羅靜 何貽勇

[摘? 要] 在解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師一般都會(huì)引導(dǎo)學(xué)生找顯性條件和隱含條件，并做出一系列的思維反應(yīng)訓(xùn)練活動(dòng)，從條件出發(fā)將思維的觸角發(fā)散開來(lái)，進(jìn)行一系列的大膽嘗試與猜想，找到與已學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，即追尋問(wèn)題的本源，將思考痕跡中的思維流淌出來(lái)，方顯問(wèn)題的本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 條件關(guān)聯(lián);思維;思維流;數(shù)學(xué)本質(zhì)

一道題的所有條件中，最重要、最關(guān)鍵的那（幾）個(gè)條件就是我們解決問(wèn)題的思維流的源泉，也是我們平時(shí)說(shuō)的“題眼”，一道題的題眼也許就是一個(gè)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)含義的字、詞，一個(gè)具有特殊含義的符號(hào)，一個(gè)隱藏?cái)?shù)學(xué)道理的結(jié)構(gòu)式等，而解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的切入點(diǎn)或者突破口恰好就是題眼. 在此基礎(chǔ)上，直覺(jué)思維、聯(lián)想思維應(yīng)運(yùn)而生. 直觀感覺(jué)、發(fā)散聯(lián)想都很重要，它們是開啟解題思路的“金鑰匙”，直觀感知和聯(lián)想點(diǎn)有沒(méi)有起作用，得以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理和演算來(lái)證明.

案例呈現(xiàn)

案例 如圖1，在正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，連接BE，CF，它們相交于一點(diǎn)P，求證：AP=AB.

讀：首先容易分析出△BCE≌△DCF，即可得出∠CBE=∠DCF，從而BE⊥CF. 這是本題中涉及線段AP的一個(gè)重要特征，在后面的圖形中均已標(biāo)出.

想：如何證明兩條線段相等的基本思考點(diǎn)是：①證等腰（基本圖形）;②證全等;③構(gòu)造全等;④轉(zhuǎn)化再證相等（轉(zhuǎn)化邊、角）.

聯(lián)想一：全等三角形構(gòu)造

這道題的最初想法是構(gòu)造全等三角形，如圖2所示，證△ABF≌△APG即可，或者如圖3所示，證△AQB≌△AFP，而圖4、圖5都是由線段在幾何位置上的對(duì)稱性來(lái)構(gòu)造全等，既可以向內(nèi)構(gòu)造，又可以向外構(gòu)造，請(qǐng)讀者自行畫圖. 圖6證△ABM≌△APM.

聯(lián)想二：構(gòu)造基本幾何圖形

如圖7所示，連接BF，構(gòu)造等腰三角形ABP;如圖8所示巧作中垂線，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，證AM是BP的中垂線即可.證明線段相等除了構(gòu)造全等，也應(yīng)考慮構(gòu)造所學(xué)習(xí)的基本幾何圖形（模型），如中垂線、角平分線、特殊三角形、特殊四邊形等，將分散孤立的幾何元素集中在基本圖形中，利用它們的關(guān)聯(lián)解決問(wèn)題.

聯(lián)想三：直接計(jì)算的方法

除了上述過(guò)程中涉及幾何圖形局部的特點(diǎn)以外，還應(yīng)有利用幾何整體觀來(lái)解幾何題. 由正方形的圖形特點(diǎn)，可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系，利用解析式幾何法求解證明. 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，記為∠CPB=θ，利用余弦定理公式法直接計(jì)算AP=2;如圖9所示，仍然設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，利用勾股定理直接計(jì)算出AP=2亦可.

簡(jiǎn)評(píng) 上述思路方法中涉及的構(gòu)造是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何基本知識(shí)、基本技能、基本思想中所積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，此學(xué)習(xí)過(guò)程非常重要. 只有在這樣的直接經(jīng)驗(yàn)和間接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，才容易聯(lián)想到構(gòu)造幾何圖形來(lái)突破線段相等證明問(wèn)題. 往往要求學(xué)生要具有較強(qiáng)的分析能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力，只有這樣，才能做到解答過(guò)程思路清晰、條理清楚、結(jié)構(gòu)緊湊、過(guò)程簡(jiǎn)潔. 推理過(guò)程不再贅述.

