陸海峰，曹嘉琨，郭曉鐳，劉海峰

（華東理工大學(xué)上海煤氣化工程技術(shù)研究中心，上海 200237）

引 言

料倉(cāng)下料是工業(yè)環(huán)節(jié)中的重要操作單元，受限于粉體性質(zhì)和流動(dòng)過(guò)程的復(fù)雜性，下料過(guò)程中粉體的流動(dòng)及顆粒質(zhì)量流率預(yù)測(cè)一直是粉體下料研究中的難點(diǎn)[1-5]。近年來(lái)眾多學(xué)者圍繞顆粒下料流率預(yù)測(cè)開(kāi)展大量工作。Beverloo方程[6]是應(yīng)用最廣泛的顆粒下料流率預(yù)測(cè)模型，但是該模型適用于平底筒倉(cāng)和粗顆粒，在細(xì)顆粒粉體的流率預(yù)測(cè)上并不具備良好的適應(yīng)性。Weir[7]將Beverloo方程推廣到錐形料倉(cāng)內(nèi)的下料過(guò)程，但仍然只適用于粒徑較大的非黏性顆粒體系。Barletta等[8]發(fā)現(xiàn)，細(xì)顆粒下料時(shí)在料斗出口附近會(huì)產(chǎn)生負(fù)壓力梯度，通過(guò)引入氣壓梯度項(xiàng)修正了傳統(tǒng)的粉體下料預(yù)測(cè)模型。但壓力梯度的獲得依賴于對(duì)料倉(cāng)出口附近氣相壓力的高精度測(cè)量，實(shí)際操作中具有一定難度。Datta等[9]利用離散元方法(DEM)研究料倉(cāng)中的顆粒流動(dòng)，通過(guò)對(duì)每個(gè)顆粒的位置和速度跟蹤分析，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)Beverloo方程在粉體受限流動(dòng)條件下無(wú)法精確預(yù)測(cè)下料流率。Brown[10]根據(jù)能量最小理論在Beverloo方程的基礎(chǔ)上添加了對(duì)錐形料倉(cāng)半錐角的修正，建立的Brown and Richards模型降低了預(yù)測(cè)誤差。但這一模型在描述細(xì)顆粒粉體流動(dòng)時(shí)仍然存在局限性，表現(xiàn)為流率預(yù)測(cè)值偏大。Lu等[11]認(rèn)為顆粒間作用力是導(dǎo)致粉體下料的差異性的重要原因，通過(guò)測(cè)量顆粒粗糙度對(duì)顆粒間作用力進(jìn)行有效校正。對(duì)文獻(xiàn)分析表明，Brown and Richards模型是目前描述粉體料倉(cāng)下料最常用的模型之一，但由于未能充分考慮細(xì)顆粒之間的強(qiáng)相互作用，導(dǎo)致模型預(yù)測(cè)值偏高。如何正確獲得顆粒間作用力并有效引入傳統(tǒng)流率預(yù)測(cè)模型，關(guān)于這方面的報(bào)道較少。

鑒于此，本文一方面采用剪切測(cè)試結(jié)合摩爾應(yīng)力圓理論獲得床層拉伸應(yīng)力，繼而通過(guò)Rumpf方程獲得顆粒間作用力，規(guī)避了顆粒間作用力測(cè)量困難這一難題；另一方面，引入Bond數(shù)對(duì)粉體床層空隙率進(jìn)行修正，從而建立了耦合顆粒間作用力的粉體流率預(yù)測(cè)模型。為實(shí)現(xiàn)上述構(gòu)想，本文以不同粒徑的玻璃微珠(gb)、流化床裂化催化劑顆粒(fcc)、褐煤(lignite)和聚氯乙烯顆粒(pvc)作為實(shí)驗(yàn)物料開(kāi)展粉體物性、流動(dòng)性表征及重力下料實(shí)驗(yàn)，以揭示細(xì)顆粒粉體流動(dòng)的基本特性，并將獲得的關(guān)鍵參數(shù)用于建模分析。

