管景強

【摘要】在小學(xué)階段，適當應(yīng)用科學(xué)歸納推理有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)、發(fā)展邏輯思維能力、培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。本文結(jié)合實例談一談如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用科學(xué)歸納推理，讓數(shù)學(xué)歸納推理做到合“理”。

【關(guān)鍵詞】歸納 推理 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用

一、什么是科學(xué)歸納推理

歸納推理是從一類對象中部分對象具有的某種屬性而推出這類對象全部都具有該屬性的推理方法。歸納推理分完全歸納推理和不完全歸納推理。不完全歸納推理分為枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理。枚舉歸納推理借助于事物外部的、表面的聯(lián)系做出的一般性結(jié)論，不揭示部分對象與其屬性之間的因果聯(lián)系;而科學(xué)歸納推理則是根據(jù)一類對象中部分對象與其屬性之間的因果聯(lián)系，推出這類對象全部都具有該屬性的推理方法?？茖W(xué)歸納推理的特點在于揭示了考察對象和屬性之間的因果聯(lián)系，并以此作為依據(jù)而得出結(jié)論。

例如：在教學(xué)同分母分數(shù)加減法時，通過圖形驗證使學(xué)生得到“5/8+2/8=7/8”“3/5-2/5=1/5”，再通過圖形驗證計算這類同分母分數(shù)加減法的算式，然后歸納得到同分母分數(shù)加減法的計算法則：同分母分數(shù)相加減，分母不變，分子相加減。由有限的例子推出一般的結(jié)論，這一過程用到了枚舉歸納推理。但如果結(jié)合圖形講清“5/8+2/8=7/8”是因為“5個1/8加上2個1/8是（5+2）個1/8，也就是7/8”“3/5-2/5=1/5是因為“3個言減去2個1/5是（3-2）個1/5，也就是1/5”，由此來揭示所考察的對象“兩個同分母分數(shù)相加或相減”，所具有的屬性“分母不變，分子相加減”之間的因果聯(lián)系，則運用了科學(xué)歸納推理。

二、為何要應(yīng)用科學(xué)歸納推理

一是應(yīng)用枚舉歸納推理教學(xué)時，結(jié)論的可靠性與所研究對象的數(shù)量和代表性有關(guān)，需要通過大量的交流活動，讓對象的數(shù)量和覆蓋面變得更廣大，這樣才能提高結(jié)論的可靠性。理論上，不論有多少特例支持結(jié)論都不能認為這個結(jié)論正確，所以枚舉歸納推理的結(jié)論是或然的。波利亞就曾指出：“不論多少試驗性的檢驗都不足以證明它一定可靠?！?/p>

二是科學(xué)歸納推理則力求做到“一葉知秋”，通過研究某些例子，揭示對象與其屬性之間的因果聯(lián)系，甚至考察的對象哪怕只有一個時，也可以得到較為可靠的結(jié)論。在運用科學(xué)歸納推理時，對于每一個例證都要理解對象與屬性間的因果聯(lián)系，這就要求我們必須深入問題，弄清問題的實質(zhì)。如在比較詈和7/11這兩個分數(shù)的大小時，有學(xué)生是這樣比較的：將這兩個分數(shù)的分子和分母交叉相乘，5×11=55，7×8=56，55<56，所以5/8<7/11。這名同學(xué)還例舉了其他很多的例子來證明這種方法是可行的。那么，這樣比較的依據(jù)是什么？實質(zhì)在哪里？這就有必要讓學(xué)生弄清楚。可以讓學(xué)生先將這兩個分數(shù)用通分的辦法比較一下：5/8=55/88，7/11=56/88，55/88<56/88，所以5/8<7/11。再讓學(xué)生比較兩種方法的應(yīng)用過程，不難發(fā)現(xiàn)交叉相乘后的55其實指的是55個1/88，56其實指的是56個1/88，我們只是把這里相同的分數(shù)單位1/88省略了，原來交叉相乘的比較方法實質(zhì)上就是通分！相信學(xué)生此時對于交叉相乘比較法和通分比較法之間的聯(lián)系會有更深刻的認識。所以說在小學(xué)階段應(yīng)用科學(xué)歸納推理，是有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)的。

科學(xué)歸納推理客觀上為學(xué)生提供了思維訓(xùn)練的“舞臺”，其在推理證明時所涉及的材料多是具體和形象的，推理過程中的一些思考方法和推理能力，也會被遷移到較為抽象的邏輯推理證明中。在上面交叉相乘比較分數(shù)大小的例子中，具體的推理過程還可以逐步進行抽象。比如，可以用b/a和d/c表示相比較的兩個分數(shù)，通分后分別是b×c/a×c和d×a/a×c，接下來就可以比較b×c和d×a的大小。這樣可以更好地促進學(xué)生向抽象邏輯思維過渡，使學(xué)生的邏輯思維能力得到主動的發(fā)展。

基于數(shù)學(xué)推理嚴密的邏輯性，通過科學(xué)歸納推理活動，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所培養(yǎng)的嚴謹精神將會讓學(xué)生受用終生。

