[摘 要] “幾何畫板”在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮了獨(dú)特的優(yōu)勢，充分發(fā)揮了“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的新課程模式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生自主探究的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合等思想。借助中小學(xué)數(shù)學(xué)中的一系列案例，從創(chuàng)設(shè)情境、自主探究、數(shù)形結(jié)合、概念教學(xué)等應(yīng)用方式探索“幾何畫板”在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用，并用二次函數(shù)的教學(xué)案例來說明“幾何畫板”在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值所在。

[關(guān)鍵詞] 幾何畫板;數(shù)學(xué)教學(xué);自主探究

[基金項(xiàng)目] 2020年度云南省教育廳科學(xué)研究基金教師類項(xiàng)目“中緬邊境地區(qū)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀調(diào)查研究”（2020J0749）

[作者簡介] 王麗美（1987—），女，山東臨沂人，碩士，滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)教育、教育統(tǒng)計(jì)研究。

[中圖分類號(hào)] G40-01 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A ? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2021）14-0150-04 ? ?[收稿日期] 2020-12-30

現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展將對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及學(xué)習(xí)和教學(xué)的方式產(chǎn)生重大影響。數(shù)學(xué)課程要重視運(yùn)用現(xiàn)代技術(shù)手段，特別是要充分考慮計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，利用現(xiàn)代技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力的工具，使學(xué)生從大量繁雜、重復(fù)的運(yùn)算中解放出來，將更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去[1]。新課程提倡自主探索，動(dòng)手實(shí)踐與合作交流的學(xué)習(xí)方式，要求我們在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)。“幾何畫板”正是一種很好的實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主體的一種可視化的動(dòng)態(tài)教育軟件。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生不再是知識(shí)的容器而是作為探索者參與進(jìn)來，不僅有助于學(xué)生能力的提高，而且充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，使教師探索出新的教學(xué)模式。本文結(jié)合教學(xué)案例探索“幾何畫板”在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用和價(jià)值。

一、“幾何畫板”簡介

“幾何畫板”是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的教學(xué)輔助軟件，適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）及物理教學(xué)的軟件平臺(tái)，使用該軟件可以很方便地制作出一些表現(xiàn)數(shù)學(xué)或物理規(guī)律的課件。通過該軟件制作的課件不僅簡單實(shí)用、容易學(xué)習(xí)，而且制作出的課件比較小、便于攜帶、交互性強(qiáng)。它適用于數(shù)學(xué)的平面幾何、解析幾何、立體幾何等教學(xué)，以點(diǎn)、線、面為基本元素，通過對(duì)這些基本元素的變換、構(gòu)造、測算、計(jì)算、動(dòng)畫、跟蹤軌跡等，顯示或構(gòu)造出其他較為復(fù)雜圖形[2]。“幾何畫板”主要有以下幾個(gè)特點(diǎn)[3]。

一是動(dòng)態(tài)性?？梢杂檬髽?biāo)拖動(dòng)圖形上的點(diǎn)、線、圓，且事先設(shè)定的圖形的基本性質(zhì)不發(fā)生變化。二是交互性。提供多種方法幫助教師了解學(xué)生的思路和對(duì)概念的掌握程度。三是探索性。師生可以用幾何畫板去發(fā)現(xiàn)、探索、表現(xiàn)、總結(jié)幾何規(guī)律，建立自己的認(rèn)識(shí)體系，成為真正的研究者。四是簡潔性。制作工具少，制作過程簡單，容易掌握，不需要花費(fèi)很多時(shí)間和精力去學(xué)習(xí)軟件，強(qiáng)調(diào)操作者對(duì)學(xué)科知識(shí)的建構(gòu)和理解。

二、“幾何畫板”在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用方式

“幾何畫板”既能創(chuàng)設(shè)情境又能讓學(xué)生主動(dòng)參與，所以能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使枯燥、抽象的數(shù)學(xué)概念變得直觀、形象，使學(xué)生從害怕、厭惡數(shù)學(xué)變成對(duì)數(shù)學(xué)喜愛并樂意學(xué)數(shù)學(xué)[4]。讓學(xué)生通過做“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”去主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、主動(dòng)探索，不僅使學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到很好的訓(xùn)練，而且還有效地培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維和直覺思維?！皫缀萎嫲濉痹谥行W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要應(yīng)用于創(chuàng)設(shè)情境、自主探究、數(shù)形結(jié)合、概念教學(xué)等幾個(gè)方面。

（一）創(chuàng)設(shè)情境

在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，應(yīng)當(dāng)采取靈活多樣的課堂教學(xué)模式和教學(xué)方法，通過活躍的“問題解決”和數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系起來[5]。新課程標(biāo)準(zhǔn)要求為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)和自主探究的機(jī)會(huì)，通過問題情境導(dǎo)入數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。幾何畫板的優(yōu)勢之一在于能夠?yàn)閷W(xué)生提供豐富的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)情境和問題情境，動(dòng)手操作，在“做”數(shù)學(xué)的過程中學(xué)到知識(shí)。

案例一：三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）.

