何敬房

[摘? 要] 為了培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、探究能力，讓學(xué)生更自信地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有效地提高課堂效率，文章本著以學(xué)定教，先學(xué)后教的研究思路，以一元二次方程整數(shù)根的求解為例，針對(duì)學(xué)生的解題亮點(diǎn)和不足，探討如何打造高效課堂.

[關(guān)鍵詞] 高效課堂;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);先學(xué)后教

教材分析

本節(jié)課是北京版第十六章一元二次方程中的第十課時(shí)，能根據(jù)實(shí)際題目解決一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題. 這類問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，思維的要求也較高，所以難度比較大，學(xué)生們往往望而卻步. 本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是整數(shù)根的討論問(wèn)題.

學(xué)情分析

1. 知識(shí)背景分析

學(xué)生已在小學(xué)學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)、因數(shù)等概念，含有字母系數(shù)的一元二次方程的解法已訓(xùn)練，分式加減運(yùn)算都能熟練掌握.

2. 認(rèn)知難點(diǎn)分析

分式加減逆運(yùn)算.

教學(xué)目標(biāo)

能熟練求出一元二次方程的整數(shù)根.

教學(xué)過(guò)程

（一）精選習(xí)題，學(xué)生板演（10分鐘）

教師指定四名學(xué)生上黑板做題. 設(shè)計(jì)3道習(xí)題：

1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+k+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

（1）求k的取值范圍;（2）若k為大于3的整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值.

2.？搖已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

（1）求k的取值范圍;（2）當(dāng)k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)時(shí)，求k的值.

3.關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

（1）求m的取值范圍;（2）當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)？

其中第一題與第二題相似，由兩位學(xué)生（思維慢、程度較差）完成;第三題稍微有些難度，也由兩位學(xué)生（思維中等、程度較好）完成，與此同時(shí)要求臺(tái)下的學(xué)生完成第一題和第三題.

（二）教師講評(píng)，總結(jié)規(guī)律（25分鐘）

講師講評(píng)分為兩部分，亮點(diǎn)部分和不足部分. 其中關(guān)于亮點(diǎn)部分，教師要大力肯定，大力表?yè)P(yáng)，使孩子們有愉悅的心情，激勵(lì)學(xué)生奮發(fā)向上，越來(lái)越喜歡數(shù)學(xué). 關(guān)于不足或者錯(cuò)誤的地方，教師要傾聽學(xué)生的不同心聲，讓黑板上板演的孩子說(shuō)出自己的想法或困惑，教師找合適的切入口將復(fù)雜、深刻的知識(shí)口語(yǔ)化、簡(jiǎn)單化，即將生硬的數(shù)學(xué)知識(shí)講得通俗易懂.

對(duì)于一二題，學(xué)生的亮點(diǎn)：能清楚理解判別式Δ與根的情況;基本步驟規(guī)范，分類思想應(yīng)用比較扎實(shí). 學(xué)生的不足及改進(jìn)地方：整數(shù)根與Δ是否被開方開盡或開不盡之間的關(guān)系不清楚. 第一題中，當(dāng)k=4時(shí)，Δ=24-4×4=8，所以± =±2 ，故直接舍去;第二題中，k=1時(shí)，Δ=-4×1+12=8，直接舍去. 這樣極大地節(jié)約了解題的時(shí)間. 計(jì)算最終結(jié)果未化簡(jiǎn)徹底，x = =3+ ，遇到計(jì)算題時(shí)，還需謹(jǐn)慎對(duì)之.

教師問(wèn)題1：為什么需要把k=4，k=5分別代入方程求解？

學(xué)生1答：因?yàn)榇牒笄蟪鼋Y(jié)果容易看出來(lái)該方程的根是不是整數(shù)根. 如果不是就舍去，如果是就保留.

學(xué)生2答：可以分別代入，但是如果按照老師講的，先求出判別式的平方根，如果平方根是帶有根號(hào)的無(wú)理數(shù)，那方程的根肯定不是整數(shù)，所以直接舍去就可以了，這樣至少會(huì)節(jié)約2分鐘時(shí)間.

教師點(diǎn)撥：復(fù)習(xí)一下無(wú)理數(shù)、有理數(shù)的概念以及整數(shù)的分類，將知識(shí)系統(tǒng)化.