三、如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用科學(xué)歸納推理

科學(xué)歸納推理在推理時需要關(guān)注每一個判斷的理由和依據(jù)，通過分析對象與屬性之間的因果聯(lián)系，對結(jié)論的合理性做出有說服力的說明。小學(xué)階段，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)命題都可以使用科學(xué)歸納推理得出結(jié)論的。

1.通過現(xiàn)實情境來明“理”

在教學(xué)“加法結(jié)合律”時，學(xué)生結(jié)合情境列出了不同的算式（28+17）+23和28+（17+23）（如圖1）。除通過計算讓學(xué)生得出結(jié)果相等外，還要讓學(xué)生結(jié)合情境思考：第一道算式先求跳繩人數(shù)，第二道算式先求女生人數(shù)，但最后都是求跳繩和踢毽子的總?cè)藬?shù)，本質(zhì)上都是求三個加數(shù)的和。學(xué)生再尋找現(xiàn)實情境中的例子，利用具體情境進行解釋，理解加法結(jié)合律的意義，進行科學(xué)歸納推理：“三個數(shù)相加時，無論先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，最后求的都是這三個數(shù)的和?！边@樣通過現(xiàn)實情境來明“理”遠比列舉單調(diào)的數(shù)學(xué)算式要深刻許多。此時，再進行符號化抽象出加法結(jié)合律的字母表達式（a+b）+c=a+（b+c）就水到渠成了。

2.借助幾何圖形來明“理”

同樣是運算律，乘法分配律教學(xué)則可借助幾何圖形進行科學(xué)歸納推理（如圖2）。

先讓學(xué)生來求大長方形面積，如果合起來算，大長方形長是（2+5），寬是4，面積是（2+5）×4;如果分開算，左、右兩個長方形的面積分別是2×4和5×4，則大長方形的面積就是2×4+5×4。很明顯這道算式求得的都是大長方形的面積，所以（2+5）×4=2×4+5×4，反之也成立。借助圖形，學(xué)生容易想到乘法分配律中，相同乘數(shù)可看作兩個長方形相同邊的長度，而相加的另兩個數(shù)則是兩個長方形不相等邊的長度。此時，抽象出乘法分配律的字母表達式（a+b）×c=a×c+b×c后，再結(jié)合上圖，讓學(xué)生說說a、b、c在圖中各表示什么，加深理解。

3.建立知識聯(lián)系來明“理”

教學(xué)“分數(shù)的基本性質(zhì)”時，先通過兩道例題得出1/3=2/6=3/9與1/2=2/4=4/8=8/16，接著引導(dǎo)學(xué)生觀察1/3=2/6=3/9與2/4=4/8=8/16，接著引導(dǎo)學(xué)生觀察和計算例子中分數(shù)的分子和分母是怎樣變化的，在充分交流的基礎(chǔ)上得出分數(shù)的基本性質(zhì)是“分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變”。教材提出要求：“根據(jù)分數(shù)和除法的關(guān)系，你能用除法中商不變的規(guī)律來說明分數(shù)的基本性質(zhì)嗎？”此時不用再糾纏于枚舉驗證，可以啟發(fā)學(xué)生將這些特例轉(zhuǎn)化成除法算式，如：1÷3=2÷6=3÷9，1÷2=2÷4=4÷8=8÷16，建立起兩類式子間的因果聯(lián)系，使學(xué)生明確再換成其他的分數(shù)結(jié)論也是一樣的，這樣通過科學(xué)歸納推理論證了分數(shù)基本性質(zhì)的合理性。

4.動手實踐操作來明“理”

教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”時，筆者設(shè)計了操作活動：用長10cm、6cm、5cm、4cm小棒各一根，從中任意選三根小棒，看看能否圍成一個三角形？

通過操作，學(xué)生得出10cm、5cm、4cm和10cm、6cm、4cm這兩種情況下是不能圍成三角形，原因是5+4<10而6+4=10。那么，怎么讓學(xué)生明白只要兩個小棒長度的和小于或等于第三根小棒的長度時，一定圍不成三角形呢？當然不能通過枚舉來驗證，這時可以通過學(xué)生再次動手操作來明“理”。

5.回歸本質(zhì)屬性來明“理”

教學(xué)“2和5的倍數(shù)特征”時，通過觀察百數(shù)表中2和5的倍數(shù)，得到2和5的倍數(shù)的特征，最終得出判斷一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個位上的數(shù)是不是2和5的倍數(shù)就可以了。然而，對于為什么只要看個位就可以判斷？超過100的數(shù)是否也可以這樣判斷？有沒有反例？在學(xué)生心中還有大大的問號。此時，如果能回歸數(shù)的組成這一本質(zhì)屬性來探明原因，進行科學(xué)歸納推理，定能為學(xué)生解惑，同時也為后面探究3的倍數(shù)的特征背后的原理做好鋪墊。我們利用位值原理將一個多位數(shù)如2487展開成：2487=2×1000+4×100+8×10+7，引導(dǎo)學(xué)生觀察展開式，由于1000、100、10這樣的計數(shù)單位一定是2和5的倍數(shù)，所以劃線部分必定是2和5的倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生思考，任何一個多位數(shù)都可以寫成類似的展開式，最后一個加數(shù)前面部分的和必定是2和5的倍數(shù)，所以一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個位上的數(shù)即可。