王悅 金美月

摘 要 數(shù)學(xué)既賦有理性精神，又具有獨特的人文魅力。普通高中數(shù)學(xué)課程標準及高考考試大綱中明確提出要增加體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的試題。以近五年融入數(shù)學(xué)文化社會層面和情感層面的29道高考試題作為研究對象，分析試題中融入的數(shù)學(xué)文化的變化趨勢及特點，可以厘清高考命題融入數(shù)學(xué)文化的現(xiàn)狀并為我國后續(xù)高考題的命制提供幫助。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)文化 高考命題 特點 趨勢

數(shù)學(xué)文化包含四個層面：意識形態(tài)層面，即數(shù)學(xué)信念;社會層面，即數(shù)學(xué)知識及其變化與發(fā)展、民俗數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系;情感層面，就是數(shù)學(xué)態(tài)度、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)美;技術(shù)層面，也就是數(shù)學(xué)思想、方法及其應(yīng)用[1]。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》的命題建議中已明確指出，高考題的命制應(yīng)注重融入數(shù)學(xué)文化[2]。而且，近幾年的《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》（以下簡稱《考試大綱》）中也提出，要展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)含義等要求[3]，特別是在《2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容》（以下簡稱《修訂》）中明確提出要增加數(shù)學(xué)文化[4]。顯而易見，數(shù)學(xué)的文化價值不容忽視。筆者查閱近幾年相關(guān)高考命題融入數(shù)學(xué)文化的研究發(fā)現(xiàn)，大部分研究要么選取某一年的高考題為對象，分析其試題中如何融入數(shù)學(xué)文化[5-8]，要么從一道高考題出發(fā)，深入分析相關(guān)數(shù)學(xué)知識的演變與發(fā)展[9]，缺乏橫向的系統(tǒng)研究，以及高考命題中融入數(shù)學(xué)文化的特點、規(guī)律及其趨勢的研究。為此，筆者選取了融入數(shù)學(xué)文化的社會層面和情感層面的高考題進行了研究并提出了幾點建議，希望為我國后續(xù)高考試題命制提供一些幫助。

一、研究對象

研究范圍為2016—2020年各省市（地區(qū)）所有版本的高考試卷共73套，其中2016年19套，2017年15套，2018年、2019年和2020年各13套。

根據(jù)上述界定，筆者從73套高考卷試題中篩選出了蘊含數(shù)學(xué)文化社會層面與情感層面的試題共29道作為最終的研究對象。

二、分析與結(jié)論

（一）社會層面

1.總體趨勢。（1）試題數(shù)量逐年增多。在2016—2020年間融入數(shù)學(xué)文化的29道高考題中，蘊含數(shù)學(xué)文化社會層面的試題占絕大多數(shù)，共26道，試題數(shù)量統(tǒng)計如圖1所示。雖然自2016年起，全國每年高考卷版本越來越少，但是從圖1可以看出，蘊含數(shù)學(xué)文化社會層面的試題數(shù)量由2016年的3道往后逐年增多，雖然在2019年稍有減少，但是整體仍呈上升趨勢。盡管未達到每一版本高考卷中均有設(shè)置數(shù)學(xué)文化試題的程度，仍然有越來越多版本的高考卷積極回應(yīng)《修訂》中提出的增加數(shù)學(xué)文化的要求。（2）試題融入數(shù)學(xué)文化社會層面的維度趨于多元化。數(shù)學(xué)文化的社會層面包含三個子維度：數(shù)學(xué)知識及其變化、發(fā)展;民俗數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系。據(jù)此，筆者對近五年蘊含數(shù)學(xué)文化社會層面的26道高考題進行了梳理（見圖2和圖3）。

在近五年來融入數(shù)學(xué)文化社會層面的高考題中，有關(guān)數(shù)學(xué)知識的變化與發(fā)展的相關(guān)命題始終保有一定的熱度。從圖2可以看出，每一年均有相關(guān)高考題通過體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的變化發(fā)展來滲透數(shù)學(xué)文化。從圖3可以更清晰地看出，近兩年來，其熱度有所降低。與此同時，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)系的相關(guān)數(shù)學(xué)文化命題熱度驟升。更值得注意的是，自2019年來，民俗數(shù)學(xué)首次出現(xiàn)在數(shù)學(xué)文化社會層面的命題維度中，并且熱度不減。這表明，近年來數(shù)學(xué)高考命題越來越注重考查蘊含多元文化的數(shù)學(xué)，注重把數(shù)學(xué)與中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化相結(jié)合，以便更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值。

2.命題特點。（1）體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的變化與發(fā)展。在26道體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化社會層面的高考題中，有12道是以數(shù)學(xué)知識的變化與發(fā)展為背景，并且多為選擇題和填空題（見表1）。

由數(shù)據(jù)分析可以看出，近五年高考題中出現(xiàn)數(shù)學(xué)文化較多的是代數(shù)，其次是幾何。以下筆者用一道體現(xiàn)立體幾何變化發(fā)展的高考題來分析其如何融入數(shù)學(xué)文化。

