陳建國(guó) 陳小俊

[摘? 要] 初中生的運(yùn)算能力對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，但不少學(xué)生存在運(yùn)算速率低、錯(cuò)誤率高等現(xiàn)象. 筆者通過多年教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)為該現(xiàn)象實(shí)質(zhì)是“運(yùn)算障礙”，提出“明晰算理，激發(fā)興趣，深度反思，變式訓(xùn)練”教學(xué)措施，實(shí)現(xiàn)“深度理解運(yùn)算本質(zhì)、合理巧用運(yùn)算技能、新舊知識(shí)融會(huì)貫通、鞏固內(nèi)化運(yùn)算法則”四個(gè)方面的教學(xué)策略，提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

[關(guān)鍵詞] 初中生;運(yùn)算障礙;提升策略

在義務(wù)教育階段，運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見、最重要的內(nèi)容，運(yùn)算能力也是學(xué)生的一項(xiàng)重要能力. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“運(yùn)算能力”作為十大核心概念之一，由此可以證明“運(yùn)算能力”對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性.

但是，在實(shí)際的教學(xué)過程中，中學(xué)生卻普遍存在著“怕運(yùn)算”“ 運(yùn)算錯(cuò)誤率高”等情況. 筆者在教學(xué)過程中，通過對(duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤及計(jì)算心理的調(diào)查、整理、分析，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算主要存在的問題及其產(chǎn)生的原因進(jìn)行了如下分析：

對(duì)運(yùn)算問題信心不足. 看到計(jì)算題就害怕，覺得自己經(jīng)常算錯(cuò)，面對(duì)計(jì)算題沒有信心;大部分學(xué)生對(duì)計(jì)算題還是很認(rèn)真對(duì)待的，但是題目好像總是和他們過不去，明明覺得自己做得對(duì)的問題，不是這邊出錯(cuò)就是那邊出錯(cuò). 仔細(xì)分析就不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)學(xué)生仍然沒有真正弄明白其中的運(yùn)算規(guī)律，缺乏辨析能力.

對(duì)運(yùn)算本質(zhì)理解不透徹. 有些學(xué)生上課的時(shí)候還可以跟著老師進(jìn)行計(jì)算，但是自己獨(dú)立做題就變得很困難甚至做不出來(lái)了. 產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因是教師對(duì)于法則的講解停留在讓學(xué)生模仿的層次上，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)運(yùn)算的本質(zhì)理解得不透徹，存在對(duì)運(yùn)算法則“生搬硬套”的現(xiàn)象.

對(duì)計(jì)算問題興趣不大. 學(xué)生認(rèn)為計(jì)算太單調(diào)，好像上課就是不斷地練習(xí). 教師將運(yùn)算課上成練習(xí)課，往往將法則得出以后就不斷地進(jìn)行練習(xí)，沒有將課堂的趣味性進(jìn)行設(shè)計(jì). 對(duì)于追求新鮮感的中學(xué)生來(lái)說，這樣的感覺自然是不能接受的.

要改變這些現(xiàn)象，就要從課堂上進(jìn)行改變，將原有的知識(shí)傳授轉(zhuǎn)變?yōu)樗季S體操，學(xué)生的思維提升了，那么問題也就迎刃而解了. 筆者根據(jù)自己在教學(xué)中遇到的問題進(jìn)行反復(fù)探究，認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行解決.

明晰算理，深度理解運(yùn)算本質(zhì)

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，教師要根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，創(chuàng)設(shè)合理的情境，引發(fā)學(xué)生探索、思考. 活動(dòng)設(shè)計(jì)是深度學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，也是發(fā)展學(xué)生思維、高階思維的重要保證. 同樣的知識(shí)對(duì)象、同樣的情境，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，怎樣提出問題，才能指向?qū)W(xué)生高階思維的培養(yǎng)？

【教學(xué)片段】

師：同學(xué)們，這是某日全國(guó)幾個(gè)城市的天氣預(yù)報(bào). 北京的最高氣溫是4 ℃，最低氣溫是-3 ℃. 請(qǐng)問：這天北京的溫差是多少？你是怎么算的？

生1：我認(rèn)為這天北京的溫差是7 ℃，我用的是加法：4+3=7（℃）.