教學(xué)說(shuō)明 上述方法中的構(gòu)造全等三角形，實(shí)無(wú)定法，但都有著一般性的心得體會(huì)和基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)！一是抓住關(guān)鍵因素的特征，盡量發(fā)揮題設(shè)的特點(diǎn)，關(guān)聯(lián)已經(jīng)學(xué)過(guò)的基本知識(shí)和技能，批注出它的二級(jí)結(jié)論;二是當(dāng)題目的條件、結(jié)論過(guò)于分散或孤立時(shí)，把條件和結(jié)論之間的點(diǎn)、線“集中”起來(lái)，集中到一個(gè)基本的幾何圖形中，共同發(fā)揮較大的作用，為解題服務(wù).在這個(gè)思維場(chǎng)中，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)不足以克服困難時(shí)，迅速捕捉到可行的解決方法（方案）體現(xiàn)出了思維流活動(dòng)的軌跡全過(guò)程（如：平行思維流軌跡、周圍擴(kuò)散思維流軌跡、廣角投射思維流軌跡等），教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地構(gòu)建學(xué)生解題過(guò)程的整體觀.

上述思維過(guò)程中，一般都有這樣三個(gè)方面的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，第一，對(duì)數(shù)學(xué)核心知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解要更加深入，利用數(shù)學(xué)基本知識(shí)之間的聯(lián)系尋找關(guān)聯(lián)解題，像這樣圍繞在基本知識(shí)周圍，從橫向、縱向羅列出有關(guān)的二級(jí)結(jié)論，甚至三級(jí)結(jié)論，并將它們放進(jìn)大腦里迅速進(jìn)行排序，其基本知識(shí)面的范圍半徑越寬，思路就越開闊，思維過(guò)程就越明朗. 第二，條件和結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，問(wèn)題與類似問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)，知識(shí)與類似知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，都會(huì)促使解題者產(chǎn)生豐富的聯(lián)想活動(dòng)，捕捉到思考數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的最初想法，并形成最后成熟的想法. 第三，從數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征形式、呈現(xiàn)形式出發(fā)，利用數(shù)學(xué)方法正確表征問(wèn)題本質(zhì)，正確拆分目標(biāo)任務(wù)（模塊），由此開啟了一系列解題思維流活動(dòng).

教學(xué)啟示

1. 掌握基礎(chǔ)知識(shí)，重視知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)

學(xué)生面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的基本知識(shí)點(diǎn)時(shí)，最初的想法是什么？往往會(huì)利用聯(lián)想思維、自己的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)開始一系列的思考. 最初的心理狀態(tài)又是怎樣的？從剛開始比較茫然的狀態(tài)到有章法可尋，在思考的后半段時(shí)間里內(nèi)心是比較踏實(shí)的. 因此，深入理解數(shù)學(xué)每一個(gè)分類下的基本概念的內(nèi)涵和外延以及主體知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯關(guān)系，是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累與再積累的一個(gè)前提，理解知識(shí)板塊之間的數(shù)學(xué)本質(zhì)聯(lián)系是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的創(chuàng)造與再創(chuàng)造的關(guān)鍵. 這就要求在教學(xué)中要特別注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的基本知識(shí)的來(lái)龍去脈、邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)基本知識(shí)體系進(jìn)行熟練掌握，并強(qiáng)化訓(xùn)練由知識(shí)點(diǎn)聯(lián)想到解題突破口和切入點(diǎn)的思維過(guò)程. 比如，在一元一次方程的應(yīng)用中解行程問(wèn)題時(shí)，利用行程問(wèn)題中速度、時(shí)間、路程等基本數(shù)量關(guān)系（基本事實(shí)），利用它們是“同等地位”的題干已知條件，尋找思路進(jìn)行一題多解，這樣的數(shù)學(xué)思維軌跡是平行的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的對(duì)稱性.

2. 理解基本解法，構(gòu)建解題方法模塊框架

在解探究圖形變化規(guī)律問(wèn)題時(shí)，我們通常從兩個(gè)角度出發(fā)：一個(gè)是從幾個(gè)特殊圖形所對(duì)的數(shù)和序號(hào)出發(fā)，找相鄰兩個(gè)圖形所對(duì)的數(shù)之間的變化量與位置序號(hào)有怎樣的關(guān)系;另一個(gè)是從圖形的角度出發(fā)，觀察圖形的分布特征，變化趨勢(shì)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并以此類推，得到圖形的規(guī)律，需要運(yùn)用從特殊到一般的探索方式，分析歸納出增加或減少的變化規(guī)律，并用含有n的代數(shù)式表示出來(lái). 需要注意的是用局部的一兩個(gè)圖形之間的規(guī)律代替一般規(guī)律，以及忽視第一個(gè)圖形的規(guī)律都是常見錯(cuò)誤之一，這中間所涉及的數(shù)學(xué)基本思想方法是數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、直觀想象、分解化歸，幾何代數(shù)化、代數(shù)幾何化等.