本案例是高一數(shù)學(xué)第一冊（下）第四章（三角函數(shù)）4.9節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。這里可以通過直觀演示物理中“簡諧運(yùn)動(dòng)”動(dòng)畫，充分顯示運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維和學(xué)習(xí)興趣，為培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、觀察分析等數(shù)學(xué)能力提供了很好的素材，較好地為新知識(shí)創(chuàng)設(shè)了情境。

學(xué)生利用“幾何畫板”，單擊“描點(diǎn)”按鈕，在坐標(biāo)系上描出相應(yīng)的點(diǎn)，描完5個(gè)點(diǎn)后單擊“顯示圖像”按鈕繪制出相應(yīng)的曲線。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生還可以改變參數(shù)A、ω、φ來改變?nèi)呛瘮?shù)，充分認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。本案例通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，使枯燥的數(shù)學(xué)變得直觀、形象、生趣。

（二）自主探究

通過學(xué)生自己動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)、分析、探索，真正成為知識(shí)的探索者，而不再是知識(shí)的容器。在不斷探索的過程中完善自己的知識(shí)體系，提高獲取知識(shí)的能力。

案例二：拋物線y=2px及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師給出素材圓錐曲線的統(tǒng)一形式，通過改變離心率讓學(xué)生自主探究來認(rèn)識(shí)圓錐曲線，在探索拋物線圖像及性質(zhì)的基礎(chǔ)上，回顧橢圓和雙曲線的圖像及性質(zhì)。

問題探究一：當(dāng)離心率e>1時(shí)圖形會(huì)變成什么？（學(xué)生自主探究后會(huì)發(fā)現(xiàn)是雙曲線）

問題探究二：當(dāng)離心率e<1時(shí)圖形會(huì)變成什么？（學(xué)生自主探究后會(huì)發(fā)現(xiàn)是橢圓）

問題探究三：當(dāng)離心率e=1時(shí)圖形會(huì)變成什么？（學(xué)生自主探究后會(huì)發(fā)現(xiàn)是拋物線）

通過自主探究可以看出圖像的明顯變化，從而得出當(dāng)離心率e=1時(shí)的圖像是拋物線。

（三）數(shù)形結(jié)合

中小學(xué)數(shù)學(xué)中很多內(nèi)容、概念比較抽象，而中小學(xué)生正處在形象思維發(fā)達(dá)的階段，但是抽象邏輯思維能力還在形成中。華羅庚說過“數(shù)缺少形時(shí)少直覺，形缺少數(shù)時(shí)難入微”。“幾何畫板”能將許多抽象的知識(shí)變得直觀、簡單，數(shù)形得到充分的結(jié)合。

案例三：圓與圓的位置關(guān)系。

圓與圓的位置關(guān)系是在學(xué)習(xí)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)上對(duì)圓與圓的位置關(guān)系的探究。設(shè)其中一個(gè)圓的圓心為O，半徑為r，另一個(gè)圓的圓心為O，半徑為r（規(guī)定r>r）。通過探究OO的距離d和兩個(gè)圓半徑的關(guān)系來充分理解圓與圓的位置關(guān)系。

當(dāng)d>r+r時(shí)，圓與圓外離;當(dāng)d=r+r時(shí)，圓與圓外切;當(dāng)r-r

（四）概念教學(xué)

概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中比較困難，特別是中小學(xué)生對(duì)于概念的理解總是不到位。通過“幾何畫板”可以使學(xué)生從直觀上來理解概念的內(nèi)涵，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)中不能清晰描述出概念形成的過程。

