摘 要：“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”在開展課程思政教學(xué)上有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢，本文以“相互獨(dú)立條件下事件概率的計算”和“貝努利分布及其應(yīng)用”兩個教學(xué)案例，通過引入大量的生活常識、耳熟能詳?shù)闹V語、搭建知識結(jié)構(gòu)體系等教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生用概率的眼光解讀未知的世界，用統(tǒng)計的方法指導(dǎo)工作與生活。在關(guān)注知識傳授、能力培養(yǎng)、情感價值塑造的同時，將辯證唯物主義、科學(xué)精神、家國情懷、人生觀及社會主義核心價值觀等思政元素，潤物細(xì)無聲的融入“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程教學(xué)，使知識傳授與價值引領(lǐng)同頻共振，最終實現(xiàn)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程“立德樹人”的核心功能。

關(guān)鍵詞：相互獨(dú)立事件;概率;貝努利分布;知識傳授;價值引領(lǐng)

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是高等院校理工類、經(jīng)管類開設(shè)的重要課程之一，在培養(yǎng)學(xué)生的理性精神、隨機(jī)事件應(yīng)對能力、數(shù)據(jù)處理與建模能力、綜合素質(zhì)培養(yǎng)及思想政治隱性教育等方面起著十分重要的作用。

在課程思政背景下，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程在培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人這個教育根本問題上，除了要關(guān)注知識傳授與能力培養(yǎng)，更要關(guān)注知識傳授與價值引領(lǐng)的同頻共振。目前關(guān)于“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程開展課程思政教學(xué)的文獻(xiàn)和教學(xué)案例還很少，筆者多年從事高?！案怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計”課程教學(xué)，形成了自身的一些教學(xué)特點(diǎn)，對其推進(jìn)課程思政的教學(xué)有些體會，本文就此做些

總結(jié)。

一、課程思政背景及“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程思政的優(yōu)勢

習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強(qiáng)調(diào)，要把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，要用好課堂教學(xué)這個主渠道，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實現(xiàn)全程育人、全方位育人?！黝愓n程都要守好一段渠，種好責(zé)任田，與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)[1]。“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”作為研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科，在課程思政教育教學(xué)上自帶得天獨(dú)厚的優(yōu)勢。

從人文價值角度看，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中很多隨機(jī)實驗、概念、公式、定理和方法背后，都體現(xiàn)著統(tǒng)計學(xué)家們不懈努力、刻苦研究、嚴(yán)謹(jǐn)周密、一絲不茍的科學(xué)精神，這足以激發(fā)學(xué)生勇攀科學(xué)高峰、戰(zhàn)勝各種困難的信念和勇氣。

從哲學(xué)層面看，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”獨(dú)具特色的概念、公式、定理和方法中，體現(xiàn)著大量的隨機(jī)與確定、聯(lián)系與發(fā)展、局部與整體、一般與特殊、精確與近似、對立與統(tǒng)一、量變與質(zhì)變、理論與實踐等辯證唯物主義哲學(xué)思想，這些都是很好的思政元素資源。

從技術(shù)層面看，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”提供了從不同角度認(rèn)識世界和改造世界的具體理論和方法。概率論是根據(jù)大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，對隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出一種客觀的科學(xué)判斷，并作出數(shù)量上的描述。數(shù)理統(tǒng)計則是基于概率論的理論和方法，研究收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)并據(jù)以對所研究的問題作出一定結(jié)論的科學(xué)和藝術(shù)。無論是貝葉斯學(xué)派，還是皮爾遜、費(fèi)舍爾、尼曼等學(xué)派，都希望通過統(tǒng)計方法從歸納的角度認(rèn)識世界，改造世界，很好體現(xiàn)了“知行合一”。

二、“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”開展課程思政的教學(xué)設(shè)計素材

課堂教學(xué)是育人最主要的過程，也是教書育人最重要的途徑。知識傳授與價值引領(lǐng)是育人的基本實現(xiàn)形式。教學(xué)中既要注重在價值傳播中凝聚知識底蘊(yùn)，又要注重在知識傳播中強(qiáng)調(diào)價值引領(lǐng)，突出顯性教育和隱性教育相融通，實現(xiàn)從思政課程向課程思政創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化[2]。

