陳成慈

[摘? 要] 文章以北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章“銳角三角函數(shù)”第2課為例，堅(jiān)持以生為本，關(guān)注學(xué)生的全程學(xué)習(xí)經(jīng)歷，以其為準(zhǔn)繩嘗試進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，以讓學(xué)生感受知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程及應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 銳角;三角函數(shù);問(wèn)題;過(guò)程;核心素養(yǎng)

教學(xué)內(nèi)容及解析

本節(jié)課是北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章“銳角三角函數(shù)”第2課時(shí)的內(nèi)容. 在此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了直角三角形的相關(guān)內(nèi)容，包括兩銳角互余、勾股定理、斜邊中線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，學(xué)習(xí)直角三角形的銳角三角函數(shù)，主要研究直角三角形邊、角之間的關(guān)系，是對(duì)直角三角形性質(zhì)的進(jìn)一步深化，也是解直角三角形及高中任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ). 本節(jié)課的重點(diǎn)是探究并了解銳角正弦的概念.

教學(xué)目標(biāo)及解析

教學(xué)目標(biāo)：（1）利用相似三角形知識(shí)探索正弦的概念;（2）能夠根據(jù)直角三角形的兩邊長(zhǎng)求任一銳角的正弦值.

目標(biāo)解析：在正弦概念形成的過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，包括直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等.

教學(xué)問(wèn)題診斷分析

經(jīng)過(guò)三年的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生具有一定的探究能力，接受知識(shí)的能力比較強(qiáng)，且具有一定的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，但要求學(xué)生在直角三角形中建立銳角與邊比值之間的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，還是有一定的困難，因此，本節(jié)課的難點(diǎn)在于探索、理解銳角正弦的概念.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 以實(shí)際情境引入新知

利用課件展示意大利比薩斜塔的圖片，如圖1所示，然后以視頻的形式讓學(xué)生了解比薩斜塔歷史：比薩斜塔建成于1350年，塔身AB的長(zhǎng)為54.5米，我們把塔身中心線與鉛垂線AC的夾角，稱(chēng)為傾斜角，當(dāng)傾斜角為2.2°時(shí)，塔頂中心點(diǎn)到鉛垂線之間的距離BC為2.1米，幾百年過(guò)去了，傾斜角增大到5.5°，但是經(jīng)修復(fù)后，傾斜角減少到5°.

問(wèn)題1：當(dāng)比薩斜塔的傾斜角為5°時(shí)，塔頂中心點(diǎn)到鉛垂線之間的距離，即BC的長(zhǎng)是多少米？

問(wèn)題2：將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：在直角三角形ABC中，已知哪些條件？可以求什么元素？如圖2，直角三角形中，已知∠A的度數(shù)，如何求出BC的長(zhǎng)呢？

設(shè)計(jì)目的：數(shù)學(xué)源于生活，基于生活中的實(shí)例，抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模思想的具體體現(xiàn)，其引導(dǎo)學(xué)生從特殊出發(fā)，探索一般結(jié)論，激發(fā)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題的意識(shí)[1].

2. 在小組合作交流中探究新知

（1）說(shuō)一說(shuō).

問(wèn)題1：如圖2所示，在直角三角形ABC中，∠C是直角，銳角∠A為30°，斜邊AB的長(zhǎng)為54.5米，那么直角邊BC的長(zhǎng)為多少？

問(wèn)題2：在圖2中，如果∠C是直角，銳角∠A為30°，這些條件不變，只將直角三角形ABC的大小變化，那么∠A所對(duì)直角邊與斜邊的比值會(huì)發(fā)生變化嗎？這又說(shuō)明了什么問(wèn)題？

設(shè)計(jì)目的：通過(guò)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，說(shuō)明在直角三角形中，當(dāng)銳角∠A的大小不變時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)定值，這樣的設(shè)計(jì)幫助學(xué)生在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上建立了新的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力與邏輯推理能力.

（2）做一做.

請(qǐng)同學(xué)們按下列活動(dòng)方案，把計(jì)算結(jié)果填寫(xiě)在表1里.

如圖3所示，在射線OA上任取一點(diǎn)C，然后過(guò)這一點(diǎn)向OB作垂線，垂足為D，①當(dāng)∠AOB為45°時(shí)，在直角三角形COD中，計(jì)算∠COD所對(duì)直角邊與斜邊的比值;②當(dāng)∠AOB為60°時(shí)，在直角三角形COD中，計(jì)算∠COD所對(duì)直角邊與斜邊的比值.