生2：溫差確實(shí)是7 ℃，但是我認(rèn)為這個(gè)問題不應(yīng)該用加法. 小學(xué)里學(xué)過，求相差數(shù)應(yīng)該用減法，我列的算式是4-（-3）=7（℃）.

生3：那么正確的算法應(yīng)該是4-（-3）=7吧. 是不是4-（-3）就是4+3呢？

生4：減法是加法的逆運(yùn)算，根據(jù)“差+減數(shù)=被減數(shù)”，求4-（-3）的差就相當(dāng)于問“什么數(shù)加上-3等于4”.由加法法則可知，7+（-3）=4.（學(xué)生紛紛對(duì)這個(gè)結(jié)論表示肯定）其實(shí)，4-（-3）就是4+3，這個(gè)結(jié)論只要從溫度計(jì)上就可以輕松得出. 大家看，我們可以借助4與-3之間的數(shù)“0”的力量. 4與0相差4，0與-3相差3，這樣4與（-3）就相差4+3了.

師：同學(xué)們，你們認(rèn)為這位同學(xué)的分析正確嗎？

生：完全正確.

師：老師也非常贊同他的觀點(diǎn). 小學(xué)的減法運(yùn)算的局限性很大，僅局限于兩個(gè)正數(shù)的減法運(yùn)算，而且被減數(shù)要大于減數(shù). 學(xué)習(xí)了有理數(shù)后，負(fù)數(shù)參與了運(yùn)算，同學(xué)們剛才巧妙地利用“加減法的互逆關(guān)系”并借助溫度計(jì)（也就是數(shù)軸）將這個(gè)陌生的問題進(jìn)行了突破，同學(xué)們好樣的！

師：同學(xué)們，再計(jì)算下列各式：15-6=____;15+（-6）=_____;8-（-3）=_____;8+3=______.

師：根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎家韵聠栴}：

問題1：求這天哈爾濱的溫差.

問題2：哈爾濱的最低溫度比北京的最低溫度低多少？

設(shè)計(jì)意圖? 本環(huán)節(jié)從學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)得出溫差是4+3=7（℃），但是求相差數(shù)以求4-（-3）而產(chǎn)生的矛盾開始，經(jīng)過學(xué)生自主探究，逐漸體會(huì)到這兩者是一致的，符合生活經(jīng)驗(yàn). 學(xué)生初步體驗(yàn)了當(dāng)負(fù)數(shù)參與運(yùn)算時(shí)有理數(shù)減法的處理方式：利用加減運(yùn)算的互逆關(guān)系;借助數(shù)軸. 總體的思路是將減法轉(zhuǎn)化為加法. 問題1和問題2的提出，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有理數(shù)減法的類型進(jìn)行分類、整合，即當(dāng)被減數(shù)和減數(shù)的符號(hào)發(fā)生變化時(shí)，運(yùn)算方法與前面的方法是一致的.

學(xué)生的思維經(jīng)歷了“從實(shí)際問題出發(fā)—引發(fā)思考—減法的分類—方法的統(tǒng)一”的過程. 課堂以問題作為引領(lǐng)，以學(xué)生為學(xué)習(xí)之本，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)深度思考，引領(lǐng)學(xué)生逐漸走向高階思維.

激發(fā)興趣，合理巧用運(yùn)算技能

興趣是最好的老師. 心理學(xué)家皮亞杰說過：“所謂智力方面的工作都依賴于興趣.”運(yùn)算教學(xué)也不例外. 有關(guān)運(yùn)算的課堂，往往比較單調(diào)而且重復(fù)性強(qiáng)，加上有些學(xué)生本來(lái)就比較畏懼運(yùn)算，這樣的課堂對(duì)學(xué)生來(lái)說肯定是很煎熬的. 教學(xué)時(shí)有了興趣，才能把心理活動(dòng)集中在運(yùn)算上，從而使感知活躍、注意力集中、記憶持久而準(zhǔn)確、思維敏銳而豐富，并且提升和強(qiáng)化學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性.

筆者在“有理數(shù)混合運(yùn)算”這節(jié)課的課堂引入進(jìn)行了如下設(shè)計(jì).