實(shí)數(shù)有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)？搖 分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)？搖 ？搖? ？搖

教師問(wèn)題2：x = 為什么需要約分？

學(xué)生3答：因?yàn)閤 = 不是最簡(jiǎn)形式，分子分母有最大公因數(shù)2，所以要化成最簡(jiǎn).

教師點(diǎn)撥 復(fù)習(xí)因式分解的基本步驟，分?jǐn)?shù)、分式約分解題技巧.

因式分解的基本步驟：一提（提取公因式），二套（完全平方公式、平方差公式），三化簡(jiǎn)（最簡(jiǎn)形式）. 分?jǐn)?shù)分式約分解題技巧：系數(shù)部分尋找各系數(shù)的最大公因數(shù)，字母部分尋找相同字母的最低次冪.

對(duì)于第三題，學(xué)生的亮點(diǎn)：能清楚理解判別式Δ與根的情況;基本步驟規(guī)范，分類思想應(yīng)用比較扎實(shí)，尤其是通過(guò)分子分母變形分離，將問(wèn)題只研究一處（分母中含有字母）變化，思路非常好. 學(xué)生的不足及改進(jìn)地方：一元二次方程首要限制條件二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即m-1≠0忘記先寫. 整數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)，未寫等號(hào)（對(duì)于代數(shù)式的化簡(jiǎn)記憶模糊）. 教師在課堂巡視時(shí)，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對(duì) 不知如何處理. 教師重點(diǎn)講解本部分，因?yàn)閷?duì)于 分子、分母都含有變量m，故研究起來(lái)比較復(fù)雜，如果用試驗(yàn)法，無(wú)窮下去試驗(yàn)，不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且缺少數(shù)學(xué)思維要求的邏輯嚴(yán)密性，所以固定分子，研究分母變化即可. 因?yàn)?= = + =1+ ，又方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，所以 是正整數(shù)，所以m-1=1或2，所以m=2或3.

教師點(diǎn)撥 掌握分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)系;掌握分式加減運(yùn)算的逆用.

由于分?jǐn)?shù)和分式具有類似的形式，因而也具有類似的性質(zhì)和運(yùn)算，重視化歸思想的滲透. 比如 這是一個(gè)分式，求這個(gè)分式為正整數(shù)且m也為整數(shù)時(shí)的m的值.

分?jǐn)?shù)角度：2÷m商為正整數(shù)→m為除數(shù)→2為被除數(shù)，即商與除數(shù)的乘積→m=1，m=2.

分式角度： 正整數(shù)→m為2的因數(shù)→2的因數(shù)為1和2→m=1，m=2.

分式加法：1+ = + = + = .

變式一： = = + =-1+ .

變式二： = = - =2- .

通過(guò) ， ， ， ，讓學(xué)生感受因數(shù)的意義以及以分母為參照物改變分子的解題技巧在這類習(xí)題中的應(yīng)用體現(xiàn).

（三）小結(jié)梳理？搖學(xué)生記憶（5分鐘，PPT展示）

1. 無(wú)理數(shù)、有理數(shù)的概念以及整數(shù)的分類;

2. 因式分解的基本步驟，分?jǐn)?shù)、分式約分;

3. 分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)系，分式加減運(yùn)算逆用.

總結(jié)評(píng)價(jià)

本節(jié)課的目的是向?qū)W生傳達(dá)一元二次方程整數(shù)根的解法步驟，并理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，教學(xué)內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，但如不能合理處理教學(xué)中的幾個(gè)問(wèn)題，很容易導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中思維停滯. 通過(guò)學(xué)生先學(xué)先練，教師再教的步驟，使學(xué)生親身體驗(yàn)，親自投入，讓學(xué)生真正地思考起來(lái)，真正地動(dòng)起來(lái)，感受解題的過(guò)程和思路，體會(huì)知識(shí)的運(yùn)用，由此發(fā)揮學(xué)生的主體性. 在不足之處，教師在課堂教學(xué)過(guò)程中處理好新知與舊知的聯(lián)系，利用不足之處的問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)教學(xué)展開，引導(dǎo)學(xué)生充分理解相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系，理解化歸思想在解決此類問(wèn)題中的本質(zhì). 學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式. 教師應(yīng)創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，由此達(dá)到教學(xué)目的，打造高效課堂.