引入滑區(qū)法的板球系統(tǒng)新型冪趨近律滑?？刂?/h1>
2021-10-14 08:26:56李江峰向鳳紅
李江峰，向鳳紅
(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500)
板球系統(tǒng)作為一個(gè)典型的多變量、強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)結(jié)果的直觀性及模型的簡(jiǎn)易性，常用它來(lái)驗(yàn)證各種控制算法的性能. 針對(duì)板球系統(tǒng)的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)及軌跡跟蹤問題，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者做了大量的研究. Ali 等[1]運(yùn)用侵入性雜草優(yōu)化算法優(yōu)化參數(shù)，設(shè)計(jì)了板球系統(tǒng)的最優(yōu)非線性模型參考控制器. Bang 等[2]通過提高計(jì)算效率和應(yīng)用球板系統(tǒng)的地址來(lái)提高跟蹤性能，從而在微控制器上運(yùn)行，最終實(shí)現(xiàn)了嵌入式模型預(yù)測(cè)控制，增強(qiáng)了板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤性能. 王紅睿等[3]在板球系統(tǒng)小球質(zhì)量、半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量未知的條件下，提出了非線性自適應(yīng)控制，結(jié)合Lyapunov 穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了非線性自適應(yīng)位置控制器，進(jìn)而提高了板球系統(tǒng)的控制精度. 高多[4]將伺服補(bǔ)償、動(dòng)態(tài)輸出反饋以及二次型調(diào)節(jié)等控制理論相結(jié)合，設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)零靜差跟蹤，且控制器具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì).
滑模變結(jié)構(gòu)控制其本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制，能使系統(tǒng)按照預(yù)定的“滑動(dòng)模態(tài)”狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng). 滑?？刂凭哂许憫?yīng)快、對(duì)參數(shù)干擾不靈敏、不用系統(tǒng)在線識(shí)別、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，能使系統(tǒng)具有良好的魯棒性和控制精度. 然而，由于開關(guān)時(shí)間和空間的滯后、系統(tǒng)慣性等影響會(huì)引起系統(tǒng)抖振，這個(gè)問題成為了滑?？刂频耐怀稣系K. 高為炳[5]以指數(shù)趨近律s˙=-εsgn(s)-κs為例，調(diào)整參數(shù) ε 和 κ，使得系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)的到達(dá)過程具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，同時(shí)控制信號(hào)的抖振幅值也得以削弱，但系統(tǒng)會(huì)一直抖振最終無(wú)法收斂為零. 文獻(xiàn)[6]提出了板球系統(tǒng)的反步滑模自適應(yīng)控制，有效地減小了系統(tǒng)的控制誤差，但是卻忽略了系統(tǒng)所存在的摩擦等非線性因素，具有一定的局限性. 文獻(xiàn)[7-8]提出了擾動(dòng)觀測(cè)的滑?？刂疲苡行Ы鉀Q系統(tǒng)中存在非線性和激勵(lì)不足的軌跡跟蹤問題，但抖振抑制效果不夠明顯. 文獻(xiàn)[9-11]為了提高系統(tǒng)性能，提出了級(jí)聯(lián)分?jǐn)?shù)階控制器，但整體控制性能提升不顯著. 文獻(xiàn)[12]將滑模控制與監(jiān)督模糊控制的方法結(jié)合起來(lái)，提高了小球球定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確性，但在軌跡跟蹤控制時(shí)性能表現(xiàn)不佳.
為了使板球系統(tǒng)的滑?？刂颇軌蚩焖龠M(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)階段，本文定義了新的趨近參數(shù)，設(shè)計(jì)了用冪次函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)的新型冪趨近律（Novel Power Reaching Law，NPRL）滑?？刂破? 此控制器通過改變趨近參數(shù)調(diào)整趨近速度，同時(shí)冪次趨近律能夠一定程度上抑制抖振. 但當(dāng)冪趨近律的趨近參數(shù)過大使趨近速度加快的同時(shí)，系統(tǒng)會(huì)在滑模面產(chǎn)生高頻振蕩. 為此，本文通過在設(shè)計(jì)切換面的基礎(chǔ)上定義了兩條輔助切換面，引入了滑動(dòng)區(qū)域法. 此方法能使系統(tǒng)在滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)做低頻振動(dòng)，從而代替普通滑?？刂圃谠O(shè)計(jì)切換面上的高頻振蕩，最終系統(tǒng)穩(wěn)定收斂到原點(diǎn)位置，以達(dá)到抑制并削弱抖振的目的. 設(shè)計(jì)的控制器既提高了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，又削弱了快速性所引起的高頻抖振問題. 通過與飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)的平滑滑?？刂品桨竅13]、徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒控制方案[14]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了此控制策略的有效性.
