羅永軍 正高級(jí)教師，浙江省級(jí)優(yōu)秀教師暨師德楷模，浙江省省教科研先進(jìn)個(gè)人，杭州市中青年學(xué)科帶頭人，教育部義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)工具研發(fā)團(tuán)隊(duì)的核心成員。

近年來獨(dú)立撰寫專著2本，與人合著9本，參與編寫浙教版數(shù)學(xué)教科書等。積極進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)研究，所寫的數(shù)學(xué)教學(xué)論文獲全國(guó)一等獎(jiǎng)，另獲省市級(jí)以上一等獎(jiǎng)14次，發(fā)表數(shù)學(xué)教學(xué)文章60余篇，發(fā)明數(shù)學(xué)學(xué)具專利3項(xiàng)，地市以上講座、開課近百場(chǎng)，多節(jié)研究課被錄入國(guó)家課程資源庫(kù)。曾先后參加“開放題—數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式”等全國(guó)重點(diǎn)課題;主持負(fù)責(zé)多項(xiàng)浙江省重點(diǎn)課題，獲浙江省政府頒發(fā)的教學(xué)成果二等獎(jiǎng)1次和省市級(jí)以上科研（教學(xué)成果）一等獎(jiǎng)11次。

【摘 要】數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面是系統(tǒng)性的演繹科學(xué)，另一方面是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。作為實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)在智能時(shí)代其重要性在不斷增加，并正在形成一門新的數(shù)學(xué)分支：實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)。本研究討論了實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的源流、定義，以及實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要特征和實(shí)踐形態(tài)：模塊化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、課題型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、組件式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。同時(shí)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)做了學(xué)習(xí)價(jià)值、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的展望。

【關(guān)鍵詞】實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué) 歸納法 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

一、數(shù)學(xué)的兩個(gè)側(cè)面

數(shù)學(xué)這門學(xué)科往往給人以抽象、艱深、高冷的印象，讓人難以親近。實(shí)際上數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，充滿著數(shù)字和符號(hào)，是一門系統(tǒng)性的演繹科學(xué);另一方面，在數(shù)學(xué)的創(chuàng)造中，充滿著假設(shè)、猜想、操作、嘗試、驗(yàn)證等過程，是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。數(shù)學(xué)的這兩個(gè)特點(diǎn)，可以分別描述為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)和實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)。在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)中，演繹推理是其主要的方法論，公理化和形式化證明是主要活動(dòng);而在實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)中，歸納推理是其主要的方法論，觀察、操作、歸納是主要的活動(dòng)。在數(shù)學(xué)的發(fā)展和傳承中，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)占主要地位，通過公理化和演繹法快速地建起了一座座輝煌的數(shù)學(xué)大廈。

可是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們逐漸發(fā)現(xiàn)演繹法的局限，特別是對(duì)數(shù)學(xué)公理的深度依賴。數(shù)學(xué)公理是不證自明的直觀命題，不用懷疑也不能懷疑。但是，如果懷疑一下呢？比如：20世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼認(rèn)為公理只是假設(shè)。他在1851年發(fā)表了《論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)之假設(shè)》，開篇就對(duì)歐氏幾何公理發(fā)出疑問，進(jìn)而提出了自己對(duì)幾何學(xué)的另一些假設(shè)，結(jié)果開創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新天地，這些假設(shè)已經(jīng)成為現(xiàn)代幾何的重要組成部分。同樣對(duì)歐氏幾何第五公設(shè)的疑問，羅巴切夫斯基等人沿另一條路發(fā)展出了雙曲幾何。不僅如此，哥德爾發(fā)現(xiàn)在任何一個(gè)公理系統(tǒng)中，總有一些既不能證明也不能證偽的命題（哥德爾不完備定理），這更是動(dòng)搖了數(shù)學(xué)大廈的根基。除了數(shù)學(xué)公理，演繹法所用到的推理規(guī)則也被質(zhì)疑，如直覺主義的奠基者、代表人物克勞威爾對(duì)邏輯原理可靠性的懷疑。近期，對(duì)量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)深入研究，使更多的數(shù)學(xué)家加入了對(duì)排中律（反證法的邏輯基礎(chǔ)）的質(zhì)疑。種種危機(jī)不斷浮現(xiàn)，讓嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)產(chǎn)生了絲絲裂縫。那么，原本不被看好的歸納法呢？