開展對(duì)學(xué)生的解題反思研究，學(xué)生在有了一定的方法和經(jīng)驗(yàn)并不斷探索其他的方法時(shí)，雖然大多數(shù)探索的方法大同小異，但也經(jīng)常會(huì)有意外的驚喜收獲，因此指導(dǎo)學(xué)生解題后反思非常重要.學(xué)生的學(xué)習(xí)反思有以下幾個(gè)層次：一是反思自己的解題過(guò)程是否正確，是否為通性通解法，是否忽略隱含條件，是否主觀臆斷，是否用特殊代替了一般情況，是否無(wú)故增設(shè)已知條件，邏輯是否有問(wèn)題等等. 二是反思過(guò)程與方法的優(yōu)劣，是否有其他的更優(yōu)的方法，對(duì)于同一道題從不同的角度去思考，會(huì)得到不同的啟發(fā)和認(rèn)識(shí)，從而能得出更多的解題方法，體會(huì)出方法之間的優(yōu)劣，有了方法的比較，學(xué)生思維的觸角才能伸向不同方向、不同層次、不同高度，才能更好地發(fā)展發(fā)散思維能力.三是反思過(guò)程與方法的運(yùn)用范圍，還可以類比地學(xué)習(xí)哪些方面的知識(shí)，解決哪些問(wèn)題，由此培養(yǎng)一種遷移能力，這樣不只是舉一反三，還能達(dá)到觸類旁通，甚至是融會(huì)貫通.教師如果長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的學(xué)法輔導(dǎo)教學(xué)，學(xué)生就會(huì)形成一定的思維方法，更加能上升到用數(shù)學(xué)思想解題，也會(huì)積累到許多數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) [1]. 學(xué)生自己形成的解題方法模塊的再訓(xùn)練是非常重要的，只有這樣，學(xué)生的思維才能得到鞏固和發(fā)展，才真正意義上有了一定程度上的思維習(xí)慣和應(yīng)試素質(zhì).

3. 開闊思維視野，形成解題基本思想體系

以轉(zhuǎn)化思想為例，波利亞的數(shù)學(xué)解題觀是“解題就是轉(zhuǎn)化問(wèn)題”，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決（能解決）的問(wèn)題，就是問(wèn)題的條件的推理步驟序列的集合，把整個(gè)題的條件與結(jié)論串接起來(lái)的各個(gè)步驟所組成的序列就是解題過(guò)程. 教學(xué)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化的基本學(xué)習(xí)過(guò)程，將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵因素一一排列出來(lái)，找出問(wèn)題本質(zhì)即可迎刃而解. 比如：二次函數(shù)中的面積最值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中由幾何問(wèn)題代數(shù)化（利用函數(shù)思想求最值）和代數(shù)問(wèn)題幾何化（利用幾何圖形直觀理解）相結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題是我們常用到的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 還可以適當(dāng)?shù)卦俜e累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如上述面積最值問(wèn)題的解題過(guò)程中的結(jié)論呈現(xiàn)出來(lái)，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)和的一半時(shí)，面積取最大值. 甚至適當(dāng)?shù)赝卣沟讲皇侵本€與二次函數(shù)兩交點(diǎn)有關(guān)的三角形面積最值問(wèn)題， 將問(wèn)題繼續(xù)向上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化. 比如：在二次函數(shù)中求面積最值問(wèn)題、周長(zhǎng)最值問(wèn)題、特殊線段最值問(wèn)題、距離問(wèn)題時(shí)，都可以轉(zhuǎn)化為求“鉛垂高”的最值，無(wú)論是直接法、切線法、割補(bǔ)法，還是化斜為直，都是利用轉(zhuǎn)化思想將問(wèn)題不斷聯(lián)想轉(zhuǎn)化，直至轉(zhuǎn)化到最根本的問(wèn)題上來(lái)，轉(zhuǎn)化到熟悉易解的簡(jiǎn)單問(wèn)題上來(lái).

