練瓊鶯

[摘? 要] 文章以“你有多少種畫平行線的方法”一課為例，談在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中教師如何設(shè)計(jì)、展示活動(dòng)，如何引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)、描述和總結(jié)實(shí)驗(yàn)操作流程，進(jìn)而從不同的實(shí)驗(yàn)操作方法中思考并提煉出問題的本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);實(shí)驗(yàn)操作;本質(zhì)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生通過動(dòng)手動(dòng)腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過實(shí)際操作，在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動(dòng)[1]. 如果只有實(shí)際操作，而缺乏對(duì)操作現(xiàn)象的分析與思考，那就可能失去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的大好機(jī)會(huì)，從而成為“表面的熱鬧”. 那么，如何引導(dǎo)學(xué)生透過實(shí)際操作中的現(xiàn)象體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)呢？下面筆者結(jié)合“數(shù)學(xué)活動(dòng)：你有多少種畫平行線的方法”進(jìn)行闡述，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

總體分析

1. 內(nèi)容分析

“你有多少種畫平行線的方法”是一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，活動(dòng)內(nèi)容主要是對(duì)“過一點(diǎn)畫已知直線的平行線”的畫法進(jìn)行探索和闡釋. 其中，對(duì)平行線多種畫法的探索需要化歸為“三線八角”模型，對(duì)畫法的闡釋需要回歸到平行線的判定定理，因此，這節(jié)活動(dòng)課是平行線判定定理的拓展和應(yīng)用.

2. 學(xué)情分析

在小學(xué)階段，學(xué)生會(huì)用平移三角尺的方法畫平行線，卻不知其所以然. 學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)和判定定理之后，學(xué)生對(duì)之前畫平行線的方法有了進(jìn)一步的理解. 在此基礎(chǔ)上，當(dāng)畫圖工具減少時(shí)，該如何準(zhǔn)確地畫出平行線？當(dāng)沒有畫圖工具時(shí)，該如何折出平行線？這些問題對(duì)學(xué)生來說很新奇，也具有一定的挑戰(zhàn)性.

3. 活動(dòng)環(huán)節(jié)總體設(shè)計(jì)思路

教師通過不斷減少畫圖工具，引導(dǎo)學(xué)生“畫一畫”“說一說”“折一折”，讓學(xué)生經(jīng)歷畫法的探究過程及闡釋過程，使學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)畫平行線的本質(zhì)及證直線平行的方法，培養(yǎng)學(xué)生言之有據(jù)和復(fù)習(xí)總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

教學(xué)過程

1. 活動(dòng)1：畫一畫

問題提出：關(guān)于平行線，我們已經(jīng)學(xué)了判定定理和性質(zhì)定理，這節(jié)課我們來認(rèn)識(shí)畫平行線的方法. 那么，過直線外一點(diǎn)如何畫這條直線的平行線呢？

活動(dòng)要求：請(qǐng)大家拿出準(zhǔn)備好的紙、筆及畫圖工具（直尺、三角尺等），先在紙上畫一條直線a，并取直線外一點(diǎn)P（如圖1），過點(diǎn)P畫直線a的平行線. 你能想到幾種畫法？如何說明你畫的直線與已知直線平行？

小組活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，自主探究;教師巡視指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)問題并及時(shí)解決.

活動(dòng)展示：收集不同的畫法，并傳屏至白板，讓有相應(yīng)畫圖方法的學(xué)生闡釋原理. 下面是教學(xué)片段.

師：老師收集了一些同學(xué)的畫法，大家請(qǐng)看屏幕. 請(qǐng)相應(yīng)的同學(xué)認(rèn)領(lǐng)圖片并站起來回答問題. 請(qǐng)說一說這幅圖（如圖2）的畫法和畫法依據(jù).

生1：我的畫法是平推三角尺，依據(jù)是“同位角相等，兩直線平行”.

師：哪兩個(gè)角相等呢？我沒有找到，請(qǐng)你標(biāo)出來.

生1：（上臺(tái)標(biāo)注，此處略）這兩個(gè)角相等，而且等于30°.

師：很好！其實(shí)這是一個(gè)“三線八角”模型（板書圖3），可以用平行線的判定定理來證明. 請(qǐng)大家思考這里的直尺和三角尺的作用分別是什么.