二、實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)在智能時(shí)代

歸納法是對(duì)個(gè)例逐個(gè)進(jìn)行判斷，具有能夠檢驗(yàn)充足事實(shí)的優(yōu)點(diǎn)，但也存在著命題數(shù)量大、演算復(fù)雜度高、人力難以企及等缺點(diǎn)，所以常常用作簡(jiǎn)單命題的判斷。但是，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速崛起，人類進(jìn)入了智能時(shí)代，計(jì)算機(jī)技術(shù)和人工智能的高性能使得大數(shù)據(jù)處理變得更加容易，因而歸納法原本的局限不再是瓶頸。一個(gè)典型的例子是四色定理的證明，定理自1852年提出后一直以來無法用經(jīng)典的演繹推理來證明。進(jìn)入20世紀(jì)后，數(shù)學(xué)家們請(qǐng)來計(jì)算機(jī)對(duì)命題中的每一子類逐一檢驗(yàn)（約100億個(gè)判斷），歸納出相應(yīng)結(jié)果，從而證得。這給數(shù)學(xué)的發(fā)展一個(gè)啟示：歸納法在人工智能的強(qiáng)力加持下，能夠完成以前不可能完成的任務(wù)，如預(yù)測(cè)氣象變化、判斷經(jīng)濟(jì)走勢(shì)，當(dāng)然也包括對(duì)數(shù)學(xué)定理的證明。

1992年美國(guó)《Experimental Mathematics》學(xué)術(shù)雜志的創(chuàng)刊是個(gè)標(biāo)志性事件，“標(biāo)志著實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一門相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，并已從演繹數(shù)學(xué)這個(gè)主干中分離出來”。在國(guó)內(nèi)，也有學(xué)者提出用“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)對(duì)歐幾里得范式的挑戰(zhàn)”“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)是空前的數(shù)學(xué)革命”，認(rèn)為實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科的新分支，是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要方向，應(yīng)該加大實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的研究力度。

實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)興起時(shí)間不長(zhǎng)，對(duì)于什么是“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”，目前尚未有統(tǒng)一的定義。比較公認(rèn)的描述是，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)是這樣一個(gè)數(shù)學(xué)分支：它通過對(duì)猜想和非形式化的信念的實(shí)驗(yàn)探索， 以及對(duì)此過程中所獲信息的仔細(xì)分析，最終對(duì)數(shù)學(xué)界提出的各種洞察到的事物加以組織、分析和傳播 。簡(jiǎn)單地說，就是用實(shí)驗(yàn)的方法歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)新分支。

三、作為教學(xué)的實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)

實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，國(guó)內(nèi)從20世紀(jì)90年代開始在北京航空航天大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)、中國(guó)科技大學(xué)等重點(diǎn)大學(xué)開設(shè)，課程名稱分別是“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)導(dǎo)引”等，研究?jī)?nèi)容包括幾何變換、天體運(yùn)動(dòng)、數(shù)論、運(yùn)籌學(xué)、迭代與混沌、密碼、概率、經(jīng)濟(jì)分析、幾何定理的計(jì)算機(jī)證明等。這些課程內(nèi)容以其與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)不同的特點(diǎn)在數(shù)學(xué)教育中引起廣泛的興趣和支持，并獲得高校專家和師生的普遍好評(píng)。目前國(guó)內(nèi)已有數(shù)百所學(xué)校開設(shè)了實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)課，課程的對(duì)象不僅是理工科專業(yè)，而且包括了經(jīng)濟(jì)管理甚至文科等專業(yè)。

