陸立海

[摘? 要] 小學數學發(fā)現(xiàn)學習的“深度體驗”，正是基于學生的原有背景、認知水平、思維能力等因素，拉長“發(fā)現(xiàn)”前的時間軸，讓兒童有更強烈的刺激、更全面的理解、更深刻的體驗，真正成為數學的“發(fā)現(xiàn)”者、“創(chuàng)造”者。制造問題陷阱，強化體驗，激發(fā)學生“發(fā)現(xiàn)”的悱點;增強素材刺激，豐盈體驗，伸長學生“發(fā)現(xiàn)”的觸角;優(yōu)化活動組合，深刻體驗，通達學生“發(fā)現(xiàn)”的路徑。

[關鍵詞] 深度體驗;兒童數學;發(fā)現(xiàn)學習

著名數學教育家弗賴登塔爾指出，學習數學唯一正確的方法就是讓學生進行“再創(chuàng)造”。布魯納所倡導的“發(fā)現(xiàn)法”，也旨在激發(fā)學生形成內在動機，讓其通過自己主動地探索，獲得解決問題的能力與探索的技巧。小學數學發(fā)現(xiàn)學習的“深度體驗”，正是基于學生的原有背景、認知水平、思維能力等因素，拉長“發(fā)現(xiàn)”前的時間軸，讓學生有更強烈的刺激、更全面的理解、更深刻的體驗，催生其進一步明確探究方向，激活其探究潛能，篩選適宜探究路徑，讓學生真正成為數學的“發(fā)現(xiàn)”者、“創(chuàng)造”者。

一、制造問題陷阱，強化體驗，激發(fā)學生“發(fā)現(xiàn)”的悱點

數學是以問題為中心的學科，它隨著問題而發(fā)生，并伴隨著問題的解決而發(fā)展。問題是思維的導火索，更是學生數學“發(fā)現(xiàn)”的源動力。教學中，我們可以設計“特殊”的情境，制造問題陷阱，讓學生在不知不覺中對某個現(xiàn)象產生心理趨向、行為趨向。

1. 不公平體驗。每個人都希望競爭（游戲）是公平的，評價是客觀的。教學中，我們可以反其道而行，圍繞某個數學問題，創(chuàng)造“不公平”的競爭（游戲），讓學生處于“抱不平”狀態(tài)，從內部刺激學生產生好奇心、好勝心，激其深度思考、準確表達，從而將學生引向新問題探究的征程中。設計不公平的游戲時，教師應該厘清游戲和探究之間的關系，明晰不公平的“點”在哪里，清楚將學生引至何方。不公平競爭（游戲）可以是師生之間，也可以是生生之間，要“放大”不公平，讓部分參與者明顯意識到被“欺負”，引發(fā)質疑，促其尋找根由。

如，教學“質數與合數”時，筆者在黑板上出示四組求一些數的因數的練習題：

第一組分別求出1、7、11、23的因數;第二組分別求出2、3、5、17的因數;第三組分別求出9、18、24、42的因數;第四組分別求出48、16、36、12的因數。

讓四個小組分別選派一個“數學能手”在黑板上板演比賽，其他同學分別完成本小組對應的題目。因第一、二組題中數的因數只有1和它本身，很容易完成，而第三、四組題中數的因數個數比較多，寫出答案要相對慢一些，由此形成沖突，促使學生產生按照因數的個數“少與多”進行分類的需求，從而易于將自然數分為：1、質數、合數。

2. 奇異式體驗。學習者在經歷新穎的、不一致的、令人驚奇的、變化的學習情境時，往往會引發(fā)認知沖突，產生“為什么”“怎么辦”的疑問，同時產生想消除或減少這種矛盾點的探究性心理和行為。奇異式體驗，就是教師通過創(chuàng)設一個比較蹊蹺的場景或呈現(xiàn)一件不好理解的事情，讓學生進入想說又不能完全說出來的狀態(tài)，誘發(fā)學生進入問題探究之中，實現(xiàn)認知的再平衡。場景設計，一要貼近學生的實際，符合學生的年齡特征;二要凸顯“蹊蹺”，讓學生產生濃厚的興趣。

如，教學“負數的認識”時，筆者先出示了如下場景：

教師問：上面哪個小動物的觀點正確？你覺得應該怎樣來定這座山的高度？顯然，這兩個小動物說出山的高度都和自身所在的位置有關，不同的位置表述不一樣，這樣的情境，類似于“兩小兒辯日”，沒有最終答案，進而引出要以“海平面”為標準（參照物），測量山的高度。這時，假定熊貓的位置正好就和“海平面”在同一條線上，說出山的高度后，再分析小鴨子的位置該怎樣表示，從而引出負數。