在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程教學(xué)中，要充分挖掘并呈現(xiàn)課程思政優(yōu)勢的各種素材。

1.將科學(xué)家的鉆研精神和愛國主義情懷融入教學(xué)

挖掘“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”基本概念、實驗、公式、定理和方法背后的人文價值素材。例如開創(chuàng)中國概率論、數(shù)理統(tǒng)計領(lǐng)域教學(xué)和研究工作的一代宗師許寶騄教授，是世界公認(rèn)的多元統(tǒng)計分析奠基人之一，在參數(shù)估計理論、奈曼-皮爾遜理論、多元分析、極限理論等領(lǐng)域都取得了卓越成就。許教授曾在英國倫敦大學(xué)留學(xué)并任教，但在祖國艱難時期，謝絕國外著名大學(xué)的挽留，毅然選擇回國。通過開設(shè)講習(xí)班等形式，為我國培養(yǎng)了一批批概率統(tǒng)計學(xué)科的教學(xué)和科研人才。許教授心懷祖國、報效祖國、為科學(xué)奉獻(xiàn)終身的事跡足以激發(fā)學(xué)生勇攀科學(xué)高峰的信念和報效祖國的愛國情懷。

2.將辯證唯物主義哲學(xué)思想融入教學(xué)

挖掘“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”基本概念、實驗、公式、定理所蘊(yùn)含的對立統(tǒng)一、量變質(zhì)變、局部與整體、精確與近似、理論與實踐、絕對與相對轉(zhuǎn)化等規(guī)律，這些都是對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義思想教育的很好素材。例如，隨機(jī)現(xiàn)象的概念體現(xiàn)了表面呈現(xiàn)的偶然性與內(nèi)部蘊(yùn)含的必然性二者的對立統(tǒng)一關(guān)系。隨機(jī)變量分布函數(shù)的引入，體現(xiàn)了隨機(jī)性思維與確定性思維的統(tǒng)一，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)不同學(xué)科之間的聯(lián)系和統(tǒng)一。大數(shù)定律和中心極限定理體現(xiàn)了從量變到質(zhì)變、從精確到近似的轉(zhuǎn)化規(guī)律。數(shù)理統(tǒng)計中的參數(shù)估計和假設(shè)檢驗體現(xiàn)了從部分與總體、理論與實踐的區(qū)別與聯(lián)系的和諧統(tǒng)一。

3.將正確的世界觀、人生觀、價值觀融入教學(xué)

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的大量計算、證明及其應(yīng)用中，每個過程都要依據(jù)概念、性質(zhì)、定理或推論，有理有據(jù)的推導(dǎo)，這種貫穿課程始終的嚴(yán)謹(jǐn)理性的邏輯思維，會引領(lǐng)學(xué)生將規(guī)則意識銘記于心，不做違法、違規(guī)之事。

可通過列舉身邊大量的生活常識、耳熟能詳?shù)闹V語或寓言故事、講述知識點(diǎn)的歷史典故、總結(jié)搭建知識結(jié)構(gòu)體系等方式，啟發(fā)學(xué)生用概率的眼光解讀我們的世界，用統(tǒng)計的方法來指導(dǎo)我們的工作與生活，在關(guān)注知識傳授、能力培養(yǎng)、情感價值塑造的同時，進(jìn)行道德品質(zhì)教育，起到育才與育人一舉兩得的效果。例如，在全概率公式和貝葉斯公式教學(xué)中，以“狼來了”寓言故事，展現(xiàn)人們以動態(tài)的方式思考問題，對一些問題的看法要隨著新信息的加入而進(jìn)行動態(tài)的調(diào)整、修正，通過建立誠信度的量化評價模型，得出結(jié)論：誠信缺失之后，若想重建誠信、重新獲得人們信任并不是簡單的一兩次信守承諾就可以做到，很可能用相當(dāng)長時間也不易恢復(fù)，以此告誡社會中的每個成員都要信守承諾[3]?？傊?，用統(tǒng)計知識解讀日常生活和工作中碰到的一些現(xiàn)象，用統(tǒng)計方法去指導(dǎo)生活和工作，做到知行合一。

