張薇

【摘要】對高中階段的數(shù)學(xué)解題教學(xué)環(huán)節(jié)，教師不僅要注重學(xué)生對解題方法的掌握，更要重視學(xué)生的解題策略與解題能力的變化，構(gòu)建集內(nèi)驅(qū)力、思維力于一體的數(shù)學(xué)解題教育模式，幫助學(xué)生在問題中收集信息，以最短的時間規(guī)劃解題思路.本文對如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力進(jìn)行探析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);運算能力;運算策略

運算指的是利用相關(guān)數(shù)學(xué)信息與數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解答的過程.大部分教師將運算定義為一個求解的數(shù)學(xué)流程，認(rèn)為運算活動只包含學(xué)生數(shù)學(xué)技能的綜合表達(dá)，對于運算活動的重視遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.在教學(xué)中，教師要圍繞學(xué)生的“內(nèi)驅(qū)力”開展計算教學(xué)活動，幫助學(xué)生形成主動計算的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，才能為學(xué)生運算能力的發(fā)展提供進(jìn)一步的支持.

一、應(yīng)用法則講計算，開展計算練習(xí)

計算法則是圍繞不同的數(shù)學(xué)問題演化而來的計算原則.在計算法則的推動下，學(xué)生能夠以專業(yè)、客觀的視角對有關(guān)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，進(jìn)而從數(shù)學(xué)問題的基本元素入手，對繁雜的數(shù)學(xué)計算進(jìn)行化簡.在高中數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)活動中，要想全面提升學(xué)生的運算能力，使其又快又準(zhǔn)地完成計算任務(wù)，教師就必須做好數(shù)學(xué)法則的應(yīng)用工作.基礎(chǔ)計算法則是調(diào)動學(xué)生的計算內(nèi)驅(qū)力的重要手段，更是培養(yǎng)學(xué)生運算能力的沃土.在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題、思考的過程中，教師必須強調(diào)基礎(chǔ)法則在計算教學(xué)環(huán)節(jié)中的應(yīng)用，夯實基礎(chǔ)，才能更有效地提升學(xué)生的計算效率.

在蘇教版數(shù)學(xué)“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一）”這部分內(nèi)容的教學(xué)中，四組公式的記憶對于學(xué)生來說是一個難點，教師切不可只呈現(xiàn)公式讓學(xué)生死記硬背.教師可以設(shè)計如下問題：（1）與角α終邊相同的角的位置有哪些情況？（2）對應(yīng)的角如何表示？（3）所求的三角函數(shù)值有何關(guān)系？為什么？通過討論，學(xué)生對角之間的關(guān)系有了更深刻的理解，會從以下幾個方面考慮三角函數(shù)值的關(guān)系：三角函數(shù)的定義或者三角函數(shù)線.在學(xué)生推導(dǎo)出四組公式后，教師可以追問：這四組公式能否由其中的三組推導(dǎo)出另外一組？從而在推導(dǎo)活動中加深學(xué)生對公式的理解.

對一些記憶困難的學(xué)生，教師可以再追問：這四組公式是對任意角α都成立的，我們該如何記憶它們呢？因為學(xué)生對銳角三角函數(shù)值比較熟悉，所以我們可以用特殊角來記憶：假設(shè)α為銳角，正負(fù)號取決于對應(yīng)角的象限以及三角函數(shù)值在該象限的正負(fù)號.就這樣，教師通過追問加深了學(xué)生的記憶與理解.

再以蘇教版教材中“兩角和差的正余弦”的新授課為例，當(dāng)“sin”“cos”等概念同時出現(xiàn)在解題活動中時，學(xué)生的解題思路無法向所學(xué)知識靠攏，解題效率就會隨之下降.以下列數(shù)學(xué)問題為例：求sin 25°cos 35°+cos 55°sin? 65°的值.部分學(xué)生在解題時一籌莫展，因為其對三角函數(shù)的理解停留在“sin? 60°”“cos 60°”等基礎(chǔ)概念當(dāng)中，面對公式中不曾提及的數(shù)值，學(xué)生很難進(jìn)行高效計算.教師可通過以下幾個問題對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：（1）這個式子從形式上與哪個公式比較相似？（2）區(qū)別在哪里？（3）難點是什么？能不能轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的問題？通過這幾個問題，學(xué)生會向已學(xué)的內(nèi)容靠攏，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式對原問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理：sin? 25°cos 35°+cos 55°sin? 65°可轉(zhuǎn)化為sin? 25°cos 35°+cos 25°sin? 35°，利用兩角和差的正余弦公式進(jìn)行計算，可將其轉(zhuǎn)化為“sin? 60°”，此時，問題的答案便呼之欲出了.在解題的過程中，教師應(yīng)重視學(xué)生對已學(xué)知識的運用，合理應(yīng)用兩角和差公式，才能幫助學(xué)生快速解決相關(guān)問題.

