèn)題和鄰近學(xué)科的問(wèn)題相類(lèi)比

數(shù)學(xué)各門(mén)分科并不截然孤立，而是有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系的.正是由于這種學(xué)科間的相互聯(lián)系，相互滲透使我們得以根據(jù)類(lèi)比思想方法創(chuàng)造性解決問(wèn)題，使思維得到更高層次發(fā)展.

例6 從四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D分別向所對(duì)的平面引垂線(xiàn)，其長(zhǎng)分別為ha，hb，hc，hd，P為四面體內(nèi)任一點(diǎn)，從P向A，B，C，D四點(diǎn)所對(duì)的平面作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)長(zhǎng)分別為pa，pb，pc，pd，求證：paha+pbhb+pchc+pdhd=1.

分析 立體幾何問(wèn)題一般可以和平面幾何問(wèn)題相類(lèi)比，故可考慮如下的一平面幾何題以獲得啟發(fā).設(shè) △ABC的三邊AB，AC，BC的高分別為hc，hb，ha，并且三角形內(nèi)任一點(diǎn)P到這三邊的距離分別為pc，pb，pa.求證：paha+pbhb+pchc=1.

證法為：如圖2，連接PB，PC，

paha=12BC·pa12BC·ha=S△PBCS△ABC.

同理pbhb=12AC·pb12AC·hb=S△PACS△ABC，

pchc=12AB·pc12AB·hc=S△PABS△ABC，

∴paha+pbhb+pchc=S△PBC+S△PAC+S△PABS△ABC=1.

原題與上題類(lèi)比可得證法如下：

paha=13S△BCD·pa13S△BCD·ha=VP-BCDVA-BCD，

同理pbhb=VP-ACDVA-BCD，pchc=VP-ABDVA-BCD，pdhd=VP-ABCVA-BCD，

∴paha+pbhb+pchc+pdhd=VP-ACD+VP-ABC+VP-BCD+VP-ABDVA-BCD=1.

可以說(shuō)，在數(shù)學(xué)中類(lèi)比法可解決許多難題，它的應(yīng)用范圍較為廣泛，使用類(lèi)比法解題要求我們首先要有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，其次要善于聯(lián)想，善于分析，合情推理，挖掘事物間本質(zhì)、必然的聯(lián)系，以經(jīng)過(guò)論證的事實(shí)為依據(jù)，去推測(cè)出問(wèn)題的結(jié)論.正是由于類(lèi)比法的這種特征，所以教師有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用類(lèi)比法解題可提高學(xué)生思維能力和創(chuàng)造力，并且使其鞏固和保持已有的知識(shí)，這是獲得新思路新發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑.

【參考文獻(xiàn)】

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