朱玉霞

摘 ?要：專題復習課是初三數學課的主要課型，在授課過程中適當借助信息技術手段，不僅可以提高課堂效率，提升學生的學習能力，培養(yǎng)教師的專業(yè)素養(yǎng)，還可以促進教師教學水平不斷提高。

關鍵詞：幾何畫板;圓周角定理;第一輪復習

初三數學第一輪復習的主要目標是鞏固基礎、歸納方法和提高能力。而勤于練習是提高數學成績的最重要手段，但多練并非盲目的“題海戰(zhàn)術”，由于初三的時間有限，所以每一個專題的選材、歸納和講解過程都顯得尤為重要。筆者根據多年的教學經驗，結合第一輪復習專題，以“圓周角定理”為例，就如何借助多媒體，提高課堂效率談談自己的看法。

一、教學簡錄

（一） 溫固基礎，圍繞課本定理與推論復習相關知識點

回顧基礎知識是第一輪復習的必備環(huán)節(jié)，直接陳述知識點不夠形象生動，收效甚微，有些知識點的梳理借助一些“工具”往往能得到意想不到的效果。

課前復習：（九年級上冊86頁）

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

圓周角定理推論：同弧或等弧所對的圓周角相等。半圓（或直徑）所的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

圓內接四邊形性質：圓內接四邊形的對角互補。

活動1：教師用幾何畫板畫出以下圖形并標記角的度數，拖曳點A并引導學生把圓周角定理改寫成數學語言：∵AB=AB，∠ACB= ? ? ∠AOB。

設計意圖：通過幾何畫板的標記角度和拖曳功能，拖曳點C，讓學生直觀感受同弧所對的圓心角和圓周角之間的關系。

活動2：在ACB上再取一個點D，連接AD、DB，拖曳點C、D，讓學生觀察當∠AOB不變，∠C、∠D的度數是否發(fā)生改變;改變∠AOB的大?。ò?80°的情況），讓學生觀察∠C、∠D的的變化，并引導學生把推論改寫成數學語言：

∵AB=AB ∴∠C=∠D= ? ? ∠AOB;

∵AB為直徑，∴∠C=90°（∵∠C=90°，∴AB為直徑）。

設計意圖：“幾何畫板”動態(tài)演示當∠AOB不變時，改變點C、點D在優(yōu)弧的位置，∠C、∠D度數不發(fā)生改變，讓學生再次直觀感受同弧所對的圓周角相等。

活動3：繼續(xù)拖曳點D，使點D落在劣弧AB上，讓學生觀察∠D的變化，找到∠C、∠D之間的關系;拖曳點B，改變∠AOB的大小，讓學生體會∠C、∠D的關系及變化;單擊OA、OB、角標記、文本，選擇“顯示”“隱藏對象”功能，讓學生觀察休會∠C、∠D的位置及數量關系，并得出圓內接四邊形性質。

設計意圖：通過把點D從優(yōu)弧拖曳到劣弧，從一般到特殊的變化的過程中，一、可以強化同弧所對的圓周角、圓心角的定義;二、可以加深圓內接四邊形的定義;三、還可以形象得出圓內接四邊形性質。

（二）問題探究，體驗用相關定理解決與圓周角有關計算問題探求

數學教學不僅要使學生記住相關定理和推論，更重要的是通過習題讓學生掌握定理的應用。由于初三的課時十分有限，在教學之前，教師應該根據學生的具體情況整合教學內容，對知識點進行壓縮和精選，通過變式引導學生探索知識的來源和思想方法。

例題講解：例1：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若∠B=30°（1）求∠AOC的度數（2）若∠A=26°，求∠ADC的度數。

變式1：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若∠A=32°，∠ADC=86°，求∠C的度數。

變式2：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若∠B=30°，⊙O半徑為2cm，求弦AC的長度。

變式3：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若，⊙O半徑為2cm，AC=2cm，求∠B的度數。

變式4：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若，⊙O半徑為2cm，∠B=30°，點A為BC中點，求弦BC的長度。