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

師：“24點(diǎn)”同學(xué)們都會(huì)算吧？

生：（興奮地答）會(huì)！

師：今天我們來(lái)比比看，誰(shuí)算得又快又多！

出示四張牌：2，5，10，11.

學(xué)生們積極思考，紛紛舉手，給出了各種答案. 分別有：11×2+10÷5=24， 11+10+5-2=24，11×10÷5+2=24，11÷（5÷10）+2=24.

筆者利用這些運(yùn)算方法，復(fù)習(xí)回顧小學(xué)里學(xué)過的加減乘除運(yùn)算的運(yùn)算法則. 這時(shí)，有一位學(xué)生站起來(lái)說他有不同的辦法：42+5+3，52+4-5，52-（5-4）. 其他學(xué)生不由自主地對(duì)這位學(xué)生的解答鼓掌.

師：小學(xué)里的“24點(diǎn)”只有加減乘除運(yùn)算，到中學(xué)以后當(dāng)然可以將乘法利用起來(lái)了. 其實(shí)，不僅可以用乘法運(yùn)算，我們還可以將負(fù)數(shù)拿來(lái)算“24點(diǎn)”呢.

學(xué)生表示非常驚訝.

師：比如2，3，1，-2，請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下.

學(xué)生經(jīng)過思考，出現(xiàn)了23×[1-（-2）]=24;[3-（-2）]2-1=24.

設(shè)計(jì)意圖? 借助算“24點(diǎn)”這個(gè)最熟悉的問題，將學(xué)生吸引到課堂中來(lái). 同時(shí)，對(duì)“24點(diǎn)”的運(yùn)算方法進(jìn)行擴(kuò)充，學(xué)生的思維也隨之提升. 學(xué)生在新舊方法的碰撞中體會(huì)到新知識(shí)帶來(lái)的新方法. 最后，教師引導(dǎo)學(xué)生將負(fù)數(shù)加入運(yùn)算，不僅是對(duì)運(yùn)算進(jìn)行了鞏固，同時(shí)也是對(duì)剛學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行了合理的應(yīng)用. 學(xué)生主動(dòng)地去嘗試過程，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力，還激發(fā)了學(xué)生的運(yùn)算興趣，以趣促學(xué)，讓學(xué)生能夠主動(dòng)地去思考、愉快地去運(yùn)算. 這樣的效果比布置給學(xué)生100道計(jì)算題的效果好.

深度反思，新舊知識(shí)融會(huì)貫通

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)的學(xué)習(xí)是在學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)上進(jìn)行構(gòu)建的結(jié)果，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)對(duì)于一個(gè)獨(dú)立的學(xué)生來(lái)說都是自己獨(dú)創(chuàng)的. 學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，根據(jù)自己已有的經(jīng)驗(yàn)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行加工整合，并盡力構(gòu)建自己的知識(shí)體系. 但是新知識(shí)與舊知識(shí)的融合過程不是簡(jiǎn)單地靠教師的單向傳授就可以的，一定有一個(gè)試錯(cuò)、糾錯(cuò)、反思的過程. 教師如何能夠進(jìn)行有效引導(dǎo)但是又不剝奪學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生在錯(cuò)誤中學(xué)會(huì)反思？？搖

【教學(xué)片段】

在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法時(shí)，當(dāng)學(xué)生了解了加法法則，并依據(jù)法則進(jìn)行例題分析后，可以利用問題引領(lǐng)反思：（1） -11+（-9）;（2）（-3.5）+7;（3） +-? .

師：請(qǐng)比較加數(shù)與和的大小關(guān)系，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)加數(shù)的和可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，還有可能是零，也就是有可能是任何有理數(shù).

生2：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)有理數(shù)的和有時(shí)候比加數(shù)還要小.