1 實(shí)驗(yàn)物料及裝置

1.1 實(shí)驗(yàn)物料

本實(shí)驗(yàn)選取不同粒徑的玻璃微珠顆粒(gb-a、gb-b、gb-c)、流 化 床 裂 化 催 化 劑 顆 粒(fcc)、褐 煤(lignite)和聚氯乙烯顆粒(pvc)作為實(shí)驗(yàn)物料。實(shí)驗(yàn)前對(duì)物料做干燥處理，利用紅外水分測(cè)試儀(Sartorius MA150)測(cè)量干燥后的物料水分均在0.5%以下，從而忽略了水分對(duì)粉體流動(dòng)的影響。借助馬爾文激光粒度儀(Malvern 2000)對(duì)樣品的粒徑大小與分布進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如圖1所示。

圖1 粒徑累積分布Fig.1 Cumulative particle size distribution

表1給出實(shí)驗(yàn)物料的物性參數(shù)，包括粉體表面積平均粒徑(dsv)、體積平均粒徑(d43)、分布寬度Span指數(shù)、堆積密度(ρb)和顆粒密度(ρp)。由表可見(jiàn)，全部樣品的平均粒徑都在150μm以下，特別是玻璃微珠和流化床裂化催化劑顆粒粒徑小于100μm。對(duì)于這種細(xì)顆粒粉體，顆粒間相互作用明顯，對(duì)粉體流動(dòng)具有顯著影響。從物料的d10、d50及d90可以看出gb-c、lignite和pvc含有較多粗顆粒。

表1 實(shí)驗(yàn)物料物性參數(shù)Table 1 Physical properties of experimental materials

1.2 實(shí)驗(yàn)裝置

本文借助FT4粉體流變儀(Freeman Technology Corporation)的環(huán)剪單元開(kāi)展粉體剪切測(cè)試。借助實(shí)驗(yàn)室自主搭建的粉體料倉(cāng)下料平臺(tái)開(kāi)展下料實(shí)驗(yàn)。下料實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，由錐形有機(jī)玻璃料倉(cāng)、支架、電子秤、計(jì)算機(jī)、斜槽和接料盤組成。有機(jī)玻璃料倉(cāng)的半錐角為30°，出口直徑為13 mm。有機(jī)料斗內(nèi)壁面光滑，料斗材質(zhì)對(duì)粉體流動(dòng)性的影響可忽略不計(jì)。實(shí)驗(yàn)前先向料倉(cāng)內(nèi)填入指定質(zhì)量的物料，然后打開(kāi)料倉(cāng)出口的滑動(dòng)閥，倉(cāng)內(nèi)物料沿斜槽滑落到接料盤中完成下料，連接計(jì)算機(jī)的電子秤實(shí)時(shí)采集整個(gè)下料過(guò)程中料倉(cāng)內(nèi)粉體質(zhì)量值。電子秤量程和精度分別為15 kg和0.1 g，采樣頻率為8 Hz。根據(jù)離散點(diǎn)繪制的下料曲線計(jì)算得到物料的質(zhì)量流率。

圖2 下料實(shí)驗(yàn)裝置Fig.2 Discharging device

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 粉體流動(dòng)性表征

FT4的環(huán)剪測(cè)試是基于Jenike理論發(fā)展起來(lái)的[12-13]。首先將剪切環(huán)中堆積的物料通過(guò)漿葉攪拌均勻，消除之前的應(yīng)力歷史，然后利用實(shí)心壓縮頭將測(cè)試樣品預(yù)壓縮至穩(wěn)定狀態(tài)并切分處理。環(huán)剪頭在設(shè)定的法向應(yīng)力下開(kāi)始環(huán)剪，剪切頭以一定轉(zhuǎn)動(dòng)速率對(duì)表面床層環(huán)剪，葉片受到的應(yīng)力值不斷上升，直至床層破裂葉片受到的應(yīng)力驟降，即可獲得該應(yīng)力下床層的剪切應(yīng)力值。