在義務(wù)教育學(xué)段，由華中師范大學(xué)姜樂仁教授主編的六年制小學(xué)試用課本《實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)》， 于1989年經(jīng)國(guó)家教委中小學(xué)教材審定委員會(huì)審定，正式確定為實(shí)驗(yàn)課本。不過，“實(shí)驗(yàn)”在這套教材中的意思類同于“嘗試”，強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)中要讓學(xué)生先想一想、議一議，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解決問題。

綜上所述，我們認(rèn)為，作為教學(xué)任務(wù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)，不只是“嘗試”，更主要是以觀察操作和分析歸納為主要方法論的教學(xué)，以區(qū)別于其他數(shù)學(xué)教學(xué)。實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)教學(xué)就實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)工具和實(shí)驗(yàn)深度來講，大學(xué)、中小學(xué)不一樣，但從方法論來講是一脈相承的。首先從數(shù)學(xué)方法來看，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)不是從定義、概念和規(guī)則出發(fā)來發(fā)現(xiàn)新知，而是從觀察、操作和分析來歸納出數(shù)學(xué)事實(shí)和相應(yīng)規(guī)律。其次，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度來看，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)不用“背”“記”“算”，不是傳統(tǒng)的一張紙和一支筆的學(xué)習(xí)方式，而是要對(duì)事物或現(xiàn)象進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)問題，做出猜想，然后設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，在親手操作中思考與調(diào)整，學(xué)會(huì)分析實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果，歸納出內(nèi)蘊(yùn)其中的數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)規(guī)律，再把結(jié)論回饋到實(shí)驗(yàn)中加以驗(yàn)證或調(diào)整的過程。因此，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的教學(xué)是實(shí)驗(yàn)歸納方法論的教學(xué)。

這套方法論在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)際上已經(jīng)有所應(yīng)用，如在“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)中，學(xué)生得到“三角形的內(nèi)角和是180°”這個(gè)結(jié)論并不是從平行線的相關(guān)性質(zhì)和定理推導(dǎo)出來的，而是通過先分類枚舉三角形，觀察內(nèi)角，猜想規(guī)律，然后通過量一量、算一算、剪一剪、拼一拼、畫一畫等操作活動(dòng)來分析驗(yàn)證，最后歸納出結(jié)論。在小學(xué)階段，像這樣通過觀察與操作，然后分析歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)習(xí)方式屢見不鮮，如平面圖形的周長(zhǎng)和面積、立體圖形的體積、加法和乘法的運(yùn)算定律等。

值得指出的是，作為小學(xué)教學(xué)的實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)，不僅要體現(xiàn)方法論特點(diǎn)，還要符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。因此，實(shí)驗(yàn)材料要和大學(xué)生主要使用計(jì)算機(jī)不同，我們認(rèn)為小學(xué)生要以實(shí)物操作為主，間或用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，不含思想實(shí)驗(yàn)、不含單純的紙筆演算實(shí)驗(yàn)。

四、實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)是以實(shí)驗(yàn)操作和分析歸納的方法來發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的，因此其基本的內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式就是做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。我們?cè)趯?shí)踐中把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為三類，簡(jiǎn)稱“1+2+X”。其中：“1”是指每周1課時(shí)固定的“模塊化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，放在學(xué)校拓展課程中;“2”是指以學(xué)期為單位每學(xué)期開展2～3個(gè)“課題型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”;“X”是指在常規(guī)數(shù)學(xué)課中，為突破難點(diǎn)或深入理解重點(diǎn)而嵌入的數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，是一種“組件式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。

（一）“1”：專門設(shè)計(jì)的“模塊化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”

1.課程時(shí)間及模塊規(guī)劃

我們從校本課程中每周安排1課時(shí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的專項(xiàng)學(xué)習(xí)。為均衡規(guī)劃實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，我們依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，分別設(shè)置了“數(shù)感與量感”模塊、“模式與關(guān)系”模塊、“圖形與想象”模塊、“拓?fù)渑c變換”模塊和“統(tǒng)計(jì)與概率”模塊，一共是5個(gè)模塊。不過，這五個(gè)方面的內(nèi)容也不完全對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)課標(biāo)的知識(shí)領(lǐng)域，比如“模式與關(guān)系”既可以是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的，也可以是幾何領(lǐng)域的。