課堂展示：

師：例1第（2）問中，∠ADC是圓心角或圓周角嗎？這個角該如何求？

生1：這個角既不是圓心角，也不是圓周角，結合圖象，∠ADC是△ABD的外角，可以用三角形外角定理求。

師：很好，變式1中∠C的度數也可以用三角形外角定理求嗎？

生2：可以，∠ADC也是△OCD的外角，根據題目條件可以先求∠B，然后根據圓周角定理求出∠AOC，最后用三角形外角定理求出∠C。

師：變式（2）和變式（3）中，∠B是圓周角，所對的弧是哪一段？可以怎樣作輔助線？

生3：∠B所對的弧是AC，連半徑OA、OC。

師：對！解決圓中線段長度問題時，“連半徑”是最常使用的輔助線作法。變式（4）中多了什么條件？這個條件怎么用？

生4：多了點A為為BC中點，連OA后根據垂徑定理得到OA⊥BC。

師：非常棒！求弦長通?？梢杂么箯蕉ɡ斫鉀Q。

設計意圖：例1是圓周角定理和三角形外角定理和垂徑定理的復習和簡單的應用，通過幾何畫板的“隱藏和顯示”功能，隱藏OA、OC、交點D，連接AC，可以輕松地轉換兩個圖形，既可以節(jié)省上課時間，又可以讓學生輕松掌握“連半徑”輔助線的作法，變式2和變式3通過∠AOC的度數和△OAC是等腰三角形這一特性，解決∠B、∠AOC半徑和弦AC之間的關系;變式4在變式2和3的基礎上增加了點A為弧中點這個條件，結合垂徑定理，解決了圓心角、圓周角、弦AC、弦BC和半徑之間的關系。

習題1：（課本89頁第5題）如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=50°。求∠ADC的度數。

變式：如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠D=30°，半徑為2。（1）求∠B的度數;（2）求弦BC的長。

習題2：如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，∠BCD=120°，求∠BOD的度數。

變式：如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，∠ABC=60°，AB∥CD，求∠BOD的度數。

習題3：如圖，A、B是⊙O上兩點，點C是AB的中點，∠AOB=120°。

（1）求證：四邊形OACB是菱形;（2）延長OA至P使得OA=AP，連接PC，PC= ?3 ，求⊙O的半徑。

課堂展示：

師：習題1，根據OA⊥BC可以得到什么結論？

生5：可以得到OA平分弦BC、平分弧BC。

師：對，求角的度數，選哪個結論更合適？

生6：根據圓周角定理，弧相等可以得到圓心角和圓周角之間的關系，所以我想選擇AB=AC這個結論試試。

師：習題2∠BOD和∠BCD所對的弧是同一條嗎？∠BCD怎樣求？

生7：不是，∠BOD所對的的是劣弧BD，∠BCD所對的的是優(yōu)弧BAD。先根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半求∠A，再用圓內接四邊形對角互補求出∠BCD。

師：很好，習題3用同樣方法求出∠ACB可以解決問題（1）嗎？可以怎樣解決？

生8：不能。根據條件點C是弧AB的中點，連OC，得到∠AOC=∠COB=60°，可以得到△OAC和△OBC是等邊三角形，易證（1）。

師：好！充分并合理利用條件是做幾何題的關鍵，下面就請大家用規(guī)范文字語言和符號語言解答習題3.

設計意圖：前兩道習題除了繼續(xù)鞏固例1復習的知識點外，還加深了對“同弧或等弧”的理解、復習了圓內接四邊形對角互補和平行線性質。習題2可以利用幾何畫板的“隱藏”功能，隱藏AB、AD邊，激發(fā)學生的空間想象力。

例2：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D都在⊙O上，若∠ABC=60°，求∠BDC的度數。

變式1：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D都在⊙O上，若∠DCB=120°，求∠CAB的度數。

變式2：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D都在⊙O上，若∠BAC=30°，BD平分∠ABC，（1）求∠DCA的度數;（2）若AC=6，求BD的長度。

變式3：⊙A過點O（0，0），C（ 3 ，0），D（0，1），點B是X軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，求∠OBD的度數。

課堂展示：

師：AB是直徑可以得出什么結論？

生9：根據直徑所對的圓周角是直角，可以得出∠ACB=90°。

師：很好，變式3中有直徑嗎？

生10：有，連接DC，圓周角∠DOC是90°，所以DC是直徑。

師：不錯，當圖中出現(xiàn)直徑時，要會找到90°角;反過來見到90°的圓周角，要知道它所對的弦是直徑。下面就就同學們根據我們復習的內容完成下面的練習。

設計意圖：例2主要復習了推論半圓（或直徑）所的圓周角是直角，變式2復習了用特殊角的三角函數解直角三角形，變式3通過引入平面直角坐標系復習了90°的圓周角所對的弦是直徑。用幾何畫板“迷你坐標系”畫圖，既標準又方便。