由于粉體在倉(cāng)內(nèi)下料過(guò)程中處于低應(yīng)力狀態(tài)，為確保剪切條件與顆粒流動(dòng)的真實(shí)狀態(tài)相近，有必要開(kāi)展低應(yīng)力下的剪切測(cè)試。但在實(shí)際操作過(guò)程中，當(dāng)壓應(yīng)力低于某一極限值后，測(cè)試結(jié)果往往不可靠。因此，目前較常見(jiàn)的做法是在不同預(yù)壓縮應(yīng)力條件開(kāi)展剪切測(cè)試，并將測(cè)試結(jié)果外推至零，從而獲得零應(yīng)力條件下的測(cè)試參數(shù)[14]。本實(shí)驗(yàn)分別在3、6、9 kPa三個(gè)不同預(yù)壓縮應(yīng)力下開(kāi)展剪切實(shí)驗(yàn)。圖3以6 kPa預(yù)壓縮應(yīng)力為例，給出了粉體的剪切測(cè)試曲線。

圖3 預(yù)壓縮6 kPa剪切曲線Fig.3 Shear curves under pre-compressed 6 kPa

由圖可見(jiàn)，六種物料的正應(yīng)力(σ)增大床層的剪應(yīng)力(τ)增大，且線性相關(guān)度較好。因此，可采用庫(kù)侖定律[12]來(lái)描述粉體正應(yīng)力與剪應(yīng)力之間的關(guān)系，即

值的注意的是，褐煤在6 kPa與9 kPa條件下獲得的內(nèi)聚力小于零，因此本文僅考慮其在3 kPa預(yù)壓縮應(yīng)力下的測(cè)試結(jié)果。分析不同預(yù)壓縮應(yīng)力條件的粉體剪切測(cè)試參數(shù)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)聚力是與預(yù)壓縮應(yīng)力有關(guān)的變量，兩者具有較好的線性度，通過(guò)對(duì)3、6、9 kPa條件下的結(jié)果線性外推可得到零應(yīng)力下的床層內(nèi)聚力；內(nèi)摩擦角幾乎不受預(yù)壓縮應(yīng)力的影響，故取三種測(cè)試條件結(jié)果的平均值(表2)。

由圖4可知，粉體床層拉伸應(yīng)力σt是屈服軌跡與壓應(yīng)力軸的交點(diǎn)。因此，在獲得零應(yīng)力下的粉體內(nèi)聚力與內(nèi)摩擦角后，床層拉伸應(yīng)力σt可以由式(2)獲得。

圖4 莫爾圓和屈服軌跡[15]Fig.4 Mohr circlesand yield locus

2.2 粉體下料預(yù)測(cè)

料斗下料是粉體領(lǐng)域的重點(diǎn)研究問(wèn)題，粉體的流動(dòng)性和料斗的結(jié)構(gòu)參數(shù)均會(huì)對(duì)料斗下料流率產(chǎn)生重要影響。在本實(shí)驗(yàn)搭建的下料實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上對(duì)六種物料進(jìn)行重力下料實(shí)驗(yàn)，下料流率結(jié)果如圖5所示。玻璃微珠的下料流率最大，且三種粒徑顆粒的下料流率相近，在40 g/s左右；fcc、褐煤和pvc的下料流率較小，在15～20 g/s范圍內(nèi)。玻璃微珠的密度較大，在重力推動(dòng)下粉體流動(dòng)順暢，因此下料流率較大。fcc顆粒的孔隙結(jié)構(gòu)發(fā)達(dá)，褐煤顆粒形狀粗糙不規(guī)則，pvc顆粒密度低，最終導(dǎo)致下料流率較低。

圖5 重力下料質(zhì)量流率Fig.5 Mass flow rate of gravity discharging

目前針對(duì)錐形料斗，粉體下料流率預(yù)測(cè)使用最廣泛且認(rèn)可度最高的模型為Brown and Richards模型[6,10]

式中，C1和k1是經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，C1取決于內(nèi)摩擦角，一般取0.52；常數(shù)k1修正粉體下料在出口處產(chǎn)生的空環(huán)效應(yīng)，對(duì)于球形顆粒k1一般取1.6[16-17]。ε為床層自然堆積時(shí)的空隙率

圖6為六種物料在重力條件下下料流率實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比。從表中數(shù)據(jù)可以看出，傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)的粉體下料流率均大于實(shí)驗(yàn)值。特別地，玻璃微珠預(yù)測(cè)誤差相對(duì)較小，gb-a和gb-b的誤差為15%左右，gb-c的誤差最大為31%；pvc誤差為53%，而fcc與褐煤分別達(dá)到60%和67%。