為便于教學(xué)，我們陸續(xù)出版了《數(shù)學(xué)動(dòng)動(dòng)手：小學(xué)生愛玩的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》1～12冊(cè)，每?jī)?cè)10個(gè)活動(dòng)內(nèi)容，每個(gè)活動(dòng)時(shí)間是40～60分鐘，助力實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)拓展課。以第4冊(cè)為例，10個(gè)內(nèi)容如下 ：

對(duì)于各模塊的內(nèi)容安排，我們采用螺旋式進(jìn)行編排，以“模式與關(guān)系”為例，在一至六年級(jí)中分別編排如下：

在編排時(shí)，我們注意整體規(guī)劃。橫向?qū)用婷恳粌?cè)都包含5個(gè)模塊;縱向?qū)用鎸?duì)每個(gè)模塊在整個(gè)小學(xué)階段有計(jì)劃地分層編排。如在“模式與關(guān)系”模塊中，我們進(jìn)一步把它細(xì)分成代數(shù)思維、關(guān)系推理、模式發(fā)現(xiàn)這三個(gè)子類?？v向編排時(shí)低年級(jí)和高年級(jí)有不同的內(nèi)容側(cè)重，并隨著年級(jí)的升高逐漸增加“模式發(fā)現(xiàn)”子類的內(nèi)容。類似地，在其他各個(gè)模塊中，我們也都設(shè)有二級(jí)子類，內(nèi)容源于數(shù)學(xué)課標(biāo)，同時(shí)也做一些適當(dāng)?shù)耐卣?，如系列拓?fù)潢P(guān)系實(shí)驗(yàn)、系列隨機(jī)關(guān)系實(shí)驗(yàn)、系列分形幾何實(shí)驗(yàn)等當(dāng)代數(shù)學(xué)中較有影響的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。

2.內(nèi)容特點(diǎn)及設(shè)計(jì)編排

在具體設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)動(dòng)動(dòng)手”中的每一個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們不但會(huì)考慮內(nèi)容既要符合實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，還要銜接兒童的認(rèn)知特點(diǎn)。我們把兒童與生俱來的好奇心作為出發(fā)點(diǎn)和驅(qū)動(dòng)力伴隨整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程。以上表中的“透視骰子”實(shí)驗(yàn)為例，從“我好奇”開始（如圖1）：

X先生聲稱自己擁有“透視眼”，他的眼睛就像X光一樣，能夠看穿隱藏的東西。比如，把5個(gè)骰子隨意疊在一起，中間重疊面上的數(shù)字是看不到的，不過X先生只看了一眼，就說：“哈，有9個(gè)數(shù)字被蓋住了，不過我都看到了，我還能把這些數(shù)字加起來，它們的總和是33?！?/p>

X先生好厲害喲，他確實(shí)只是看了一眼。X先生真的具有透視眼嗎？

緊隨著是“我猜想”，好奇引發(fā)猜想：X先生可能真有透視的特異功能;也可能他只是掌握了骰子上數(shù)字的排列規(guī)律。那么，“骰子上的數(shù)字排列有規(guī)律嗎”？帶著好奇，“我實(shí)驗(yàn)”：學(xué)生觀察骰子、疊加骰子、記錄和分析點(diǎn)子數(shù)、假設(shè)和驗(yàn)證、嘗試歸納骰子求和算法，最終破解謎題。隨后是“我回顧”：對(duì)實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果進(jìn)行回顧，包括實(shí)驗(yàn)安全、實(shí)驗(yàn)中的困難、實(shí)驗(yàn)的收獲等，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，舉一反三，觸類旁通，提出新問題。類似地，在“數(shù)學(xué)動(dòng)動(dòng)手”中的每一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都包含“我XX”這7個(gè)欄目（圖2）。每個(gè)實(shí)驗(yàn)都從一個(gè)令人好奇的現(xiàn)象或問題出發(fā)開始探究，到最后的實(shí)驗(yàn)回顧提出新問題，形成了一個(gè)回路。這樣設(shè)計(jì)的目的，一方面是給好奇心正反饋，以促進(jìn)學(xué)生提出新的好奇性問題，從而鼓勵(lì)和增強(qiáng)學(xué)生的好奇心;另一方面相當(dāng)于給出了一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作流程，把實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的方法論特征和學(xué)習(xí)方式、教學(xué)結(jié)構(gòu)都統(tǒng)整起來，三合一，方便教學(xué)。