體現(xiàn)立體幾何的變化發(fā)展——阿基米德墓碑圖案的高考題如下：

（2017年江蘇卷 6）如圖4，在圓柱[O1O2]內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱[O1O2]的體積為[V1]，球的體積為[V2]，則[V1V2]的值是_________。

分析：這道題從表面上看是用立體幾何體積公式求比例，實際上，如果學(xué)生清楚阿基米德墓碑上所刻圖形的文化背景及阿基米德的相關(guān)偉大發(fā)現(xiàn)，問題就迎刃而解了。阿基米德墓的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等。阿基米德的偉大發(fā)現(xiàn)就是圖中圓柱的體積是球體積的3/2，圓柱的表面積也是球表面積的3/2。此高考題的數(shù)學(xué)文化背景即為阿基米德碑文所刻的圖形，了解文化背景，即可知答案為3/2。此題較為獨特，隱性考查了立體幾何相關(guān)知識的演變與發(fā)展。

（2）體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系。在26道體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化社會層面的高考題中，有9道是關(guān)于數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)系的，如表2所示。以下筆者用一道體現(xiàn)數(shù)學(xué)與建筑學(xué)聯(lián)系的相關(guān)高考題來分析其如何融入數(shù)學(xué)文化。

（2018年全國Ⅲ卷 文3 理3）中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖5中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭。若如圖5擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（? ）。

分析：此題主要考查數(shù)學(xué)三視圖相關(guān)知識，重點考查學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。然而題目并非直奔主題，而是以中國古代建筑結(jié)構(gòu)中木構(gòu)件的連接為背景，闡述了建筑學(xué)中的相關(guān)概念，巧妙地把數(shù)學(xué)三視圖相關(guān)知識融入其中進行考查。學(xué)生在提升自身核心素養(yǎng)的同時，又能領(lǐng)會數(shù)學(xué)在建筑學(xué)中的廣泛應(yīng)用及古代建筑工匠的智慧，進一步體會數(shù)學(xué)與建筑學(xué)千絲萬縷的聯(lián)系。

（3）體現(xiàn)民俗數(shù)學(xué)。筆者分析近五年數(shù)學(xué)文化社會層面的高考題，有5道試題體現(xiàn)了民俗數(shù)學(xué)，整理如下表3：

體現(xiàn)民俗數(shù)學(xué)——金石文化中的數(shù)學(xué)高考試題如下：

（2019年全國Ⅱ卷 理16）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（如圖6）。半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美。圖6是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1。則該半正多面體共有__________個面，其棱長為__________ 。

分析：此題主要考查考生對半正多面體概念的理解，試題并沒有直接給出半正多面體的概念，而是從中國古代金石文化說起，將半正多面體從印信文化中抽象出來，體現(xiàn)了半正多面體在中國古代印信文化中的產(chǎn)生與呈現(xiàn)。這表明當時的金石文化極大程度地融入了數(shù)學(xué)元素。此題是將民俗數(shù)學(xué)融入試題的典型案例。

（二）情感層面

1.總體趨勢。在近五年的29道數(shù)學(xué)文化高考題中，涉及數(shù)學(xué)文化情感層面的試題數(shù)量較少，共3道，其中2017年1道，2019年2道，如圖7所示。

數(shù)學(xué)文化的情感層面即數(shù)學(xué)美。從每一年的試題數(shù)量來看，涉及數(shù)學(xué)文化情感層面的試題并未呈現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢，僅在2017年及2019年偶有出現(xiàn)。由此可見，數(shù)學(xué)文化的情感層面并不是近年來高考題融入數(shù)學(xué)文化的命題熱點。

2.命題特點。筆者把近五年涉及數(shù)學(xué)文化情感層面的高考題整理如下表4。試題分別體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對稱美與和諧美。

體現(xiàn)數(shù)學(xué)美之和諧美的高考試題如下：

（2019年全國Ⅰ卷 理4）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是[5-12]（[5-12≈]0.618，稱為黃金分割比），著名的“斷臂維納斯”便是如此，此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是[5-12]。若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，其身高可能是（? ）。

A.165 cm?????? ????????????????????? B.175 cm?????? ???????????? C.185 cm?????? ???????????? D.190 cm

分析：此題在形式上雖然較為簡單，借助比例關(guān)系即可求解。但是命題者把試題放在古希臘時期，人們以擁有“黃金分割比”的人體為美的背景下，還例舉古希臘時期的斷臂維納斯雕像。在數(shù)學(xué)中，“黃金分割比”雖然只是一個比例關(guān)系，但是在許多藝術(shù)作品和建筑設(shè)計中都有廣泛的應(yīng)用?！包S金分割比”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美。