（三）深化拓展，領悟數學思想方法和提升思維品質

初三數學復習課的模式基本是以考點為主線，用習題貫穿整個課堂，再加上相關的鞏固練習用以促進學生對知識的掌握，最終達到提升學生的解題能力的目的。

課堂習題1：如圖，等邊△ABC中內接于⊙O，P是AB上任一點（點P不與A、B重合）連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M。（1）求∠APC與∠BPC的度數;（2）求證：△ACM≌△BCP;（3）若PA=2，PB=4，求四邊形PBCM的面積。

課堂習題2：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連接AD。（1）求證：∠DAC=∠DBA;（2）求證：P是線段AF中點;（3）若⊙O半徑為4，AF=6，求tan∠ABF的值。

設計意圖：該環(huán)節(jié)是一堂復習課的鞏固和升華，設計的問題難度應稍高于例題，同時涉及的知識點也應更全面，這樣才能達到深化拓展的效果，讓學生領悟當中的思想方法和提升自身的思維品質。

二、教學反思

專題復習課是初三課堂比較有效的課堂形式?？v觀本節(jié)課，筆者基于基礎與經驗，在課堂中借助了多媒體工具“幾何畫板”，使圖形的生成過程可視化，讓學生從直觀上感受以圓周角定理為生長源，在變換生成不同圖形的過程中培養(yǎng)自己的空間想象能力，讓抽象的數學思想變得清晰直觀，激發(fā)了學生的數學思維，提升了學生的空間想象能力，促進學生數學思想方法及數學素養(yǎng)的形成，取得了較好的效果。

（一）實行教學過程可視化，使知識梳理更有效

“幾何畫板”最大的特點之一是它的可視化，例如，在活動1、2、3的過程中，通過簡單的拖曳功能，使抽象的數學概念變更清晰直觀，在反復操作的過程中，讓學生直觀并深刻地掌握枯燥的理論知識，達到融會貫通的效果，讓概念教學自然地生長和流淌。

（二）實施知識探究延伸化，使思維發(fā)展更優(yōu)化

學生理解和掌握數學概念后，還要能利用積累的數學活動經驗類比遷移、探究新知，把學過的知識用于解決實際問題，達到提升自身數學素養(yǎng)的效果。本節(jié)課在教學過程中引導學生建立數學模型，注重生成、理解和應用模型，例如在選取例題與練習的過程中精心篩選，層層深入，借助幾何畫板的隱藏與顯示功能，把相關的題型有效地整合，引導學生進行知識的類比、化歸，把方法轉化為思維，滲透到以后的數學學習中。

（三）實現(xiàn)教學技術信息化，使教師實現(xiàn)再成長

在初中數學課堂中，學生是學習的主體，是探究的主人，教師則是探究的“引路人”，這就需要教師在教學的過程中大膽嘗試新方法，不斷提高自身的業(yè)務水平，這樣才能在教學的過程中起到四兩撥千斤的引導功能，學會使用多媒體，例如幾何畫板等，有助于提高數學教師的教學水平、業(yè)務水平，從而達到優(yōu)化課堂的作用。

三、結語

“成績”對畢業(yè)班的學生來說，有著不可取代的地位，要提高中考成績，就要提高解題能力，而第一輪復習就是提高學生解題能力的一個重要環(huán)節(jié)，因此專題復習要精心選題，內化解題方法，深化拓展知識點，提煉數學解題思維，力求突出中考疑難問題，促進學生數學素養(yǎng)的形成，將信息技術（如幾何畫板等）與內容進行深度整合，還原知識的本源與生長，從而提升學生的數學核心素養(yǎng)，最終達到提高解題能力的目。

參考文獻：

[1] 朱麗華.好題積學，以題促知[J].數學教學通訊（中旬），2020（7）

[2] 喬琦花.運用“幾何畫板”，凸顯數學思想方法教學[J].中學數學教學參考（中旬），2020（3）

[3] 王文泉.“三個理解”指導下的“圓周角”教學探討[J]. 數學教學通訊（中旬），2020（7）