生2：直尺相當(dāng)于截線，平推三角尺可以保持角相等，這樣就有同位角相等了.

師：精辟！用這一原理來畫圖的同學(xué)請(qǐng)舉手.

生3：我想到了很多畫法，不僅可以平推（三角尺中的）30°角，還可以平推90°角、60°角、45°角！

生4：把三角尺換成直尺也行！直尺有90°角. （學(xué)生頻頻點(diǎn)頭）

生5：不用直尺和三角尺，我用兩本書也可以?。ń處熥哌^去，把畫法拍下來投屏，如圖4，引起一片轟動(dòng)）

師：妙！前面都用到了兩種工具，一個(gè)充當(dāng)截線，另一個(gè)平推以產(chǎn)生相等的同位角.

師：（出示學(xué)生畫法圖5、圖6）大家請(qǐng)看屏幕. 有同學(xué)僅用了一把直尺，這樣畫出來的是平行線嗎？

生6：是！都是90°.

師：請(qǐng)你上臺(tái)并標(biāo)出來.

生6：依據(jù)是“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”.

師：沒錯(cuò). 這里巧妙地利用了直尺與刻度線互相垂直的特殊位置關(guān)系，通過畫垂線的方法畫出了平行線. （板書圖7）

師：僅用一種工具，還有別的畫法嗎？

生7：用一把三角尺也可以，只要有刻度就行.

生8：沒有刻度也可以，借用尺子天然的直角. （教師拍照傳屏，如圖8、圖9）

生9：不用尺子，用書也可以，書也有天然的直角. （學(xué)生點(diǎn)頭）

師：是的，這幾種方法都是利用畫垂線的方法來畫的. 請(qǐng)大家總結(jié)用這種方法畫平行線的一般步驟.

生10：先畫已知直線的垂線l1，再畫垂線l1的垂線l2 .

師：很好. 垂線l1實(shí)際上是“三線八角”模型中的截線，垂線l就是所要畫的平行線. （板書一般步驟：1.先畫截線;2.畫截線的垂線，即為平行線）

2. 活動(dòng)2：折一折

問題提出：如果不能借助其他工具，只能用折紙的方法，你能折出平行線嗎？

問題1：如圖10，在一張半透明的長(zhǎng)方形紙片ABCD內(nèi)部任取一點(diǎn)P，請(qǐng)過點(diǎn)P折出長(zhǎng)方形的一邊AB所在直線的平行線，并說明理由.

？搖？搖？搖？搖

活動(dòng)要求：折一折，試一試，畫出折痕，并說明理由.

活動(dòng)展示：請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)演示折法并說明. 下面是教學(xué)片段.

生11：這樣翻折（如圖11），（展開后）∠AEF和∠A都是直角，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，可知EF與AB平行.

師：為什么∠AEF是直角？

生11：由翻折可知∠DEF=∠AEF，又∠DEF+∠AEF=180°，所以∠DEF=∠AEF=90°.

師：嗯. 那照你這樣折疊，對(duì)折法有什么要求嗎？

生11：翻折后點(diǎn)D和點(diǎn)C都要在矩形短邊上，且折痕要經(jīng)過點(diǎn)P.

師：同學(xué)們聽明白了嗎？此處應(yīng)該有掌聲. （掌聲響起）

師：這里實(shí)際上也是在構(gòu)造“三線八角”模型. 那截線是哪一條呢？

生（齊）：AD.

師：是的，其實(shí)這是將其化歸為我們前面“畫垂線”的方法——巧妙地利用了矩形天然的垂線（AD是垂線l1），再通過對(duì)折垂線l1（即截線），得到截線的垂線（板書圖12）.

問題2：如圖13，在一張半透明的正方形紙上任取一點(diǎn)P，然后畫一條線段a，如何折出過點(diǎn)P且與a平行的線？

活動(dòng)要求：折一折，試一試，畫出折痕，并說明理由.

活動(dòng)展示：請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)演示折法并進(jìn)行說明. 下面是教學(xué)片段.

生12：對(duì)折a，得到a的垂線b，這樣就變成了“問題1”. 接下來，折疊b，使折痕經(jīng)過點(diǎn)P，得到b的垂線c（如圖14）.