三、“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程思政教學(xué)的探索實踐

下面通過兩個教學(xué)案例拋磚引玉，探索以知識傳授與價值引領(lǐng)同頻共振的方式踐行課程思政的教學(xué)模式。

1.相互獨(dú)立事件概率計算的教學(xué)探索

隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量是通過概率的大小來反映。在很多實際問題和理論研究中，經(jīng)常會涉及相互獨(dú)立事件概率的計算問題。與一般隨機(jī)事件的概率計算相比，獨(dú)立事件概率的計算有其特殊的性質(zhì)和結(jié)論。

（2）相互獨(dú)立事件概率計算的思政元素

隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)。生活中很多耳熟能詳?shù)某烧Z、諺語、生活常識、甚或國家政策制定，大多都呈現(xiàn)出隨機(jī)性的特點(diǎn)。用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，從概率的眼光來進(jìn)行分析，其實就是“多個事件相互獨(dú)立時至少有一個事件發(fā)生的概率計算”問題。

例1. 兄弟同心，其利斷金

以“三個臭皮匠，賽過諸葛亮”來分析。

假設(shè)號稱諸葛亮的那個聰明人能正確解決某問題的把握為P（A0）=0.90，另假設(shè)劉備、關(guān)羽、張飛三人，各自能獨(dú)立解決該問題的把握分別為P（A1）=0.60，P（A2）=0.55，P（A3）=0.45。將數(shù)據(jù)代

入性質(zhì)4，可以得到劉關(guān)張三人合作，解決該問題的概率為：

P（A1∩B2∩C3）=1?P（A1）P（B2）P（C3）=0.901

該計算結(jié)果表明，雖然劉關(guān)張三人實力并不很強(qiáng)，各自獨(dú)立解決該問題的把握都不太大，但他們?nèi)巳裟茉诔浞职l(fā)揮自身能力的情況下展開合作，則該問題被解決的把握卻達(dá)到0.901，已經(jīng)超過號稱聰明人的諸葛亮的能力。這足以體現(xiàn)弱者間互助合作、抱團(tuán)取暖的重要。

再看劉備三顧茅廬請來諸葛亮輔佐之后，將上面相同的數(shù)據(jù)代入性質(zhì)5，結(jié)果會很驚人，該問題被解決的概率為：

P（A0∩A1∩B2∩C3）

=1?P（A0）P（A1）P（B2）P（C3）=0.998845

計算結(jié)果表明，劉備、關(guān)羽、張飛邀請聰明的諸葛亮一起共商國是，問題被解決的把握幾乎百分之百，簡直天下無敵。這也是三國演義中看到的，劉備的兵力雖遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上曹操，但是卻沒有比曹操遜色多少，甚至在后期形成了魏蜀吳三國鼎立的局面。

進(jìn)一步假設(shè)，若有100個人，每個人的實力都很弱，各自能獨(dú)立解決某問題的把握很小，不妨都以0.05估計，仍采取合作，由性質(zhì)5，可得到這個問題被解決的概率為：

這個結(jié)果，是不是從概率的角度能更好理解了“人民群眾是人類歷史的創(chuàng)造者”這句話的含義了呢？

（3）搭建知識體系，展現(xiàn)求解問題時“特殊化與一般化”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

對性質(zhì)5做進(jìn)一步的歸納引申：任意n個相互獨(dú)立的隨機(jī)事件A1， A2， …，An，若每個事件發(fā)生的概率都相同，是否會得到更一般的結(jié)論？這樣的引申，既展現(xiàn)了解決問題所用的“一般化與特殊化”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時也自然引入后續(xù)的隨機(jī)變量概念及其貝努利分布的相關(guān)內(nèi)容，搭建了內(nèi)容之間的聯(lián)系框架，有利于學(xué)生能更好地掌握本課程的基本理論知識。