圖6 下料流率實(shí)驗(yàn)值與Brown and Richards模型預(yù)測(cè)值對(duì)比Fig.6 Comparison of mass flow rate between experiments and prediction from Brown and Richardsmodel

2.3 細(xì)顆粒下料過(guò)程分析

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)顆粒下料預(yù)測(cè)模型的計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值之間有很大的誤差，這與文獻(xiàn)中討論的結(jié)果一致[8,18-19]。造成這種現(xiàn)象主要是因?yàn)榧?xì)顆粒粉體的顆粒間相互作用強(qiáng)[20]，阻礙了粉體下料流動(dòng)。Lu等[21]研究表明，隨著顆粒尺寸降低重力不再是關(guān)鍵性作用，細(xì)顆粒間作用開(kāi)始顯著。Brown and Richards模型對(duì)大粒徑粉體下料具有很好的預(yù)測(cè)性，但由于當(dāng)顆粒粒度降低后顆粒間的相互作用不再能被忽略[22]，該模型不再具有良好的適應(yīng)性。不同粉體顆粒間的作用強(qiáng)度不同，對(duì)下料流動(dòng)造成的差異也不相同[11,17]，因此非常有必要正確獲取顆粒間作用力，并用來(lái)描述其對(duì)粉體下料流率的影響。

顆粒間常見(jiàn)的作用包括液橋力[23]、靜電力[24-25]、范德華作用力[26]等。在本文的實(shí)驗(yàn)體系下，不存在高壓電場(chǎng)、液體以及水汽的環(huán)境，液橋力主要存在于濕顆粒之間，其形成的臨界濕度為60%～80%。本文在開(kāi)展實(shí)驗(yàn)之前，首先將所用的顆粒在105℃條件下做烘干處理，保證粉體的水分含量在0.5%以下，因此，顆粒間液橋力可忽略。相互接觸的顆粒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生靜電力。但在粉體單元操作中，例如料倉(cāng)下料，顆粒間的接觸形式、接觸次數(shù)、接觸時(shí)間、接觸面積等都很難定量，從而難以準(zhǔn)確定量計(jì)算顆粒間的靜電力。并且很多實(shí)驗(yàn)和理論表明，除具有強(qiáng)帶電性的高分子顆粒外，顆粒間的靜電力遠(yuǎn)小于顆粒間的范德華力和毛細(xì)力。特別地，本實(shí)驗(yàn)還對(duì)實(shí)驗(yàn)料斗做接地處理，盡量移除粉體顆粒在流動(dòng)過(guò)程中相互摩擦產(chǎn)生的靜電，因此，靜電力也可忽略。綜上，本文研究工作中，顆粒間作用力以范德華力為主，所以本文主要考慮顆粒間的范德華力作用[15]。范德華力產(chǎn)生的原因是實(shí)驗(yàn)物料不具有極性，所以顆粒在分子級(jí)別上會(huì)產(chǎn)生瞬間的偶極作用。利用London-van der Waals引力勢(shì)能和能量疊加原理，Hamaker[26]通過(guò)積分構(gòu)成兩顆粒所有分子或原子間的引力勢(shì)能計(jì)算出兩顆粒之間的范德華力公式。但粉體由于具有粒徑分布，且表面粗糙度等都會(huì)對(duì)理想化的模型計(jì)算值產(chǎn)生較大影響。因此在實(shí)際過(guò)程中，該模型具有一定局限性。另一種有效的途徑是，利用剪切測(cè)試手段獲得床層拉伸應(yīng)力，并通過(guò)Rumpf方程計(jì)算可以得到有效的顆粒間作用力[27]。Rumpf方程提出的模型適用假設(shè)為：體系內(nèi)顆粒為球形而且隨機(jī)堆積；顆粒之間的接觸面積相較于顆粒的表面積足夠小，接觸面可以假設(shè)為接觸點(diǎn)；接觸點(diǎn)均勻分布于顆粒表面；堆積結(jié)構(gòu)各向同性。Rumpf方程為[28]