3. 挖坑式體驗。在學習活動中，學生往往去尋找與以往的學習高度相似的方法與經驗，以實現(xiàn)新知的遷移、問題的解決。有些知識之間，從表面上看存在某種形似，但實際上存在較大差異，甚至是迥然不同的。所謂挖坑式體驗，就是通過一組形式相近但本質屬性、思維方式完全不同的問題（或場景、題目等），讓學生入“陷阱”而后思不足，從而重新尋求破解問題的路徑。進行“組塊化”設計，可利用先前學習的知識或經驗對后繼學習的干擾，也可利用后繼學習對先前學習的消極影響，把“負遷移”作為重要的資源來使用。

如，教學“3的倍數特征”時，筆者先出示一組數，讓學生判斷能不能通過2、5的倍數特征，類推引出3的倍數特征。因2的倍數特征只看個位，5的倍數特征也只看個位，所以讓學生猜測3的倍數特征可能是什么。學生受負遷移的影響，往往會說“一個數的個位上是3、6、9，這個數就是3的倍數”。通過舉例驗證發(fā)現(xiàn)，13、16、19等數的個位上滿足了3、6、9的要求，但卻不是3的倍數。學生“中招”后，體會到此路不通，生發(fā)另尋蹊徑的欲望。

二、增強素材刺激，豐盈體驗，伸長學生“發(fā)現(xiàn)”的觸角

有效的數學學習應當是以數學思維活動為核心，數學學習活動本質上就是在教師的引導下，學習數學家思維活動成果的同時積累數學思維活動經驗，發(fā)展數學思維。為此，教學中通過豐富的素材，讓學生在比較活動中獲得感知，在概括活動中建構新知，在批判活動中完善認知，反復體驗，多維思考。

1. 趨同體驗。即教師提供給學生有相同數學模型，但內容不完全一致的素材，讓學生反復經歷、體驗，感悟出其中的奧秘?！傲孔円鹳|變”，趨同體驗有利于學生通過比較、分析、概括等思維方式建構數學新知，構建數學模型。趨同，分為完全趨同、局部趨同。完全趨同與局部趨同具有相對性，從某個視角看有些素材可能是完全趨同，換一個視角看可能又會是局部趨同，甚至是趨異的。為實現(xiàn)有效“刺激”，進行趨同體驗時，應充分考慮到學生的年齡特點、心理因素、思維能力等因素，少使用“高度一致”的提問方式，以免造成學生探究欲望的降低、思考問題興趣的喪失;要強化比較，感悟數學結構或模型的本質。

如，教學“認識11-20各數”時，筆者呈現(xiàn)了三個素材，讓學生體驗。首先讓學生從很多鉛筆中（有10支捆在一起的，也有很多單獨一支的）拿出12支鉛筆，學生出現(xiàn)了兩種拿法：一種是一支一支地取;另一種是先取1捆，再取2支。比較得出：第二種拿法省時且讓人一眼看出是12支。接著從提供的木夾中取出12個，要求能讓人一眼看出。接著讓學生說出下面的桌子上有多少本書。

在學生充分體驗后，比較這三幅圖有什么共同的特征，得出：都由1個十和2個一組成了12。

案例中的三種素材都是12，但呈現(xiàn)的方式和問題的指向各不相同，有開放式取鉛筆，有定向式取夾子，還有已知12本書讓學生說本數。學生們在活動中構建“10個一是1個十”“1個十和2個一組成12”，從具體到抽象，從現(xiàn)象到本質。

2. 遞進體驗。數學知識存在著一定邏輯結構，學習數學一般經歷“由簡到繁、由淺入深”的過程。在學習有承接關系、遞進關系的知識時，可以提前鋪墊、滲透需要掌握的知識和思考問題的方式，為學生的“發(fā)現(xiàn)”掃清障礙。遞進性體驗，有利于訓練學生思考較復雜問題的思維方式，但不適宜連續(xù)“承接”或“遞進”，過于挖深，違背小學兒童的思維特征和思維習慣。值得注意的是遞進體驗，并非是要進一步得到“承接”或“遞進”素材的結構模型，重點是體驗，目的是為后繼學習做鋪墊。

如，蘇教版三年級下冊第三單元“解決問題的策略”有這樣一道例題：

這是一道已知兩個條件，需要兩步計算的實際問題。在學習本課前，筆者設計了類似于下面的實際問題讓學生練習。

果園里有梨樹50棵，蘋果樹的棵數是梨樹的4倍。蘋果樹有多少棵？梨樹和蘋果樹一共有多少棵？

練習題的條件與課本例題同質，不同的是練習題的第一問是直接利用條件一步解決問題。完成第一問后，把所求的問題再充當第二問的條件，也是一步解決問題。這樣的練習，是基于原理的一步計算問題，又為后面的兩步計算問題埋下伏筆。

3. 反向體驗。有些數學知識之間是互逆的，如減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算等。在組織學生學習某個知識模塊后，可適當增加一些反向素材，讓學生體驗思考問題的不同方法，為進一步探究未知做準備，有效促進學生逆向思維能力的提升。反向體驗時，教師一方面要多讓學生去比較，感悟題干、素材的差異，另一方面要引導學生探尋分析問題的思路。