案例四：棱臺(tái)的概念。

“幾何畫板”可以輕松繪制出各種立體幾何圖形，也可以讓學(xué)生充分理解平面圖像到立體圖形、從二維空間到三維空間的轉(zhuǎn)變。可以將原本黑板上的固定圖形變成幾何畫板中活靈活現(xiàn)的圖形，讓學(xué)生進(jìn)入一個(gè)數(shù)形的世界中。能夠清晰地看到棱臺(tái)的組成部分以及隨著棱臺(tái)的高度變化而發(fā)生變化，使同學(xué)們輕松的學(xué)到新知識(shí)、新概念。

三、“幾何畫板”在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用案例分析

案例五：二次函數(shù)y=a（x-h）+k的圖像和性質(zhì)。

本案例是人教版九年級(jí)上冊第22章的教學(xué)內(nèi)容，新課標(biāo)指出：二次函數(shù)的教學(xué)必須讓學(xué)生從二次函數(shù)動(dòng)態(tài)化特征的觀察過程中，提出假設(shè)，并通過實(shí)驗(yàn)的方式探索知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系和相應(yīng)結(jié)論的推導(dǎo)過程。利用幾何畫板創(chuàng)造良好的數(shù)學(xué)環(huán)境，探索二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)。本案例采用基于課堂的探究協(xié)作型模式，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的指導(dǎo)思想。教師先創(chuàng)設(shè)環(huán)境，提出問題，學(xué)生通過“幾何畫板”進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而觀察分析，與同學(xué)交流，在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行歸納總結(jié)。在整個(gè)教學(xué)過程中，教師的點(diǎn)撥和學(xué)生的自主探究相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考而達(dá)到理解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并通過練習(xí)加以檢驗(yàn)和鞏固。

（一）教學(xué)目標(biāo)

一是知識(shí)與技能。首先，會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax的圖像，并了解拋物線的概念。其次，利用幾何畫板觀察分析二次函數(shù)y=ax圖像及性質(zhì)，總結(jié)出二次函數(shù)y=ax的開口方向、對(duì)稱軸、增減性、頂點(diǎn)坐標(biāo)。最后，能運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題。

二是過程與方法。首先，通過動(dòng)手操作、觀察比較、分析思考、規(guī)律總結(jié)等活動(dòng)過程，利用幾何畫板完成對(duì)二次函數(shù)y=ax的圖像及其性質(zhì)的認(rèn)知。其次，經(jīng)歷探索二次函數(shù)的圖像的作法和性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。

三是情感態(tài)度與價(jià)值觀。經(jīng)歷觀察、猜想、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生積極主動(dòng)參與自主探索的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。

（二）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax的圖像及其性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：通過“幾何畫板”對(duì)圖像的觀察，分析規(guī)律，歸納性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題。

（三）教學(xué)過程

一是創(chuàng)設(shè)情境。教師演示憤怒的小鳥這款游戲的動(dòng)畫，在展示動(dòng)畫過程中拋出問題：憤怒的小鳥在射出的過程中所形成的圖形是什么？怎樣才能讓小鳥精準(zhǔn)地射中目標(biāo)？你覺得這個(gè)動(dòng)畫跟我們數(shù)學(xué)知識(shí)有什么關(guān)聯(lián)？（學(xué)生在思考后得出這個(gè)圖形是拋物線。）

通過這個(gè)動(dòng)畫調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維和學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生觀察分析二次函數(shù)等的數(shù)學(xué)能力提供很好的素材，較好地為學(xué)習(xí)二次函數(shù)創(chuàng)設(shè)了思維情境，引出這節(jié)課的主要內(nèi)容拋物線。

二是復(fù)習(xí)引入。教師引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，從y=kx到y(tǒng)=kx+b的圖像及性質(zhì)，從k的數(shù)值改變總結(jié)出一般歸路。并讓學(xué)生用描點(diǎn)法繪制出一次函數(shù)y=kx的圖像，一次函數(shù)的圖像時(shí)一條直線，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，從而引出二次函數(shù)的圖像會(huì)是什么？為下一步的自主探究做好準(zhǔn)備。

三是自主探究。自主探究一：利用幾何畫板采用描點(diǎn)法繪制出二次函數(shù)y=x的圖像，觀察二次函數(shù)的圖像時(shí)什么樣子的？在作圖的過程中需要注意什么？

自主探究二：學(xué)生觀察二次函數(shù)圖像，并大膽猜想二次函數(shù)的圖像的特征。

教師補(bǔ)充糾正學(xué)生猜測的二次函數(shù)圖像的特征，并引導(dǎo)學(xué)生觀察分析圖像引出二次函數(shù)圖像的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及函數(shù)的增減性。