師：真是一個(gè)很厲害的發(fā)現(xiàn)！小學(xué)里學(xué)過的加法運(yùn)算是越加越大或者與加數(shù)相同，但是到中學(xué)里，加數(shù)的和就有可能比加數(shù)還要小，這是什么原因呢？

生3：因?yàn)樾W(xué)里的數(shù)是正數(shù)或者零，而現(xiàn)在的加數(shù)中有負(fù)數(shù)?。▽W(xué)生激動(dòng)地說）

師：那么是不是只要加數(shù)中有負(fù)數(shù)，和就會(huì)比加數(shù)要小呢？

生4：不是的. 如果兩個(gè)加數(shù)都是負(fù)數(shù)，那么和就比兩個(gè)加數(shù)都要小;如果加數(shù)中只有一個(gè)負(fù)數(shù)，那么和就比負(fù)數(shù)要大，比另一個(gè)加數(shù)要小.

師：這位同學(xué)還會(huì)對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，真不錯(cuò)！

生5：老師，我還有一個(gè)發(fā)現(xiàn)，小學(xué)里相加為零的數(shù)只有0+0=0，而到中學(xué)后變成了互為相反數(shù).

師：同學(xué)們說得真好. 其實(shí)小學(xué)所學(xué)的加法是有理數(shù)加法中的一部分內(nèi)容，現(xiàn)在數(shù)的范圍變大了，小學(xué)里的一些結(jié)論可能就不再正確了，同學(xué)們要仔細(xì)斟酌才行！

設(shè)計(jì)意圖? 從小學(xué)所學(xué)的非負(fù)有理數(shù)擴(kuò)充到中學(xué)的有理數(shù)，增加了負(fù)數(shù)，學(xué)生的學(xué)習(xí)難度增大了，也是中學(xué)運(yùn)算中的第一個(gè)難點(diǎn). 當(dāng)學(xué)生對(duì)有理數(shù)加法法則熟悉以后，根據(jù)學(xué)生的計(jì)算結(jié)果，只要進(jìn)行問題引領(lǐng)，學(xué)生自然會(huì)進(jìn)行深度反思. 加法運(yùn)算是有理數(shù)運(yùn)算的第一課，學(xué)生的腦海中還裝著“和不小于任一加數(shù)”“差不大于被減數(shù)”“運(yùn)算不需要考慮符號(hào)”等已有的經(jīng)驗(yàn)，面對(duì)初中負(fù)數(shù)的知識(shí)，現(xiàn)有的知識(shí)與原有的知識(shí)發(fā)生了沖突，學(xué)生需要在新舊知識(shí)的矛盾中將新舊知識(shí)融會(huì)貫通.

變式訓(xùn)練，鞏固內(nèi)化運(yùn)算法則

行為主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，認(rèn)為學(xué)習(xí)的過程就是通過技能訓(xùn)練的過程. 雖然行為主義認(rèn)為訓(xùn)練越多越不科學(xué)，但是他們強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)中練習(xí)的作用是正確的. 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升，離不開適度的練習(xí).

但是，訓(xùn)練不能一味地追求量，還要根據(jù)學(xué)生的問題進(jìn)行有針對(duì)性的變式訓(xùn)練. 變式訓(xùn)練可以加強(qiáng)知識(shí)間的對(duì)比，強(qiáng)化知識(shí)的本質(zhì)特性，強(qiáng)化學(xué)生的思維訓(xùn)練，提高抽象概括、理解能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，掌握解題技巧，提高課堂教學(xué)效果. “變”的目的主要是為了學(xué)生能夠更好地掌握“不變”的知識(shí)的方法，以形成“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的能力，從而終生受用.

【教學(xué)片段】

計(jì)算：30× - - .

生：30× -30× -30× .

師：因?yàn)槲覀儗W(xué)過省略加號(hào)的和式，那么這個(gè)算式是否可以寫成和的形式呢？

生：30× +（-30）× +（-30）× . （學(xué)生雖然已經(jīng)將這個(gè)式子完成了，但是他們的內(nèi)心其實(shí)是不認(rèn)可的，因?yàn)檫@樣算顯得有點(diǎn)麻煩，與小學(xué)里所學(xué)的方法也產(chǎn)生了矛盾. 教師有意見，但還是請(qǐng)學(xué)生保留想法，接著往下再學(xué)習(xí). ）

變一變1：-30× - - .

生1：（-30）× -（-30）× -（-30）× .

生2：（-30）× +（-30）×- + （-30）×- .