（4）知識傳授與價值引領(lǐng)同頻共振

與上面的分析類似，現(xiàn)實生活中有很多現(xiàn)象或道理，用“相互獨(dú)立條件下事件概率的大小”來進(jìn)行解釋、闡述，其結(jié)果比空洞的說教更具說服力。

例如，在生活或工作、學(xué)習(xí)中，每個人難免會遇到各種各樣的不如意和困難相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，正確解決問題或戰(zhàn)勝困難的打開方式，應(yīng)該是學(xué)會和人溝通，與人合作，通過與人合作提高解決問題或戰(zhàn)勝困難的把握，成就團(tuán)隊的同時也會提升自身的價值。同時，發(fā)揚(yáng)團(tuán)結(jié)友愛、合作互助精神在提高整個團(tuán)隊工作效率的同時，也會溫暖彼此的心靈，營造融洽的人際關(guān)系。另外，對生活中聰明的諸葛亮也有一定警示作用，為人要謙遜，山外有山，人外有人，做人做事都應(yīng)該勝不驕、敗不餒。

小到個人、企業(yè)，大到一個國家都是一樣，面對共同的問題，都可以看作是n個相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，尋求真誠合作實乃明智之舉。共同的機(jī)遇，強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合可以打造精品，發(fā)展更大。共同的難題，尋求合作抱團(tuán)取暖，可以共渡難關(guān)，實現(xiàn)突破。這樣的實例還可以舉出很多，比如，在民事訴訟或刑事訴訟中大多都采用合議庭審理案件，再如，國家重大政策采用民主集中制等，都可按“相互獨(dú)立事件概率的計算”結(jié)果來進(jìn)行解釋和闡述其中的道理。

但要注意的是，在對“相互獨(dú)立事件的概率”進(jìn)行計算時要明確，合作每一方的工作態(tài)度假設(shè)都要前后一致，要各盡所能、各盡其力，才能體現(xiàn)合作的優(yōu)越性。否則，如果合作時有人想搭便車、或為一己私利互相拆臺，則合作的優(yōu)越性就會蕩然無存，甚至?xí)鸬较喾醋饔?。正如水能載舟，亦能覆舟。

2.貝努利分布及其應(yīng)用的教學(xué)探索

隨機(jī)變量概念的引進(jìn)，使得對隨機(jī)現(xiàn)象的處理更簡單與直接，也更統(tǒng)一而有力，它是通向現(xiàn)代概率理論的起點(diǎn)，是概率論發(fā)展走向成熟的一個標(biāo)志。其中貝努利分布（或稱二項分布）是一種常見的離散型隨機(jī)變量分布，在理論研究中占據(jù)非常重要的地位，在日常生活中也有廣泛的應(yīng)用。

（1）貝努利分布的特點(diǎn)及性質(zhì)

定義1. 若隨機(jī)試驗在相同條件下可以獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗只有兩個可能結(jié)果A和A，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率p保持不變，即P（A）=p，就稱這樣的試驗為n重貝努利試驗。

上述結(jié)果很好闡述了，某件事即使僅有1%的希望，也要盡100%的努力。當(dāng)努力的次數(shù)n足夠多，即n→∞時，幾乎可以百分百的肯定“事件A至少會發(fā)生一次”。即

例3. 人生在勤，不索何獲

假設(shè)在某次“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的考試中，依據(jù)教學(xué)大綱，一共設(shè)計了100道來自不同知識點(diǎn)的單項選擇題，每道題附有A、B、C、D四個選項，至少答對60道題為及格。下面計算下考生憑運(yùn)氣僥幸通過這次考試的概率有多大？