對于部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，雖然題目表述較為復(fù)雜，但教師如果在進(jìn)行計算指導(dǎo)活動的過程中引導(dǎo)學(xué)生嘗試對基礎(chǔ)定理、運算法則進(jìn)行合理應(yīng)用，追根溯源，后續(xù)的數(shù)學(xué)運算質(zhì)量便能得到一定的保障，學(xué)生的整體運算能力也會隨之提升.

二、圍繞方法求結(jié)果，規(guī)劃解題思路

數(shù)學(xué)問題從不同的角度考查著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識點的掌握程度.在圍繞有關(guān)問題開展教學(xué)指導(dǎo)活動的過程中，教師必須對學(xué)生的解題方法與解題思路進(jìn)行指導(dǎo)，構(gòu)建高效化、便捷化、多元化的教學(xué)模式，利用全新的解題結(jié)構(gòu)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.面對相對復(fù)雜的計算，學(xué)生如果只通過大量的計算推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)果，而不去思考如何去優(yōu)化計算，那么學(xué)生的計算內(nèi)驅(qū)力就會被復(fù)雜的計算要求所壓制，從而導(dǎo)致整體的解題效率降低.

教師可圍繞有關(guān)數(shù)學(xué)問題對學(xué)生的解題方法進(jìn)行指導(dǎo)，幫助學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識及數(shù)學(xué)探究活動等重新規(guī)劃解題思路.

例如，求函數(shù)y=x-1x2的值域的解題過程中，學(xué)生的普遍思路為：

令t=x-1，則y=t（t+1）2=tt2+2t+1=0，t=0，1t+1t+2，t≠0，

當(dāng)t>0時，0

教師可以追問：從形式上看，可以轉(zhuǎn)化為我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)嗎？

學(xué)生想到：令t=1x，則y=t-t2（t≠0），此時轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問題.

很明顯第二種方法更簡捷，但是由于思維慣性和缺乏觀察，學(xué)生首選的方法為第一種.對于學(xué)生來說，當(dāng)其解題經(jīng)驗十分豐富，已經(jīng)獲得了一定的解題經(jīng)驗與解題方法時，教師可要求學(xué)生對自身的解題技能進(jìn)行重新整理，利用已掌握的數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)問題，完成解題互動.

換元是高中解題教學(xué)活動中較為常見的一種解題方式，合理應(yīng)用換元法，能夠幫助學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為單一的數(shù)學(xué)問題，并依靠新構(gòu)建的“元”來提升解題效率.但在換元的過程中，學(xué)生可能會出現(xiàn)關(guān)鍵信息遺漏、解題要求遺漏等問題.對此，教師應(yīng)對學(xué)生的有關(guān)解題短板投入相應(yīng)的重視，依靠對換元法的合理應(yīng)用，挖掘?qū)W生的解題內(nèi)驅(qū)力，使其在解答數(shù)學(xué)問題的過程中得到更高的成就感，進(jìn)而提升解題效率.

在利用換元法解題的過程中，學(xué)生必須遵循以下原則：1.題干要求不得遺漏;2.題目信息不得遺漏;3.換元之后必須重新書寫題目中的被換元部分，避免解題錯誤.強調(diào)換元準(zhǔn)則，才能提高換元計算的精確性.以蘇教版數(shù)學(xué)教材中函數(shù)問題的有關(guān)求解為例，在這一單元的例題中，復(fù)雜的題干與值域相關(guān)問題同時出現(xiàn)，使學(xué)生的解題思路極易被擾亂.以下列問題為例：已知函數(shù)f（x）=3x-13x+1，是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域為k3m，k3n？若存在，求實數(shù)k的取值范圍.該問題可以等價為方程3x-13x+1=k3x有兩個不等實數(shù)根.但是學(xué)生的視線很容易被指數(shù)干擾，對此，教師可以用以下問題引導(dǎo)學(xué)生：（1）這個形式比較復(fù)雜，如何轉(zhuǎn)化為我們熟悉的較為簡單的方程？（2）該方程有何特點？依靠換元，轉(zhuǎn)化為方程t-1t+1=kt，即t2-（k+1）t-k=0在t∈（0，+∞）上有兩個不等實根，整體的解題效率更加高效.本題的難點在于問題的等價轉(zhuǎn)換.