三、啟示

筆者通過以上研究認為，未來的數(shù)學(xué)高考命題從數(shù)學(xué)文化角度需要思考如下兩個問題。

（一）注重與其他學(xué)科之間的深度融合

在近五年的數(shù)學(xué)文化高考題中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化社會層面的試題多以數(shù)學(xué)知識的變化發(fā)展為背景，著重考查學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的掌握情況，對學(xué)生綜合能力的評價考核存在一定的局限性。近年來，核心素養(yǎng)已成為新時代培育全面發(fā)展人才的終極目標，是思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價值觀的有機整合，具有極高的綜合性。這就需要教學(xué)評價方式也要隨之由單一化評價轉(zhuǎn)為多元化評價。而基于STEAM理念下的數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的整合，使數(shù)學(xué)不再僅僅是數(shù)學(xué)，可以在很大程度上提升評價考核的綜合性、科學(xué)性與整體性[10]。因此，數(shù)學(xué)文化視域下，融入數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系的試題更加值得被提倡，從而把數(shù)學(xué)文化與核心素養(yǎng)的評價有機整合，相互交融。

例如，2020年全國Ⅲ卷文4理4的高考試題表述如下：Logistic模型是常用的數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)[I（t）]（[t]的單位：天）的Logistic模型：[I（t）=K1+e-0.23（t-53）]，其中[K]為最大確診病例數(shù)。當[I（t*）=] 0.95時，標志著已初步遏制疫情，則[t*]約為多少（ln19[≈]3）。此題描述了Logistic數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于流行病學(xué)調(diào)查研究的案例，試題本身不僅把數(shù)學(xué)與流行病學(xué)的聯(lián)系作為情境呈現(xiàn)，也關(guān)注數(shù)學(xué)模型在流行病學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。學(xué)生在解題的過程中，能夠在認識數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科有廣泛聯(lián)系的同時，領(lǐng)悟用數(shù)學(xué)的思維去思考和解決實際問題，從而感受數(shù)學(xué)學(xué)科真正的意義。這種深度體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化中數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)系的高考題，在后續(xù)高考題的命制中值得被提倡與保留，這樣才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科價值。

（二）體現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)語言美、簡潔美

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在近五年體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的高考題中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的試題是少之又少?！犊荚嚧缶V》中已明確把體會數(shù)學(xué)的美學(xué)含義作為考查學(xué)生個性品質(zhì)的基本要求之一[3]。因此，體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的高考題理應(yīng)被重視。此外，在為數(shù)不多的體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的高考題中，從數(shù)學(xué)的對稱美角度出發(fā)設(shè)計的相關(guān)考題居多。顯然，這對于數(shù)學(xué)美的理解過于片面。除了對稱美以外，數(shù)學(xué)美還包括數(shù)學(xué)的語言美、簡潔美、和諧美、辯證美等。眾所周知，數(shù)學(xué)符號具有高度的抽象性、表達的精準性和邏輯的嚴謹性。這就使數(shù)學(xué)語言不同于其他語言，它的表達形式獨具一格。也正是因為數(shù)學(xué)語言的特性，使之具有統(tǒng)一、簡潔、和諧的美學(xué)特征。因此，筆者建議在后續(xù)命題中，命題者還應(yīng)把目光聚焦于數(shù)學(xué)語言之美。

筆者對上文提到的“2019年全國Ⅰ卷理4”高考題關(guān)于“黃金分割比”的數(shù)學(xué)表達進行分析，原題采用了大家最熟悉的數(shù)學(xué)語言，將其表達為[5-12]。[5-12]作為一個數(shù)學(xué)表達式，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)中習(xí)以為常的數(shù)學(xué)語言，并常常被當作數(shù)字來看待。實際上黃金分割比[（φ）]還可以用諸如此類的數(shù)學(xué)語言來表達：

[φ=11+11+11+…]或[φ=1+1+1+1+…]

如果在題目表述的適當位置，在不增加試題難度的前提下，把上述的數(shù)學(xué)語言表達作為數(shù)學(xué)文化背景來處理，會給人以超脫慣性思維的形式美感。學(xué)生在答題過程中，會驚嘆于數(shù)學(xué)語言的奇妙精美之處，體會數(shù)學(xué)語言的美學(xué)含義。數(shù)學(xué)之美無處不在，數(shù)學(xué)的語言美是數(shù)學(xué)的本質(zhì)美之一。由于高考是一種具有激勵和引導(dǎo)功能的評價方式，因此，命題者在后續(xù)高考題的命制中，仍需開拓創(chuàng)新融入數(shù)學(xué)文化的方式、方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達世界，使數(shù)學(xué)肩負理性精神的同時，不斷彰顯其獨有的人文魅力。

[參 考 文 獻]

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[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：10-83.

[3]中華人民共和國教育部考試中心.2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱[EB/OL].（2019-01-31）[2020-06-06].http：//gaokao.neea.edu.cn/html1/report/19012/5786-1.html.

[4]中華人民共和國教育部考試中心.2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容[EB/OL].（2016-10-10）[2020-06-06].https：//gaokao.chsi.com.cn/gkxx/zc/moe/201610/20161010/1559590536.html.

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（責任編輯：趙曉梅）

作者簡介：王 悅（1995—），女，遼寧沈陽人，遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)比較教育研究;金美月（1968—），女，黑龍江佳木斯人，遼寧師范大學(xué)教授，博士，研究方向：比較數(shù)學(xué)教育及教師教育研究。