教學(xué)建議

解題教學(xué)活動(dòng)中學(xué)習(xí)場(chǎng)[2] 的營(yíng)造，應(yīng)凸顯出解題訓(xùn)練中思維場(chǎng)營(yíng)造. 解題過(guò)程主要是深化鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維與能力. 解題過(guò)程中思維規(guī)律主要還是“思維定式”或“經(jīng)驗(yàn)優(yōu)先”，經(jīng)驗(yàn)起著至關(guān)重要的作用，比如學(xué)生面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)題目“環(huán)境”判斷思考的路徑，憑直覺(jué)思維、經(jīng)驗(yàn)選擇最優(yōu)解題方法，憑扎實(shí)基本功和豐富的經(jīng)驗(yàn)判斷一個(gè)結(jié)果是否正確等. 因此，解題教學(xué)活動(dòng)重點(diǎn)解決的三個(gè)方面的問(wèn)題：一是解決“怎么想”的問(wèn)題，即解題思路和計(jì)劃是如何想出來(lái)的？二是解決“怎樣做最好”的問(wèn)題，即執(zhí)行解題計(jì)劃時(shí)應(yīng)該注意哪些因素？三是解決“反思、點(diǎn)撥”的基本經(jīng)驗(yàn)積累問(wèn)題，即從技巧到方法的提煉，力求透過(guò)解法看本質(zhì)，達(dá)到舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而達(dá)到從方法上升到思想以至融會(huì)貫通[3] .

讀一讀、想一想、算一算、推一推、理一理、寫一寫等過(guò)程是學(xué)生獲得思維發(fā)展的有力保障. 因此，解題的一般步驟主要是讀、想、理（算）、寫，即讀懂題意主要是標(biāo)注已知條件和基本事實(shí)，批注二級(jí)結(jié)論，挖掘題設(shè)中的隱含條件;想出解題方法與思路，明確已知與未知的數(shù)學(xué)聯(lián)系，這樣才能準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，并形成證題思路;理就是在讀和想的基礎(chǔ)上，選擇易于表達(dá)的證題方法，并嘗試寫出關(guān)鍵的式子;寫就是用盡可能簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確的規(guī)范語(yǔ)言，將證明中涉及的等量代換方程思想、邏輯推理等書面表達(dá)出來(lái). 這樣能更好地將數(shù)學(xué)抽象（讀：捕捉數(shù)學(xué)信息，是一個(gè)從數(shù)學(xué)外部到數(shù)學(xué)內(nèi)部的過(guò)程），邏輯推理（想：推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)論，從一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論到另一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程），數(shù)學(xué)建模（寫：尋找基本圖形、幾何模型，從一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題到另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程），數(shù)學(xué)運(yùn)算（算：邊角等量代換），直觀想象，數(shù)據(jù)分析（理：角度、邊長(zhǎng)所暗示的幾何知識(shí)）在解題過(guò)程中得以落地.

教會(huì)學(xué)生解題和教會(huì)學(xué)生會(huì)解題是兩碼事，是授人以魚和授人以漁的區(qū)別，特別要將探尋一題多解的思考過(guò)程展現(xiàn)給學(xué)生，尋找方法的方法傳授給學(xué)生，使學(xué)生學(xué)習(xí)能力真正得到提高. 這樣既要求學(xué)生儲(chǔ)備基本知識(shí)與技能，又要求學(xué)生將原有的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為新的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與再積累、創(chuàng)造與再創(chuàng)造，使這樣的過(guò)程不斷延續(xù)下去.

在教學(xué)中，對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)與落地生根的思考，一是注重選例的典型性，讓學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)單模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺(jué)分析、反思提煉的訓(xùn)練過(guò)程，從而獲得嘗試、體驗(yàn)、領(lǐng)會(huì)、悟道的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);二是注重挖掘多角度思考的課本習(xí)題;三是注重對(duì)教材習(xí)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)的引申與拓展;四是注重對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)培養(yǎng)的引導(dǎo);五是注重對(duì)學(xué)生思維痕跡的總結(jié)提煉.

綜上所述，我們應(yīng)從各個(gè)方面做好充分的教學(xué)準(zhǔn)備，更好地追尋問(wèn)題本源，將思考痕跡中的思維流淌出來(lái)，以此揭露出數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1] 何貽勇. 初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)高效性的實(shí)踐與思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（2）.

[2] 黃仁壽. 學(xué)習(xí)場(chǎng)的誘惑——發(fā)展高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考和實(shí)踐[M]. 湖南：湖南教育出版社，2018.

[3] 彭林，劉杰. 中代數(shù)一題多解[M]. 上海：上海教育出版社，2018.