（二）“2”：每學(xué)期2次“課題型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”

拓展課由教師主導(dǎo)，而每學(xué)期2～3次的小課題則由學(xué)生以團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目制的形式自主研究。小課題的來源可以由學(xué)生提出，也可以采用教師所推薦的。過程管理采用“流程圖+Poster分享”方式，完成時(shí)間一般為1個(gè)月左右。

以“超級(jí)七巧板”項(xiàng)目為例，學(xué)生經(jīng)歷了從認(rèn)識(shí)七巧板、制作七巧板、拼組七巧板到創(chuàng)新七巧板的整個(gè)過程：

（1）七巧板的認(rèn)識(shí)和制作。目標(biāo)：認(rèn)識(shí)圖形。

（2）七巧板拼擺圖案或根據(jù)圖形輪廓拼組七巧板。目標(biāo)：理解圖形關(guān)系。

（3）畫故事，把七巧板融入成語故事、我愛秋天等主題活動(dòng)。目標(biāo)：發(fā)展空間想象力。

（4）用巨型七巧板拼圖形。最小等腰直角三角形直角邊是1米，七巧板拼合后正方形的邊長(zhǎng)是2.8米。目標(biāo)：發(fā)展空間推理能力。

（5）制作超級(jí)七巧板。研究七巧板各圖形的特點(diǎn)，討論優(yōu)點(diǎn)和局限，改進(jìn)形狀，制作新版七巧板。目標(biāo)：發(fā)展空間推理能力和空間想象力。

（6）用超級(jí)七巧板拼組生活中的圖案和數(shù)學(xué)中的基本圖形。在圖形的拼組中進(jìn)一步比較經(jīng)典七巧板與自己創(chuàng)造的七巧板的優(yōu)缺點(diǎn)。目標(biāo)：理解圖形關(guān)系，發(fā)展空間觀念。

我們把這樣的小課題稱為“實(shí)境探究”，強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)要面向真實(shí)問題，應(yīng)對(duì)真實(shí)挑戰(zhàn)，在真實(shí)環(huán)境中真實(shí)地解決問題。在實(shí)境探究前學(xué)生團(tuán)隊(duì)需要和教師（可以邀請(qǐng)校內(nèi)外其他成人）一起評(píng)論項(xiàng)目設(shè)計(jì)，包括：課題、材料準(zhǔn)備、預(yù)期、活動(dòng)步驟等。其中活動(dòng)步驟按“5E”流程實(shí)施，即吸引（Engage）、探究（Explore）、解釋（Explain）、遷移（Elaborate）、評(píng)價(jià)（Evaluate）。上面的“超級(jí)七巧板”課題活動(dòng)第1～2項(xiàng)包含在“吸引”“探究”“解釋”活動(dòng)流程內(nèi)，第3～6項(xiàng)屬于“遷移”系列活動(dòng)?！霸u(píng)價(jià)”則以分享展示為主滲透在每一項(xiàng)具體過程中。在實(shí)踐中，我們還鼓勵(lì)學(xué)生混齡組隊(duì)研究，讓學(xué)生能相互支持，激發(fā)數(shù)學(xué)靈感。

（三）“X”：嵌入日常教學(xué)的“組件式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”