1 板球系統(tǒng)的控制原理及系統(tǒng)模型
1.1 板球系統(tǒng)的控制原理選取深圳固高公司研發(fā)的GPB2001 板球系統(tǒng)來(lái)作為本文的實(shí)驗(yàn)研究平臺(tái). 板球系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)主要由兩個(gè)伺服電機(jī)、小球、球盤、連桿系統(tǒng)、控制器、攝像頭和直流電流源組成，實(shí)物模型如圖1 所示.
圖1 板球系統(tǒng)實(shí)物模型Fig. 1 Physical model of ball and plate system
系統(tǒng)啟動(dòng)后平板上方的攝像頭采集到小球的實(shí)際位置信息，控制器再將實(shí)際位置與目標(biāo)位置的偏差轉(zhuǎn)換成控制量，進(jìn)而控制兩個(gè)伺服電機(jī)拉動(dòng)連接桿，連接桿帶動(dòng)平板運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)平板傾角的控制，以完成小球在平板上定點(diǎn)鎮(zhèn)定或者軌跡跟蹤.
1.2 板球系統(tǒng)的系統(tǒng)建模由于板球系統(tǒng)是一個(gè)典型非線性系統(tǒng)，難以建立一個(gè)精確的數(shù)學(xué)模型，因此本文將模型進(jìn)行簡(jiǎn)化和線性化處理，忽略某些因素，建模過程中作出以下假設(shè)：①不計(jì)小球與平板間的所有摩擦；②小球在平板上的所有運(yùn)動(dòng)均為接觸式滾動(dòng)；③忽略平板的傾角和角速度；④球盤無(wú)限大.
在平板上建立坐標(biāo)系，選取平板的中心點(diǎn)處作為原點(diǎn) (0,0)， 平板的x軸方向傾斜角度為 α，y軸方向的傾斜角度為 β，板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析如圖2、3 所示[15].
圖2 板球系統(tǒng)的 x 軸物理模型Fig. 2 x-axis physical model of ball and plate system
圖3 板球系統(tǒng)的 y 軸物理模型Fig. 3 y-axis physical model of ball and plate system
本文采用拉格朗日方程建立板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型. 板球系統(tǒng)微分方程組[16]如下:
式中的各個(gè)變量參數(shù)及其意義說(shuō)明如表1 所示.
表1 微分方程組中各變量意義及單位Tab. 1 The meaning and unit of variables of the system of differential equations
實(shí)際情況下，伺服電機(jī)位置固定，平板傾角只需變化很小即可控制小球，故為簡(jiǎn)化系統(tǒng)可以忽略平板在x、y方向的轉(zhuǎn)矩，即
小球處于穩(wěn)定的狀態(tài)時(shí)，平板處于水平狀態(tài)，此時(shí)平板傾角 α 和 β 為0，控制小球時(shí)平板的傾角變化范圍也很小. 因此，傾角的正弦值可以近似為傾角本身，平板的角速度也近似為0，即
本文選取平板的傾角 α 和 β 來(lái)作為系統(tǒng)的輸入量ux和uy，小球所對(duì)應(yīng)位置坐標(biāo) (x,y) 和小球速度x˙、y˙ 分別作系統(tǒng)的狀態(tài)x1、x2、x3和x4，最終得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為
由于板球系統(tǒng)的兩個(gè)伺服電機(jī)分別控制平板的x軸、y軸兩個(gè)方向，且驅(qū)動(dòng)兩個(gè)方向解耦關(guān)系是相同的，故將系統(tǒng)分解成分別關(guān)于x軸和y軸的兩個(gè)子系統(tǒng)，對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)控制器. 關(guān)于x軸和y軸的兩個(gè)子系統(tǒng)有著相同的模型，故在本文設(shè)計(jì)分析x軸的子系統(tǒng)同樣也能在y軸子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn).
2 引入滑動(dòng)區(qū)域法的新型冪趨近滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
滑?？刂剖且环N特殊的非線性控制，它的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)會(huì)隨時(shí)間變化，其突出特點(diǎn)就是在滿足一定的條件下系統(tǒng)能沿預(yù)定軌跡運(yùn)動(dòng). 滑?？刂凭哂辛己玫膭?dòng)態(tài)性能，在實(shí)際工程中運(yùn)用較為廣泛，因此也受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視. 但是滑?？刂拼嬖谥鵁o(wú)法完全消除抖振的問題，為了加快系統(tǒng)響應(yīng)速度且解決滑模控制板球系統(tǒng)在切換面附近存在的高頻振動(dòng)問題，設(shè)計(jì)了引入滑動(dòng)區(qū)域法的新型冪次趨近律滑模控制器.