師：這兩種解法都正確. 接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們完成解題過程.

生：（-30）× -（-30）× -（-30）× =-15-（-20）-（-24）=-15+20+24=29.

（-30）× +（-30）×- +（-30）×- =-15+20+24=29.

生3：通過比較，我發(fā)現(xiàn)將括號(hào)里的式子看成加法的形式，對(duì)計(jì)算有簡(jiǎn)便作用，還可以避免符號(hào)上的錯(cuò)誤.

教師進(jìn)行總結(jié)：同學(xué)們反思一下分配律公式可以發(fā)現(xiàn)：a（b+c）=ab+ac，公式中也是將括號(hào)里的式子看成加法形式的.

變一變2：計(jì)算1-30× - - .

生1：1-30× - - =1-30× -30× -30× . （極個(gè)別學(xué)生錯(cuò)誤的解法）

生2：1-30× - - =1+ （-30）× +- +- . （大部分學(xué)生的解法）

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算的時(shí)候，最容易出錯(cuò)的是符號(hào)問題. 學(xué)生在進(jìn)行分配律運(yùn)算的時(shí)候，當(dāng)括號(hào)里是減法，分配進(jìn)去的數(shù)是負(fù)數(shù)的時(shí)候，學(xué)生對(duì)符號(hào)的處理顯得很不好. 因?yàn)樾W(xué)只要分配正數(shù)就可以，而且小學(xué)分配的時(shí)候括號(hào)里是減法的時(shí)候結(jié)果仍然用減法. 但是在中學(xué)，學(xué)生對(duì)這里的符號(hào)很難處理得準(zhǔn)確，導(dǎo)致每次的練習(xí)和作業(yè)的錯(cuò)誤率很高. 如何能夠有效地避免這樣的錯(cuò)誤，還是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)式子進(jìn)行規(guī)范化處理. 尤其對(duì)于變式2的練習(xí)，學(xué)生如果不通過這樣一步步的變式訓(xùn)練對(duì)乘法分配律進(jìn)行法則固化，那么這樣的練習(xí)學(xué)生肯定會(huì)算得糊里糊涂，最后是對(duì)這樣的問題根本無(wú)法把握，導(dǎo)致在計(jì)算上沒有信心.

另外，學(xué)生在有理數(shù)運(yùn)算的時(shí)候?qū)@類問題進(jìn)行法則固化，對(duì)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算也很有幫助. 比如計(jì)算5-2×（ -2）這類問題，學(xué)生就可以有效地利用上述方法進(jìn)行知識(shí)的遷移;還有就是在學(xué)習(xí)整式加減時(shí)，學(xué)生對(duì)于去括號(hào)法則“+（a+b-c）”“-（a+b-c）”的理解也是很有幫助的. ？搖

總之，如何能夠有效地減少學(xué)生的運(yùn)算障礙，需要教師充分地關(guān)注課堂中學(xué)生思維的參與、辨析、深化的過程. 學(xué)生只有能夠?qū)λ憷磉M(jìn)行明晰，深度理解運(yùn)算本質(zhì)才能理解每個(gè)算式的本質(zhì)含義，才不會(huì)將運(yùn)算變成機(jī)械操作，而是有思維內(nèi)涵的思維體操;在運(yùn)算的過程中，只有始終保持濃厚的運(yùn)算熱情，才能讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探究;學(xué)生不是被動(dòng)地接受知識(shí)，而是在反思中不斷地對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行整合，從而將新知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化;能夠有效地將學(xué)生的方法進(jìn)行辨析，讓學(xué)生對(duì)新方法的接受呈現(xiàn)出自然狀態(tài)，等等，這些都是教師在教學(xué)過程中需要不斷嘗試、探索的.

當(dāng)然，每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力水平各有差異，每種運(yùn)算的難度系數(shù)也不一樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)運(yùn)算的障礙點(diǎn)也不太一樣，提高學(xué)生的運(yùn)算能力任重而道遠(yuǎn). 在教學(xué)中，教師只有針對(duì)不同學(xué)生分析其具體存在的障礙點(diǎn)，靈活采用有效的教學(xué)策略，才能有效地提高學(xué)生的運(yùn)算能力.