在日常教學(xué)中，適時(shí)嵌入一些直觀有趣的小實(shí)驗(yàn)，對(duì)于解決教學(xué)難點(diǎn)加深重點(diǎn)理解往往能起到事半功倍的效果。這些小實(shí)驗(yàn)花費(fèi)的時(shí)間不長(zhǎng)，一般在10分鐘左右?？梢允墙處熝菔緦?shí)驗(yàn)或者學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)。如在“角的認(rèn)識(shí)”中有一個(gè)學(xué)困點(diǎn)：角的大小比較（如圖3），比較∠1和∠2。小學(xué)數(shù)學(xué)教材，對(duì)角的描述是“由一點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形叫作角”。這說明角的兩條邊是射線，角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)。但是學(xué)生在理解角的時(shí)候，受視覺和面積概念的影響，以為角的大小是指角的兩邊夾角的區(qū)域大?。ㄈ鐖D中的涂色部分），因此往往會(huì)認(rèn)為∠2大。如何幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙呢？在教學(xué)中，我們做了一個(gè)小實(shí)驗(yàn)（如圖4）：在角的一邊上放一塊積木。怎樣操作，積木會(huì)滾下來？學(xué)生會(huì)說：轉(zhuǎn)動(dòng)一邊，積木就滾下來了;或者把積木放遠(yuǎn)一點(diǎn)，積木也會(huì)滾下來。

討論后，師生操作驗(yàn)證。對(duì)于第一種設(shè)想，轉(zhuǎn)動(dòng)一邊，積木果然滾下來了。對(duì)于第二種設(shè)想，在實(shí)驗(yàn)中把積木往上移，放開手，積木并沒有滾下來。學(xué)生很驚訝，要求延長(zhǎng)角的一邊，把積木再放遠(yuǎn)一點(diǎn)?？墒?，實(shí)驗(yàn)顯示，就算把積木放在最上邊，積木也沒有滾下來。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考：和第一個(gè)小實(shí)驗(yàn)相比，什么變了？什么沒變？

在交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：在第一個(gè)小實(shí)驗(yàn)中，轉(zhuǎn)動(dòng)角的一邊后，傾斜度變了，角變大了，積木滾下來了。在第二個(gè)實(shí)驗(yàn)中，積木只是沿著角的一邊往遠(yuǎn)處放，角的兩邊傾斜度并沒有改變，積木是不會(huì)滾下來的，所以這3個(gè)角相等。也就是說，要改變角的大小，可以轉(zhuǎn)動(dòng)角的邊，讓傾斜度改變，改變角的邊長(zhǎng)是不會(huì)改變傾斜度的，角的大小不變。

在這個(gè)小實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生通過動(dòng)手操作，觀察思考，把“斜度”和“角度”聯(lián)系進(jìn)來，體會(huì)到“角”的本質(zhì)是反映了一條直線相對(duì)另一條直線的傾斜度，從而對(duì)角的概念獲得直觀而深刻的領(lǐng)悟。

像這樣的小實(shí)驗(yàn)機(jī)動(dòng)靈活，嵌入在教學(xué)內(nèi)容中，融合了知識(shí)點(diǎn)，在操作中得感悟，突破認(rèn)知提升了數(shù)學(xué)理解水平。類似地，我們對(duì)每?jī)?cè)教材進(jìn)行盤點(diǎn)，為學(xué)習(xí)難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)了一些小實(shí)驗(yàn)，以第8冊(cè)為例，除了上面的“滾木塊（比較角）”，我們還設(shè)計(jì)了：低溫測(cè)量（認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)）、穿越紙板（觀察物體）、分?jǐn)?shù)片（分?jǐn)?shù)加減）、擺數(shù)板數(shù)條數(shù)塊（認(rèn)識(shí)小數(shù)）等組件式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

五、實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的展望

我們從2007年開始在小學(xué)高年級(jí)嘗試開設(shè)校本課程，2014年起在浙江省功勛教師張?zhí)煨⒌墓膭?lì)下，在“一課研究”創(chuàng)始人朱樂平老師的指導(dǎo)下，在小學(xué)各年段進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)教學(xué)，均獲得了令人欣喜的好評(píng)。同時(shí)，我們?cè)诤贾?、上海、重慶、成都、深圳、青島等20多個(gè)地市面向全國(guó)做了多次展示分享活動(dòng)，也在教育部卓越校長(zhǎng)領(lǐng)航工程研討會(huì)上作專門的展示與交流，均收到較好反響。隨著實(shí)踐的深入，我們認(rèn)為有更多的教學(xué)領(lǐng)域值得探索。