顆粒間作用力主要影響粉體之間的接觸方式，導(dǎo)致床層結(jié)構(gòu)差異，并體現(xiàn)在空隙率ε上[29]。Bond數(shù)(Bog)作為無(wú)量綱數(shù)可以用來(lái)衡量粉體顆粒間作用力強(qiáng)度，表示粉體流動(dòng)性的差異及堆積特性。其表達(dá)式為顆粒黏附力與顆粒體積力的比值，即

Wg指作用在顆粒上的任何體積力，本實(shí)驗(yàn)中指顆粒的重力。細(xì)顆粒自然堆積過(guò)程中，主要受到顆粒間作用和顆粒體積力的作用。重力作為推動(dòng)力使床層更加密實(shí)，而顆粒間作用起到阻礙作用使顆粒相互分離，堆積更加松散。最終床層的堆積空隙是由重力與顆粒間作用競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果，當(dāng)Bog＜1時(shí)顆粒間作用力相比重力作用占比小，顆粒主要受重力作用，顆粒間作用對(duì)粉體流動(dòng)的影響小可忽略不計(jì)，床層自然堆積空隙率變化非常緩慢；而當(dāng)Bog＞1時(shí)顆粒主要受顆粒間作用，床層空隙隨顆粒間黏附性質(zhì)迅速增加，故Bond數(shù)被認(rèn)為是影響床層孔隙狀態(tài)的決定性因素。

Yu等[30]根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，提出了利用Bond數(shù)對(duì)床層的空隙率進(jìn)行修正

其中，ε0指沒(méi)有顆粒間作用，只依賴于顆粒的重力在自然堆積時(shí)產(chǎn)生的床層空隙率。該經(jīng)驗(yàn)公式主要適用于顆粒粒徑小于100μm的干燥細(xì)顆粒粉體堆積下的空隙率計(jì)算。Yu等[30]利用玻璃微珠討論空隙率與顆粒間作用的關(guān)系，認(rèn)為松散堆積狀態(tài)下ε0為0.4，擬合參數(shù)m=2.954，n=0.156。Lu等[11]同樣利用該參數(shù)，在pvc物料體系下同樣具有良好的適應(yīng)性。故本文在建模過(guò)程中也引用上述參數(shù)值。

值得注意的是，為保證結(jié)果的正確性，在式(5)應(yīng)采用修正后的空隙率ε和零應(yīng)力條件下的拉伸應(yīng)力σt。因此，聯(lián)立求解式(5)～式(7)，最終獲得修正后空隙率ε'，顆粒間作用力Fvdw和Bond數(shù)。

從圖7可以看出，在顆粒間作用的影響下床層結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，下料過(guò)程中床層的空隙率大于自然堆積狀態(tài)下的空隙率。這主要是細(xì)顆粒間強(qiáng)作用力的排斥作用導(dǎo)致的，顆粒在床層中重新排列，間隙增大降低堆積效率，造成物料在出口時(shí)的床層密度降低，從而降低下料流率。

圖7 空隙率修正對(duì)比Fig.7 Voidage correction comparison

根據(jù)式(3)～式(7)，可建立的耦合顆粒間作用的粉體下料流率預(yù)測(cè)模型如下

將實(shí)驗(yàn)物料的物性參數(shù)代入式(8)中計(jì)算下料流率Ws，下料實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比如圖8所示。

圖8 下料流率實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比Fig.8 Comparison of mass flow rate between measured and predicted value

傳統(tǒng)Brown and Richards模型適用于粗顆粒下料流率預(yù)測(cè)，而式(8)關(guān)于細(xì)顆粒下料流率預(yù)測(cè)的修正模型是在此基礎(chǔ)上考慮細(xì)顆粒間相互作用的影響，并嵌入Brown and Richards模型中獲得的。當(dāng)顆粒粒徑較大，同時(shí)顆粒相互間作用微弱時(shí)，式(8)將退回至Brown and Richards模型依然適用；而當(dāng)粒徑降低顆粒間相互作用顯著時(shí)，影響床層空隙率增大，此時(shí)利用新提出的修正模型仍舊具有良好的適應(yīng)性，故式(8)對(duì)粗顆粒及細(xì)顆粒均有一定的適應(yīng)性。因此式(8)主要適用于干燥體系，顆粒間作用以范德華力為主的顆粒下料流率預(yù)測(cè)。

