葉燕華

【摘 要】轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想方法，也是提高學(xué)生思維，應(yīng)用意識(shí)的一個(gè)重要途徑?；谂c二次函數(shù)圖象有關(guān)的面積問題，解決方法常常用到轉(zhuǎn)化思想，所以依托本節(jié)專題復(fù)習(xí)課，讓學(xué)生學(xué)會(huì)，將點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題等轉(zhuǎn)化的基本技巧，從而促進(jìn)問題的解決。

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)坐標(biāo);轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合;三角形面積

1.復(fù)習(xí)目標(biāo)

根據(jù)學(xué)情，結(jié)合課標(biāo)要求制定了如下的復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）能根據(jù)三角形在拋物線中的位置特點(diǎn)，選擇合適的方法求面積;（2）以三角形面積的最值問題為載體，感悟轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)建模、方程等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)幾何直觀，提高應(yīng)用意識(shí)。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的滲透，培養(yǎng)幾何直觀、應(yīng)用意識(shí)，難點(diǎn)是如何滲透轉(zhuǎn)化思想。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1課前熱身

【問題1】已知拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D。

問1：請(qǐng)求出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo);

問2：請(qǐng)求出AB的長(zhǎng)，OC的長(zhǎng)，點(diǎn)D到x軸的距離，點(diǎn)D 到y(tǒng)軸的距離;

問3：請(qǐng)求出△ ABD的面積，并與同桌交流你的解法;

問4：請(qǐng)求出△ ABC的面積，并與同桌交流你的解法;

問5：若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5），則△ ABP的面積為多少呢？請(qǐng)說明理由。

功能分析：本題先設(shè)置了簡(jiǎn)單的問題，再層層遞進(jìn)，步步為營。第（1）題根據(jù)拋物線的解析式求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，明確抓住交點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸就是抓住了二次函數(shù)的“根”。第（2）題通過點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算線段長(zhǎng)，初步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。第（3）-（5）題利用線段長(zhǎng)計(jì)算三角形的面積。本環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷由點(diǎn)到線線到面的過程，滲透轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想，也為后續(xù)問題的解決奠定基礎(chǔ)。

教學(xué)示范：先讓學(xué)生獨(dú)立思考求出A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后步步引導(dǎo)由點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算線段長(zhǎng)，有了線段長(zhǎng)就可以求三角形的面積，師生共析，教師在黑板上總結(jié)歸納并板書：求三角形面積的方法：①直接運(yùn)用面積公式法。（具體說明：當(dāng)三角形的一邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，則以此邊為底，再作其邊上的高即可直接求出面積）。

2.2知識(shí)應(yīng)用

【問題2】 在【問題1】的背景中，如圖1，請(qǐng)同學(xué)們求出△BCD的面積。

追問1：這題三角形的三邊均不在坐標(biāo)軸上，看起來有點(diǎn)“歪”，該如何求△BCD的面積？若有想法了，可到黑板上展示交流。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生一一上臺(tái)展示，分享交流自己的解法。

【方法總結(jié)】當(dāng)三角形三邊有點(diǎn)“歪”時(shí)，可用割補(bǔ)法間接求三角形的面積。

追問2：請(qǐng)思考，解答過程中添加的輔助線都有什么特點(diǎn)？

添加的輔助線對(duì)解決問題起到了什么幫助？

學(xué)生活動(dòng)1：都是過一點(diǎn)作與x軸或者y軸平行的直線，從而把三角形分割成幾個(gè)可直接利用公式求面積的圖形。

學(xué)生活動(dòng)2：添加輔助線目的在于把不規(guī)則的圖形分割成幾個(gè)規(guī)則的圖形。

功能分析：本題中三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是定點(diǎn)，有了問題1的層層鋪墊，學(xué)生已經(jīng)具有了求解的基本思路與方法，難點(diǎn)在于此時(shí)三角形的三邊有點(diǎn)“歪”， 無法直接利用三角形面積公式求出，如何改“斜”歸“正”？這正是本題的功能所在，再次引導(dǎo)學(xué)生形成轉(zhuǎn)化思路，從而歸納總結(jié)出求三角形面積的第2種方法：割補(bǔ)法。

教學(xué)示范：通過層層鋪墊，學(xué)生已經(jīng)掌握了求定點(diǎn)三角形面積的基本思路和方法，但在計(jì)算△BCD面積時(shí)發(fā)現(xiàn)三邊關(guān)系不具有特殊性，此時(shí)不要直接給出答案，先讓學(xué)生自主探究，再小組討論一起去尋求解決問題的辦法。接著讓學(xué)生一一上臺(tái)講解，最后師生共同對(duì)同學(xué)們分享的做法進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)指出方法4和方法5的巧妙性，得出求三角形面積的另一方法“割補(bǔ)法”，也就是當(dāng)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，就利用割補(bǔ)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。最后教師總結(jié)出求“歪”三角形的面積公式：■×水平距離×豎直距離。

2.3拓展延伸

1.已知拋物線y=x2-2x-3，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C。設(shè)點(diǎn)E（m，n）（其中0