1.如何促進(jìn)心智成長(zhǎng)

隨著機(jī)器智能的迅速發(fā)展和深度應(yīng)用，知識(shí)的更新速度在加快，特別是那些事實(shí)清楚、規(guī)則明確的顯性知識(shí)，就算是步驟極其復(fù)雜的領(lǐng)域，如圍棋、氣象、數(shù)學(xué)證明等，機(jī)器都能深度學(xué)習(xí)，給出優(yōu)于人類學(xué)習(xí)的結(jié)果。在智能社會(huì)，學(xué)知識(shí)是機(jī)器的特長(zhǎng)，人與機(jī)器去爭(zhēng)機(jī)器的特長(zhǎng)意義不大。如果學(xué)習(xí)的重心逐漸從掌握知識(shí)轉(zhuǎn)移到促進(jìn)心智發(fā)展，那么實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)能不能在促進(jìn)學(xué)生心智成長(zhǎng)方面有所作為？知識(shí)可以傳授，心智只能靠經(jīng)歷磨煉才能成長(zhǎng)。實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)探索，是一種數(shù)學(xué)經(jīng)歷，學(xué)生在做實(shí)驗(yàn)的同時(shí)如何磨煉心智，如接受失敗、承擔(dān)責(zé)任、樂于合作、善于反思、長(zhǎng)時(shí)努力、傳遞快樂等值得我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

2.如何提升課程體驗(yàn)

在智能社會(huì)，學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)途徑將極大豐富。特別是近期因疫情而“被迫”離校學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，人們發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)程學(xué)習(xí)方便且有效。對(duì)于復(fù)學(xué)，只見家長(zhǎng)歡呼雀躍，不見孩子歸心似箭，不少學(xué)生更是樂不思“校”。顯而易見，學(xué)生對(duì)于在家學(xué)習(xí)的體驗(yàn)超過了學(xué)校學(xué)習(xí)。不難理解，如果以紙筆學(xué)習(xí)為主的課堂是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要場(chǎng)景，那么在家學(xué)習(xí)豈不是更愜意？那么，在改變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)方式方面，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)能不能有所作為？如在數(shù)學(xué)課中，至少在新授課中，實(shí)現(xiàn)“課課有實(shí)驗(yàn)，人人能動(dòng)手”，讓學(xué)生能親手操作以獲得“數(shù)學(xué)好玩”的快樂體驗(yàn);實(shí)驗(yàn)內(nèi)容有趣有味讓學(xué)生能在不斷嘗試后獲得“原來是這樣啊”的頓悟體驗(yàn);實(shí)驗(yàn)結(jié)果能讓學(xué)生獲得“數(shù)學(xué)真美”“數(shù)學(xué)真妙”的美妙體驗(yàn)。通過良好的活動(dòng)體驗(yàn)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)有趣味、數(shù)學(xué)有美味、數(shù)學(xué)有滋味，從而親近和信任數(shù)學(xué)。

3.如何變革學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

隨著教學(xué)改革的深入，對(duì)于學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)的內(nèi)容和范圍也在變化。對(duì)于雙基目標(biāo)，我們已經(jīng)有了包括紙筆測(cè)試在內(nèi)的多元評(píng)價(jià)方法。那么，對(duì)于“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”和“基本思想方法”的評(píng)價(jià)，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)有沒有可能提供一些有價(jià)值的樣例？比如實(shí)驗(yàn)操作題，不同于科學(xué)實(shí)驗(yàn)題，不是為了檢測(cè)實(shí)驗(yàn)步驟是否規(guī)范，實(shí)驗(yàn)方法是否符合規(guī)定要求，而是通過實(shí)驗(yàn)操作解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，從“行為—思維”中考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐能力，如求異思維、審辯思維、空間想象、邏輯推理、動(dòng)手能力，甚至好奇心、探究欲等。