周嫻

【摘要】除法是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念，有“等分除”和“包含除”兩種情形。部分學(xué)生在最初學(xué)習(xí)除法的概念時(shí)，往往分不清二者的區(qū)別，導(dǎo)致對(duì)除法概念理解不透、掌握不牢，使得“等分除”和“包含除”成為小學(xué)低學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)中感覺(jué)比較困惑的內(nèi)容。通過(guò)收集整理和分析學(xué)生在學(xué)習(xí)除法概念時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于讓學(xué)生動(dòng)手操作，經(jīng)歷“動(dòng)作表征——映像表征——符號(hào)表征”的完整學(xué)習(xí)過(guò)程，在“做”中建立數(shù)學(xué)概念。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);除法;等分除;包含除

除法是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念，也是小學(xué)生要掌握的基本技能。學(xué)生只有清楚掌握除法的含義，才能運(yùn)用除法這一數(shù)學(xué)概念去解決實(shí)際生活中出現(xiàn)的算法問(wèn)題。除法是小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容。由于年齡特點(diǎn)、認(rèn)知水平、思維特征等原因，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易出現(xiàn)一些問(wèn)題。筆者在教學(xué)中注意到有這樣一道題，學(xué)生普遍出現(xiàn)了分歧意見(jiàn)：

“18÷3表示將18平均分成（）份，每份是（）;還能表示18里面有（）個(gè)（）。”第一個(gè)含義，學(xué)生很容易理解，明確是等分除。第二個(gè)含義則對(duì)18里面包含（6）個(gè)（3）還是（3）個(gè)（6）感到模糊。根據(jù)乘法意義，學(xué)生認(rèn)為這兩個(gè)答案都可以。

出現(xiàn)以上問(wèn)題，關(guān)鍵在于學(xué)生沒(méi)有真正掌握“等分除”和“包含除”這兩種不同的含義，從而導(dǎo)致不能清楚區(qū)分“等分除”和“包含除”這兩種不同的情形。如果不及時(shí)厘清概念，遇到較復(fù)雜的乘除法應(yīng)用題時(shí)更會(huì)無(wú)從下手。

就這道題而言，筆者認(rèn)為，從“還”這個(gè)字上可以看出，題目要考察的是學(xué)生能否理解除法的兩種不同含義，掌握平均分的兩種不同的情形。因此，前面可以理解為“等分除”，后面則應(yīng)理解為“包含除”，從而明確答案應(yīng)該為18里面包含6個(gè)3。

一、教材內(nèi)容呈現(xiàn)

1.等分除法（二下人教版教材P13）

例題：把12個(gè)竹筍平均放在4個(gè)盤(pán)里，每盤(pán)放幾個(gè)？

算式：12（個(gè)）÷4（盤(pán)）= 3（個(gè)）

含義：把12個(gè)竹筍平均分成4份，求每份是幾個(gè)？

概念：已知把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每份是多少。

2.包含除法（二下人教版教材P14）

例題：20個(gè)竹筍，每4個(gè)放一盤(pán)，能放幾盤(pán)？

算式：20（個(gè)）÷4（個(gè)）= 5（盤(pán)）

含義：每份是4個(gè)，求20個(gè)里面包含幾個(gè)4？

概念：已知每份是多少，求可以分成幾份。

二、教學(xué)探索詳解

除法含義的教學(xué)是建立在“平均分”的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上。教材教授平均分的概念時(shí)用了這樣的例子：“把18個(gè)橘子平均分成6份，每份幾個(gè)？分一分”和“8個(gè)果凍，每2個(gè)一份，能分成幾份？分一分”。然后“做一做”練習(xí)對(duì)應(yīng)如下：

1.把10盒酸奶平均分成2份，每份（）盒。

2.擺一擺，填一填

（1）12根小棒，每2根一份，能分成（）份。

（2）12根小棒，每6根一份，能分成（）份。

3.圈一圈，填一填

16個(gè)杯子，每2個(gè)裝一盒，可以裝（）盒。

每4個(gè)裝一盒，可以裝（）盒。

每6個(gè)裝一盒，可以裝（）盒。

從中我們可以看出，以上多個(gè)例題和練習(xí)的設(shè)計(jì)都注重“分一分”“擺一擺”“填一填”“圈一圈”的操作活動(dòng)。之后，教師普遍會(huì)再增加“說(shuō)一說(shuō)”環(huán)節(jié)。練習(xí)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確平均分的操作過(guò)程存在著兩種不同的情形，由于兩種不同情形的平均分的操作過(guò)程不同、思考方式不同，相應(yīng)的除法算式的具體含義也就不同，這就有了“等分除”與“包含除”的不同。因此，教學(xué)中，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷平均分的操作過(guò)程并形成相應(yīng)的思考方式，還要讓學(xué)生在關(guān)注平均分的結(jié)果的過(guò)程中充分感知平均分的兩種不同情形及其共性，就是不論分得的結(jié)果是幾份，平均分得的每一份是同樣多的。

所以，在教學(xué)“平均分”的概念時(shí)，為了讓學(xué)生鞏固認(rèn)識(shí)“等分”與“包含”這兩種不同的平均分情況，教師就應(yīng)該重視動(dòng)作表征、圖像表征以及語(yǔ)言表征的轉(zhuǎn)化，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生充分開(kāi)展直觀操作活動(dòng)，通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、圈一圈、擺一擺等活動(dòng)積累經(jīng)驗(yàn)，形成“動(dòng)作表征”。同時(shí)，教師需要注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察操作活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)果，建立表象，逐步內(nèi)化，形成“圖像表征”，最后用語(yǔ)言表述“分什么”“怎么分”“分的結(jié)果”，明確“等分”和“包含”都是平均分，只是因?yàn)榉值姆绞讲煌硎玖藘煞N不同的含義。

比如，學(xué)生遇到困惑的這道題，筆者就用擺圓片并圈一圈、說(shuō)一說(shuō)的活動(dòng)來(lái)幫助學(xué)生加深理解這道除法算式的含義。

18÷3表示將18平均分成3份，每份是6個(gè)。

18÷3表示每3個(gè)一份，可以分6份。

學(xué)生從中體會(huì)到，同一個(gè)除法算式可以表示兩種含義，一個(gè)是等分除法，另一個(gè)是包含除法。

然后，筆者又給出兩道選擇題讓學(xué)生再次加深鞏固和辨析區(qū)分概念：

（1）求20里面有幾個(gè)4，列式為（? ?）。

① 4×5? ?② 20÷5? ?③ 20÷4

（2）表示把6個(gè)Δ平均分成2份，求每份是幾的圖是（? ? ）。

完成以上練習(xí)后，可以嘗試完成下面這道更開(kāi)放的題目，以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，并提升學(xué)生的思維能力。

教師可以讓學(xué)生根據(jù)自己對(duì)算式的理解，先明確是“等分除”還是“包含除”，然后說(shuō)一說(shuō)算式的含義，以及“怎么分”“分的結(jié)果”，最后再確定圈幾個(gè)為1份。比如，10÷2=5可以表示將10個(gè)海螺平均分成2份，每份是5個(gè)，那么圈5個(gè)為一份，圈2份，這是等分除;還可以理解為把10個(gè)海螺每2個(gè)一份，可以分5份，那么每2個(gè)圈為一份，圈5份，這就是包含除。

如此，由抽象的算式到直觀的畫(huà)圖，通過(guò)操作性學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使學(xué)生獲得認(rèn)知，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。