如，學習“9加幾”一課后，除了正常練習9加幾的算式外，還可練習“已知9與一個數相加的和，求這個數”算式，譬如“9+（? ?）=16”。這樣的訓練，一方面強化學生對9加幾的熟悉度，另一方面還為學習十幾減9做鋪墊。

三、優(yōu)化活動組合，深刻體驗，通達學生“發(fā)現(xiàn)”的路徑

所謂活動組合，就是根據學生的已有認知，將學習內容、資源素材、教法學法有機組塊而形成的一種學習方式。開展模塊學習體驗，有利于培養(yǎng)學生自主學習、自主探索、自主發(fā)現(xiàn)的能力，實現(xiàn)學生學習的可持續(xù)發(fā)展。探究發(fā)現(xiàn)學習法有多種活動組合方法，下面僅列舉幾例。

1. “猜想—驗證”的體驗

“猜想—驗證”是學生解決問題的一種思想方法。猜想，是根據一定的學習材料和已有事實做出的推斷性判斷。對于猜想得到的命題，可能為真命題，也可能是假命題，這就需要通過演繹論證或舉出反例來證明。因小學生的思維受限，在小學階段主要采用舉例的方法進行驗證。只要出現(xiàn)一個反例，就說明猜想是錯的;如果沒有出現(xiàn)反例，則說明結論是正確的。在小學中高年級，引入“猜想—驗證”，強化其過程體驗，有利于培養(yǎng)學生直覺思維，提升學生“發(fā)現(xiàn)”能力。

如，學習“三角形的內角和等于180°”時，筆者讓學生說一說每塊三角尺的各個角的度數，引導學生將各個角的度數加起來。因兩塊三角尺的3個內角的和都是180°，得到猜想：三角形的內角和等于180°。接著讓學生用事先準備好的三角形，小組合作，用量角器量出每個三角形3個內角的度數，并進行相加，判斷猜想是否正確。因舉例測量驗證，可能會出現(xiàn)誤差，再學習剪拼的方法進行驗證。因為三角形的3個內角拼在一起，可以形成一個平角，即180°，證明猜想正確。

當然，有時“猜想—驗證”會演變成“嘗試—檢驗”。如在學習“三位數乘兩位數的筆算”時，可先讓學生自主嘗試計算，再通過估算、轉換成連乘算式、用積除以其中一個乘數等方法進行驗證，判斷方法是否可行，最后總結出算法。

2. “分類”過程的體驗

分類，就是在人們學習活動中，當所給的對象有多種情形，需要將研究對象按照某個特定的標準，將相同屬性的對象歸為一個類別，不同屬性的對象歸為不同的類別，再對每個類別進行研究，得到每個類別的特征屬性。體驗分類學習，就是體驗“確定分類標準—逐個歸類對象—按類別研究”系列活動，讓學生切實體會到分類的作用、方法。

如，在教學“異分母分數加減法”時，筆者出示情境：有一塊蔬菜地，其中1/8種黃瓜，1/2種茄子，3/8種番茄。讓學生根據信息提出一步計算的問題，并列出算式，再讓學生將算式分類。不同的學生分類方法不同，有按照運算的不同來分，有按照分子是否相同來分，還有按照分母是否相同來分。接著教師聚焦到按分母的不同來分，讓學生歸類，并說一說哪種類別會算，怎么算，順勢復習同分母分數加減法的計算方法。之后，教師問：異分母分數加減法應該怎樣算？引出將異分母分數加減法轉化成同分母分數加減法來計算。

這樣的過程，是學生經歷了確定標準分類、比較兩種類別的差異、學會將未知轉化為已知的過程，學生在學習活動中，發(fā)現(xiàn)算法，明白算理，知曉了不同算式之間的相互聯(lián)系，對數學的認識更加深入。

3. “類比”過程的體驗

在學習活動中，我們常常把兩類不同的對象進行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似的屬性，那么就會根據一類對象的某些已知特性推斷另一類對象也具有這些屬性，這樣的方法就是類比。讓學生經歷類比的過程，通過比較、推理、判別等活動，體驗其方法，有利于發(fā)展學生的探究能力、創(chuàng)新能力。

如，學習了“加法交換律”后，教師可以提問：減法有沒有交換律？乘法、除法呢？再舉例證明，得出減法、除法沒有交換律，乘法有交換律。之后，學生再學習“加法結合律”，自然想探尋減法、乘法、除法是否有結合律，并進行驗證。這樣的過程，學生經歷了兩次“類比”，初步感受到“類比”的價值。

總之，激活學生數學“發(fā)現(xiàn)”思維，是一個漸進、沉淀、積累的過程，需要在較長時間的體驗、感受、訓練中逐步建立起來。作為教師，我們要創(chuàng)造性地使用教學資源，精心設計可以培養(yǎng)學生“發(fā)現(xiàn)”思維的點，多讓學生體驗，經歷學習活動的過程，適時點撥、引導，讓學生在過程中學會提出問題、分析問題、解決問題，促其數學“發(fā)現(xiàn)”能力的提升。