從預(yù)測(cè)結(jié)果看，修正后的下料流率顯著改善了傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)偏差大的弊端。特別對(duì)于lignite和pvc粉體，從傳統(tǒng)方程偏差的60%左右降低控制在3%以內(nèi)，fcc與pvc顆粒預(yù)測(cè)誤差分別降低至12%和4%，褐煤顆粒誤差從67%降低至僅為0.7%。同時(shí)，玻璃微珠gb-c的誤差從31%降至3%。同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)，玻璃微珠gb-a和gb-b兩種粉體誤差較大，這是由于對(duì)兩種顆粒間作用的過(guò)度修正導(dǎo)致的。實(shí)驗(yàn)通過(guò)剪切測(cè)試的手段計(jì)算獲得這兩種粉體顆粒間作用力的精度上存在一定誤差，同時(shí)粉體的粒徑分布與Rumpf方程假設(shè)中的單分散體系存在出入，故最終導(dǎo)致gb-a和gb-b兩種粉體在利用式(8)計(jì)算下料流率時(shí)產(chǎn)生一定的偏差。

3 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)采用玻璃微珠，流化床裂化催化劑顆粒、褐煤和聚氯乙烯顆粒為原料，開(kāi)展了粉體流動(dòng)性測(cè)試及料倉(cāng)下料研究，主要結(jié)論如下。

(1)剪切測(cè)試結(jié)果表明，六種測(cè)試粉體剪切應(yīng)力均隨正應(yīng)力的增大而增大，且具有較好的線性相關(guān)度。通過(guò)對(duì)3、6、9 kPa條件下的結(jié)果線性外推獲得零應(yīng)力下的床層內(nèi)聚力并計(jì)算物料的床層拉伸應(yīng)力。

(2)重力下料實(shí)驗(yàn)中玻璃微珠的下料流率大于fcc、lignite和pvc粉體。受細(xì)顆粒間作用影響，粉體錐形有機(jī)玻璃料斗重力下料實(shí)驗(yàn)結(jié)果與傳統(tǒng)Brown and Richards模型預(yù)測(cè)結(jié)果之間存在較大偏差，對(duì)于黏附性粉體誤差高達(dá)60%左右。

(3)本文利用剪切測(cè)試結(jié)合摩爾應(yīng)力圓理論獲得床層拉伸應(yīng)力，并借助Rumpf方程進(jìn)一步獲取顆粒間作用力，進(jìn)而采用Bond數(shù)對(duì)粉體床層空隙率進(jìn)行修正。建立了耦合顆粒間作用力的粉體流率模型，可有效預(yù)測(cè)偏差，其中g(shù)b-c、fcc、lignite與pvc顆粒偏差分別從31%、60%、67%、53%降低至3%、12%、0.7%和4%。

符號(hào)說(shuō)明

Bog——Bond數(shù)

C——內(nèi)聚力，kPa

C0——零應(yīng)力下內(nèi)聚力，kPa

C1——Beverloo經(jīng)驗(yàn)常數(shù)

D0——料斗出口直徑，m

dsv——表面積平均粒徑，μm

d10——體積分?jǐn)?shù)為10%的粒徑，μm

d43——體積平均粒徑，μm

d50——體積分?jǐn)?shù)為50%的粒徑，μm

d90——體積分?jǐn)?shù)為90%的粒徑，μm

Fvdw——范德華力，N

g——重力加速度，m/s2

k1——Beverloo經(jīng)驗(yàn)常數(shù)

m——擬合參數(shù)

n——擬合參數(shù)

Span——粒徑分布寬度指數(shù)

W——下料流率實(shí)驗(yàn)值，kg/s

Wg——單位面積上顆粒重力，N

Ws——下料流率預(yù)測(cè)值，kg/s

α——料斗半錐角，（°）

ε——自然堆積床層空隙率

ε'——修正后床層空隙率

ε0——隨機(jī)堆積床層空隙率

ρb——堆積密度，kg/m3

ρp——真實(shí)密度，kg/m3

σ——施加床層的正應(yīng)力，kPa

σt——床層顆粒間拉伸應(yīng)力，kPa

τ——剪切應(yīng)力，kPa

φ——內(nèi)摩擦角，（°）

φ0——零應(yīng)力下內(nèi)摩擦角，（°）