自主探究三：在探究一的圖像坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3x和y=x的圖像，通過對(duì)比研究y=x的圖像，分析這三個(gè)函數(shù)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

自主探究四：在探究三的圖像坐標(biāo)系中繼續(xù)作出二次函數(shù)y=-x、y=-3x和y=-x的圖像，此時(shí)從開口方向、開口大小、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、增減性對(duì)比研究六個(gè)函數(shù)圖像的特征，歸納出一般規(guī)律。

自主探究五：思考y=ax圖像的特征，分a>0和a<0兩種情況研究，并分小組討論總結(jié)出一般規(guī)律。

通過五個(gè)問題的自主探究，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生親自動(dòng)手操作，改變a的值來觀察圖像的變化。用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想利用如下圖表進(jìn)行歸納總結(jié)，教師進(jìn)行歸納補(bǔ)充。

歸納總結(jié)如下：

二次函數(shù)y=ax圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為（0，0）。當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)的開口方向向上，原點(diǎn)是最低點(diǎn)，隨著a的值增大，開口越小，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨著x的值增大而增大，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨著x的值增大而減小;當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)的開口方向向下，原點(diǎn)是最高點(diǎn)，隨著a的值減小，開口越小;當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨著x的值增大而減小;當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨著x的值增大而增大。

四是練習(xí)鞏固。通過設(shè)置不同形式和層次的練習(xí)題進(jìn)行知識(shí)的應(yīng)用和鞏固，鍛煉學(xué)生解決問題的能力，同時(shí)檢測學(xué)生對(duì)于二次函數(shù)知識(shí)的掌握情況。

基礎(chǔ)題：

（1）二次函數(shù)y=5x的對(duì)稱軸______，頂點(diǎn)坐標(biāo)_______，開口方向_______，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨著x的值增大而_____，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨著x的值增大而______.

（2）二次函數(shù)y=x的對(duì)稱軸______，頂點(diǎn)坐標(biāo)_______，開口方向_______.

提高題：

已知二次函數(shù)y=（m-1）x的開口方向向上，則m的取值范圍是______.

拓展題：

已知二次函數(shù)y=ax與y=2x-1相交于點(diǎn)（1，n），求a，n的值，并畫出二次函數(shù)的圖像.

五是課堂小結(jié)。積極組織學(xué)生進(jìn)行本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的總結(jié)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，從而完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

六是探究性問題。思考：二次函數(shù)y=ax+k的圖像及性質(zhì)。通過學(xué)生對(duì)這次二次函數(shù)的課外自主探究，指導(dǎo)學(xué)生拓展思路、發(fā)展思維，為下一個(gè)教學(xué)內(nèi)容打好基礎(chǔ)。

四、教學(xué)反思

通過“幾何畫板”在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索，充分認(rèn)識(shí)到“幾何畫板”實(shí)現(xiàn)了“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的新課程模式。德國教育學(xué)家第斯多惠曾說過：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、呼喚”?！皫缀萎嫲濉笔箤W(xué)生從知識(shí)的容器變?yōu)橹R(shí)的探索者，使教師從知識(shí)的灌輸者變?yōu)閷W(xué)習(xí)過程的組織者、指導(dǎo)者。同時(shí)使學(xué)生融入數(shù)學(xué)情景中，提高了對(duì)數(shù)學(xué)的求知欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過程中，使學(xué)生自主探究，觀察、比較、分析、思考，從而提升學(xué)生的實(shí)踐操作能力，豐富了數(shù)學(xué)課程，使數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)得到有效的開展。

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Exploration of the Application of The Geometer's Sketchpad in Mathematics Teaching in Primary and Secondary Schools

WANG Li-mei

（School of Mathematics and Physics， West Yunnan University， Lincang， Yunnan 677000， China）

Abstract： The Geometer's Sketchpad plays a unique role in mathematics teaching in primary and secondary schools， gives full play to the "student-centered， teacher-led" new teaching model， stimulates students' interest in learning， improves students' ability to explore independently， and cultivates students' thought of combination of numbers and shapes. With the help of a series of cases in mathematics in primary and secondary schools， this paper explores the application of The Geometer's Sketchpad in mathematics teaching in primary and secondary schools from the application methods of creating situation， self-inquiry， combination of numbers and shapes， and concept teaching， and illustrates the value of The Geometer's Sketchpad in mathematics teaching in primary and secondary schools with the teaching cases of quadratic function.

Key words： The Geometer's Sketchpad; mathematics teaching; self-inquiry