以X表示答對的題數(shù)，假定每道題的選擇是相互獨(dú)立的，則這個問題可以看成是100重貝努利試驗，即X～B（100，0.25），其分布列為

此概率幾乎為零，它相當(dāng)于在10 000億個碰運(yùn)氣的考生中，會有1.33人能通過該考試。而到2020年，人口數(shù)最多的中國僅有14多億人口，全球人口總數(shù)也才僅有75多億人口，足可認(rèn)為靠運(yùn)氣通過這次考試幾乎是不可能發(fā)生的事件，這也就從概率的角度刻畫了這種考試對每個考生都是公平的。

（3）搭建知識體系，展現(xiàn)數(shù)學(xué)解決問題的模型思維、發(fā)散思維

貝努利分布實際就是一個數(shù)學(xué)模型，利用該模型可以解決所有條件相同下的大數(shù)時，計算概率變得很麻煩，此時需要尋找近似求解的變通方法。既可以用“切比雪夫不等式”以期望和方差估計概率，也有法國數(shù)學(xué)家泊松引入的“泊松分布”作為二項分布的近似，更有棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理給出的二項分布的“正態(tài)近似”。這些都很好展現(xiàn)了發(fā)散思維，也體現(xiàn)了“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中精確與近似、離散與連續(xù)的對立與統(tǒng)一，同時也自然引申出后續(xù)的教學(xué)內(nèi)容（在此僅給出如下近似求解定理結(jié)論，不做過多闡述）。

定理1.（二項分布的泊松近似）若隨機(jī)變量X服從二項分布B（n，pn），滿足，則當(dāng)n很大，p很小時，有Cknpk（1?p）n?k≈[4]。

定理2.（二項分布的正態(tài)近似）設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為n和p（0

（4）知識傳授與價值引領(lǐng)同頻共振

隨機(jī)現(xiàn)象在生活當(dāng)中隨處可見，某種未知的結(jié)果將來可能發(fā)生也可能不發(fā)生，正如“天有不測風(fēng)云，人有旦夕禍?！?，說不好將來會如何。因此對生活和學(xué)習(xí)中的各種不如意要清醒認(rèn)知，好好珍惜當(dāng)下，做好當(dāng)下的自己。但行好事，莫問前程。

推論2的結(jié)論，也是概率論中“大數(shù)定理”所展現(xiàn)的偶然中蘊(yùn)含必然的原理。就是說，小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就會形成大概率事件。因此，在工作和生活中，每個人都應(yīng)用辯證的眼光看待小概率事件。從積極的人生角度看，某件事情即使只有1%的成功希望，也要堅持做下去，只要有恒心，鐵杵就能磨成針，生活中的不如意終會過去，美好總會不期而至。從法律風(fēng)險的角度來看，若一時未能抵住某種違法的誘惑，被發(fā)現(xiàn)的概率即使很低，但若不加以規(guī)范自身的行為，久而久之，終會有被發(fā)現(xiàn)的那天，所謂法網(wǎng)恢恢疏而不漏。因此，人生在世，要謹(jǐn)守道德和法律底線，勿以善小而不為，勿以惡小而為之。

四、結(jié)束語

課程思政是大學(xué)教育回歸育人本質(zhì)的關(guān)鍵途徑，教師在肩負(fù)傳道、授業(yè)、解惑的重要使命之前，自身應(yīng)明道、信道，方可傳道。針對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程教學(xué)，教師除自身要具備扎實的課程理論功底，不斷擴(kuò)展、豐富自身知識面，還要不斷提高自身思想水平，對時事政治的認(rèn)識要深刻，并能夠理性分析，以自身的好思想、好道德、好作風(fēng)為學(xué)生樹立榜樣。在關(guān)注知識傳授和能力培養(yǎng)的同時，將辯證唯物主義、科學(xué)精神、家國情懷及社會主義核心價值觀等內(nèi)容，潤物細(xì)無聲地融入課程教學(xué)，使知識傳授與價值引領(lǐng)同頻共振，最終實現(xiàn)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程“立德樹人”的核心功能，這也是筆者一直堅守并一以貫之的教學(xué)初心。

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[責(zé)任編輯：周曉燕]