2.1 板球系統(tǒng)的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)滑?？刂葡到y(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程分為趨近運(yùn)動(dòng)過程和滑動(dòng)模態(tài)兩個(gè)階段，故可將滑?？刂坡蓇t(x,t) （ 文中簡(jiǎn)記為ut）分為切換控制un(x,t)（ 文中簡(jiǎn)記為un） 和等效控制ueq(x,t)（文中簡(jiǎn)記為ueq）.
板球系統(tǒng)x軸子系統(tǒng)為二階非線性單輸入單輸出系統(tǒng)，且在建模時(shí)忽略了摩擦以及不確定性時(shí)變干擾等因素，故引入不確定項(xiàng)kx(t)，則有
2.2 引入滑動(dòng)區(qū)域法的滑模等效控制在原設(shè)計(jì)切換面的基礎(chǔ)上引入輔助切換面概念，由輔助切換面所圍成的區(qū)域定義為滑動(dòng)區(qū)域. 以二維狀態(tài)空間為例，由誤差及誤差率構(gòu)成的相平面如圖4 所示[17]. 其中，s為原設(shè)計(jì)切換面，s1、s2為輔助切換面，且
圖4 滑動(dòng)區(qū)域二維模型Fig. 4 Two-dimensional model of sliding region
其中，a1和a2為大于零的參數(shù).
當(dāng)系統(tǒng)結(jié)束了趨近階段進(jìn)入到滑動(dòng)區(qū)域后，系統(tǒng)的等效控制將由輔助切換面及設(shè)計(jì)切換面同時(shí)發(fā)揮作用，以達(dá)到削弱高頻抖振的目的，使得控制系統(tǒng)得到優(yōu)化. 同時(shí)，必須滿足趨近運(yùn)動(dòng)階段與滑動(dòng)模態(tài)之間是連續(xù)的，并且當(dāng)系統(tǒng)處于設(shè)計(jì)切換面時(shí)，輔助切換面不起作用.
當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)區(qū)域并處于s1與s之間的點(diǎn)A(e,e˙) 時(shí)，過A作 垂 直e軸 的 直 線 與s1相 交 于C(e1,e˙1)， 與s相交于B(e0,e˙0). 同理，當(dāng)系統(tǒng)位于s與s2之間時(shí)則有D(e2,e˙2).
此時(shí)等效控制為
本文控制器輸出的目的是為了讓系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)階段既不單純地在設(shè)計(jì)切換面上運(yùn)動(dòng)，也不在輔助切換面上運(yùn)動(dòng)，從而避免了滑?？刂茙?lái)的抖振. 通過設(shè)計(jì)切換面和輔助切換面對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的控制差調(diào)整板球系統(tǒng)的滑模控制器. 當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)距離s較近點(diǎn)時(shí)，式（15）的分子增大分母減小，式（14）由s求得的控制量在總的控制量中占比較少，從而避免了系統(tǒng)在設(shè)計(jì)切換面附近可能會(huì)產(chǎn)生的系統(tǒng)狀態(tài)抖振. 當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)距離s1較近時(shí)，式（15）的分子減小分母增大，式（14）由s所求得的控制量在總的控制量中占比多，又將系統(tǒng)拉離s1，使系統(tǒng)始終在滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)且不長(zhǎng)時(shí)間停留在設(shè)計(jì)切換面上運(yùn)動(dòng).當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到s與s2之間時(shí)，原理同上. 隨著s1與s2最終收斂到相平面原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也將在滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)逐步收斂. 通過調(diào)整i值的大小優(yōu)化控制器的控制輸出品質(zhì).
2.3 新型冪趨近律當(dāng)系統(tǒng)在未進(jìn)入滑區(qū)時(shí)，只考慮設(shè)計(jì)切換面s的存在，輔助切換面s1和s2不起作用，此時(shí)控制器與普通滑?？刂破飨嗤?，直到系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)區(qū)域?yàn)橹? 此過程為趨近運(yùn)動(dòng).