師：你很會(huì)思考. “問題2”的截線需要自己折，折完其實(shí)就變成“問題1”了. 學(xué)習(xí)就是要多思考，多總結(jié)方法，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)解決的問題. 這節(jié)課，我們通過畫和折的方法得到了平行線，你們有什么收獲嗎？

生13：畫或者折已知直線的平行線，其實(shí)就是構(gòu)造“三線八角”模型.

生14：當(dāng)工具少時(shí)，作垂線的方法很有效.

……

教學(xué)思考

1. 顯化操作痕跡，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有跡可循

這節(jié)課設(shè)計(jì)了4個(gè)問題，分別是用2個(gè)工具畫、僅用1個(gè)工具畫，以及沒有工具時(shí)需要用折一折的方法解決的2個(gè)問題. 這4個(gè)問題相互關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)，但實(shí)質(zhì)都是構(gòu)造“三線八角”模型. 如何讓學(xué)生更快地發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)以及問題之間的關(guān)聯(lián)性，是這節(jié)課的關(guān)鍵. 學(xué)生最熟悉的方法是平推法，平推法的結(jié)果就是兩條互相平行的直線. 如果僅從結(jié)果來看，很難證明所畫直線與已知直線平行. 因此，實(shí)驗(yàn)操作時(shí)，有必要顯化操作痕跡，讓學(xué)生從過程中思考證明方法，這樣還能為解決后續(xù)更復(fù)雜的問題做鋪墊.

那么，如何顯化操作痕跡呢？首先，應(yīng)關(guān)注操作中的細(xì)節(jié). 平推法中直尺的作用是什么？三角尺的作用又是什么？當(dāng)學(xué)生明白直尺的作用實(shí)質(zhì)是構(gòu)造“三線八角”模型中的截線，而平推三角尺是為了得到相等的同位角時(shí)，學(xué)生的思維就能夠快速打開了，進(jìn)而把直尺和三角尺用同等功效的物體來代替. 其次，將操作過程抽象為幾何圖形. 在平推法中將直尺抽象為直線，在折紙時(shí)描出折痕等，每一種方法對(duì)應(yīng)相應(yīng)的幾何圖形. 最后，從目的出發(fā)，尋找操作和證明的關(guān)鍵信息，并在幾何圖形中有效地表示出來，如角標(biāo)等. 這樣便容易從幾個(gè)圖形中找到共性并發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).

2. 依據(jù)說理，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)講道理

這節(jié)課尤其重視每一種方法對(duì)應(yīng)的證明方法. 通過想一想、說一說，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)證明都需要?dú)w結(jié)為平行線的判定定理. 那么，當(dāng)學(xué)生無從下手或找不到解決方法時(shí)，會(huì)自然而然地聯(lián)想到前面構(gòu)造“三線八角”模型的方法. 如，“問題1”解決起來比較困難，很多學(xué)生雖然能很快折出大概的樣子，但是說不清是怎么折的以及怎么證明. 當(dāng)“需要證明”這個(gè)問題驅(qū)動(dòng)著學(xué)生往下思考時(shí)，他們就容易想到要有截線，這樣就能比較順利地想到特殊位置的截線，即作垂線的方法了.

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生可能會(huì)碰到說不明白的操作，如“問題1”，生11開始回答時(shí)是用比較含糊的“這樣翻折”來表述的，然后得到兩個(gè)互補(bǔ)的同旁內(nèi)角. 此時(shí)教師可通過“由果索因”追問學(xué)生，使學(xué)生厘清操作，從而完善表達(dá).

3. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要透過“操作的現(xiàn)象”看“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”

首先，對(duì)于“畫一畫”中的平推這一操作，教師應(yīng)該讓學(xué)生明白平推的作用是什么——產(chǎn)生相等的同位角. 其次，對(duì)于“折一折”中對(duì)折線段的操作，教師應(yīng)讓學(xué)生思考這一操作能產(chǎn)生什么——實(shí)質(zhì)是平分平角，從而產(chǎn)生直角. 如果能明白關(guān)鍵操作的本質(zhì)，那么學(xué)生就能化難為易，舉一反三.

總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要講道理，要讓操作合理化、數(shù)學(xué)化，讓方法多樣化，并在多樣的方法中總結(jié)、提煉出共性，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中感悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]董偉林等. 初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論與實(shí)踐研究[M]. 南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2016.