【方法點(diǎn)撥1】

追問1：本題與上一題的區(qū)別在哪兒？

學(xué)生回答：定點(diǎn)D變成了動(dòng)點(diǎn)E。

追問2： 你能求出△BCE的面積與m之間的關(guān)系嗎？此時(shí)上面的方法還適用嗎？

【方法點(diǎn)撥2】

追問1：如果能知道△BCE 面積最大時(shí)，點(diǎn)E的位置，問題就迎刃而解了。大家能否確定△BCE 面積最大時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)呢？

追問2：點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BCE 中有哪些量是保持不變的？哪些量會(huì)發(fā)生變化？

學(xué)生活動(dòng)：線段BC始終不變，要使得△BCE面積最大，則高要最大。

功能分析：本題是對(duì)前一題的鞏固與延伸，將定點(diǎn)問題變式成動(dòng)點(diǎn)問題。解決本題的難點(diǎn)在于點(diǎn)坐標(biāo)不確定，圖形不確定，不過有了前面定點(diǎn)三角形面積問題的鋪墊，學(xué)生容易想到轉(zhuǎn)化思路。本題的主要目的是讓學(xué)生感悟面積最值問題的求解方法，通過點(diǎn)坐標(biāo)建立函數(shù)模型，數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生幾何知識(shí)代數(shù)化的能力。

教學(xué)示范：本題教師通過設(shè)置問題串，啟發(fā)式點(diǎn)撥，打開學(xué)生思維，引發(fā)學(xué)生深度思考，解決相關(guān)問題。因?yàn)橛辛饲懊娴膶訉愉亯|，學(xué)生基本上懂得利用割補(bǔ)法。設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)，將動(dòng)點(diǎn)E當(dāng)成定點(diǎn)，然后用含有m的代數(shù)式表示面積，得到S關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式，從而得到最值。時(shí)間允許的話，可以引導(dǎo)學(xué)生利用平移平行線的方法將面積之間的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為高之間的關(guān)系，為今后高中解析幾何作鋪墊，再一次地滲透轉(zhuǎn)化思想。

2.已知拋物線y=x2-2x-3，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)E（4，5）在該拋物線上，點(diǎn)F是該拋物線上位于D、E之間的一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADFE面積的最大值，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)。

功能分析：本題讓學(xué)生體驗(yàn)將四邊形面積問題轉(zhuǎn)化為三角形面積問題來解決，對(duì)所學(xué)知識(shí)再次遷移。

教學(xué)示范：本題無需讓學(xué)生在課上完成，只需讓學(xué)生思考如何計(jì)算四邊形的面積，懂得連接ED將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，而三角形問題就是本節(jié)課在求解的問題即可，具體的解答過程可在課后完成。

2.4反思感悟

在本節(jié)課中，你學(xué)習(xí)到了哪些解決面積問題的方法？解決問題的關(guān)鍵是什么？

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生積累了解決二次函數(shù)背景下三角形面積問題的經(jīng)驗(yàn)。在利用割補(bǔ)法求解的過程中逐步領(lǐng)悟，解決問題的關(guān)鍵是找“點(diǎn)”，將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)。 通過“點(diǎn)”把面積構(gòu)建成函數(shù)問題，即“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

（設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的反思，教師的總結(jié)，幫助學(xué)生綜合地看待所運(yùn)用的方法，形成知識(shí)體系。）

3.回味反思

3.1 層層遞進(jìn)，一圖貫之

考慮到二次函數(shù)是一大難點(diǎn)，本節(jié)課的問題設(shè)置起點(diǎn)低，又有梯度，課前熱身的題目是根據(jù)構(gòu)成圖形的點(diǎn)坐標(biāo)直接求面積，慢慢過渡到三邊有點(diǎn)“歪”的三角形面積問題，將問題提升到了把不能直接求的面積問題轉(zhuǎn)化為易求的圖形面積的和或差上，最后突破動(dòng)點(diǎn)問題。在整個(gè)教學(xué)過程始終用二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象為背景，由淺入深，層層鋪墊又層層遞進(jìn)，一步一步地培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)，一點(diǎn)一點(diǎn)地提高學(xué)生解決問題的能力。

3.2 總結(jié)方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力

中考復(fù)習(xí)課的重要目標(biāo)在于梳理知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)思想方法，提煉解題方法，從而發(fā)展數(shù)學(xué)能力。本節(jié)課通過點(diǎn)坐標(biāo)開啟了探索二次函數(shù)面積問題的大門，由點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算線段長(zhǎng)，再由線段長(zhǎng)計(jì)算三角形面積，及時(shí)總結(jié)了求解三角形面積的常用方法，最后提升到通過點(diǎn)把面積問題構(gòu)建成函數(shù)問題，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合。當(dāng)遇到不規(guī)則的圖形可以通過添加輔助線轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，最終讓學(xué)生明白本專題復(fù)習(xí)課的核心就是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化思想，懂得將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉，將未知轉(zhuǎn)化為已知，有效提高了數(shù)學(xué)解題能力。