問(wèn)題：同學(xué)所畫(huà)的直角三角形COD大小一樣嗎？結(jié)果一樣嗎？這說(shuō)明了什么問(wèn)題？

設(shè)計(jì)目的：通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作，利用前面學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，學(xué)生會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠COD為45°時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值，當(dāng)∠COD為60°時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值，結(jié)果與直角三角形COD的大小沒(méi)有關(guān)系.

（3）猜一猜.

教師：由以上三種特殊角的結(jié)果，你會(huì)做出怎樣的猜想呢？

學(xué)生：在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角的大小固定時(shí)，它的形狀就固定，它的對(duì)邊與斜邊的比值就固定.

（4）證一證.

①利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra對(duì)學(xué)生的猜想進(jìn)行驗(yàn)證;

②如圖4所示，△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，∠C和∠C′都是直角，且∠A=∠A′，試說(shuō)明=.

設(shè)計(jì)目的：通過(guò)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra的直觀演示，學(xué)生可以直觀地看到，在直角三角形中，當(dāng)銳角∠A不變時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比永遠(yuǎn)不變，以此培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng). 第②小題證明=，也就是在說(shuō)明對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)固定值.

3. 總結(jié)屬性明確定概念

概念：如圖5所示，在直角三角形ABC中，∠C為直角，我們把銳角∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫作∠A的正弦，用數(shù)學(xué)符號(hào)記作sinA，也就是說(shuō)sinA==.

問(wèn)題1：如圖6所示，在直角三角形ABC中，∠C為直角，那么sinB等于哪兩條邊的比？根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，請(qǐng)計(jì)算sinB的結(jié)果.

問(wèn)題2：如圖7所示，在三角形ABC中，sinA=正確嗎？試添加一個(gè)合適的條件，使這個(gè)結(jié)論成立.

設(shè)計(jì)目的：通過(guò)上述兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步明確正弦的概念，其成立的前提條件是在直角三角形中，一個(gè)角的正弦就是這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比.

問(wèn)題3：觀察表2，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠A為30°，45°，60°時(shí)，sinA都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，那么當(dāng)∠A是其他銳角時(shí)，sinA的值是否也是唯一的呢？教師利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra進(jìn)行演示.

問(wèn)題4：sinA的值是否隨角度的變化而變化呢？在上述問(wèn)題中，自變量和因變量分別是什么？它們的取值范圍呢？

設(shè)計(jì)目的：用列表及數(shù)學(xué)軟件Geo-Gebra演示的方法，讓學(xué)生明白銳角∠A與它的正弦值是一一對(duì)應(yīng)的，也就是一種函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步提升了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力與意識(shí);對(duì)于自變量與因變量取值范圍的確定，加深了學(xué)生對(duì)正弦實(shí)際意義的理解.

4. 典例剖析，變式訓(xùn)練

例題：如圖8所示，在直角三角形ABC中，∠C為直角，求∠A、∠B的正弦值.

變式：如圖9所示，在直角三角形ABC中，∠C為直角，已知sinA=0.7，AB的長(zhǎng)為15，那么直角三角形其他兩邊長(zhǎng)分別是多少？

設(shè)計(jì)目的：例題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生能運(yùn)用正弦定義解決問(wèn)題. 變式要求學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定義解決問(wèn)題，為后面學(xué)生的編題自練打下了基礎(chǔ)[2].

編題環(huán)節(jié)：第一步，學(xué)生獨(dú)立編題并解題;第二步，小組內(nèi)討論，選出本組內(nèi)比較有思維含量的試題;第三步，每個(gè)小組派代表把好的試題展示在黑板上，由其他同學(xué)評(píng)價(jià);第四步，同學(xué)們?nèi)芜x一題進(jìn)行訓(xùn)練.

5. 當(dāng)堂訓(xùn)練，鞏固新知

此處略.

設(shè)計(jì)反思

本節(jié)課是銳角三角函數(shù)正弦概念課，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，筆者始終堅(jiān)持以生為本的原則，關(guān)注學(xué)生的全程學(xué)習(xí)經(jīng)歷，即發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、探究問(wèn)題、合作交流、猜想驗(yàn)證、證明應(yīng)用等過(guò)程，學(xué)生感受了知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程，教學(xué)實(shí)踐也證明，教學(xué)效果良好.

參考文獻(xiàn)：

[1]潘云釗. 關(guān)于銳角三角函數(shù)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)建議[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（09）.

[2]邢皓. 變式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用探究[D]. 上海師范大學(xué)，2018.