因符號(hào)開關(guān)函數(shù)的存在，滑?？刂撇豢杀苊獾貢?huì)在切換面附近產(chǎn)生抖振，但變結(jié)構(gòu)是由開關(guān)函數(shù)所定義的，去除開關(guān)函數(shù)系統(tǒng)會(huì)失去魯棒性[18]. 此外，趨近參數(shù)（切換增益）也是引起抖振的重要原因. 因此本文設(shè)計(jì)了新的趨近參數(shù)，同時(shí)用冪次函數(shù)代替符號(hào)開關(guān)函數(shù)的NPRL 方案.
相較于傳統(tǒng)的符號(hào)函數(shù)和飽和函數(shù)，新型冪次函數(shù)的趨近參數(shù)具有較好的自適應(yīng)調(diào)節(jié)效果. 當(dāng)s較大（遠(yuǎn)離切換面）時(shí)趨近參數(shù)也增大，從而有更快的趨近速度；s較小（靠近切換面）時(shí)趨近速度也相應(yīng)減??；當(dāng)s為0（到達(dá)切換面）時(shí)，趨近速度為0，保證了切換增益隨著運(yùn)動(dòng)點(diǎn)變化而變化，以達(dá)到加快趨近速度且降低抖振的效果. 同時(shí)，在穿越切換面時(shí)冪次函數(shù)的開關(guān)函數(shù)過渡曲線連續(xù)光滑，可有效降低滑?？刂浦械亩墩? 新型冪次函數(shù)、符號(hào)函數(shù)和飽和函數(shù)如圖5 所示.
圖5 開關(guān)函數(shù)Fig. 5 Switching function
新型冪趨近律表達(dá)式為
2.4 穩(wěn)定性分析當(dāng)系統(tǒng)未到達(dá)滑動(dòng)區(qū)域而處于趨近模態(tài)的過程中，為了保證系統(tǒng)能夠進(jìn)入到滑動(dòng)區(qū)域并且保持系統(tǒng)穩(wěn)定，建立了Lyapunov 函數(shù)
顯然（20）及（21）式均負(fù)定，因此系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定. 系統(tǒng)將存在s0、s1和s23 個(gè)平衡點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入到滑動(dòng)區(qū)域后將最終收斂于原點(diǎn). 當(dāng)系統(tǒng)位于輔助切換面上時(shí)，因設(shè)計(jì)切換面控制輸出起主要作用，會(huì)將系統(tǒng)拉到設(shè)計(jì)切換面附近，但由式（14）可知，系統(tǒng)位于設(shè)計(jì)切換面上時(shí)，輔助切換面卻不發(fā)揮作用，但實(shí)際的滑?？刂破鞑粫?huì)讓系統(tǒng)始終位于設(shè)計(jì)切換面上，因此系統(tǒng)會(huì)在滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)做低頻的振蕩，以達(dá)到減弱抖振的效果.
3 仿真結(jié)果和分析
為了驗(yàn)證在NPRL 基礎(chǔ)上引入滑動(dòng)區(qū)域的板球系統(tǒng)滑模控制的軌跡跟蹤精度和動(dòng)態(tài)性能，設(shè)計(jì)了板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤模型，通過與飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)的平滑滑?？刂?、RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒滑?？刂破鬟M(jìn)行仿真對(duì)比，分別對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了軌跡跟蹤及誤差跟蹤，同時(shí)對(duì)控制輸出也進(jìn)行了仿真對(duì)比. 跟蹤的預(yù)設(shè)曲線為心形曲線，表達(dá)式如（22）式，參數(shù)變量取值如表2，單位參照表1.
表2 變量參數(shù)值Tab. 2 Parameter values of variables
為了驗(yàn)證受到外界干擾下設(shè)計(jì)控制器的性能，引入了干擾函數(shù)如下所示：
經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比，3 種控制器輸出如圖6～8所示. 由此可得，僅用飽和函數(shù)替換符號(hào)開關(guān)函數(shù)的平滑滑?？刂破鬏敵霎a(chǎn)生了高頻、幅值為1.5 左右的振蕩，且振蕩一直持續(xù)，易引起模型的攝動(dòng)；RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒滑?？刂破鬏敵鼍哂休^低的抖振頻率，但平穩(wěn)后振蕩的幅值在-2～1，且開始輸出具有-3.5～5.9 的高幅突變；引入滑動(dòng)區(qū)域法的NPRL 控制器輸出僅在開始有輕微的抖振，隨后能保持低頻低幅值抖振穩(wěn)定輸出，說(shuō)明所設(shè)計(jì)控制器對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度均有保證.
圖6 平滑滑?？刂破鬏敵鯢ig. 6 Output of smooth sliding mode controller
圖7 RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒控制器輸出Fig. 7 Output of adaptive robust controller based on RBF network
圖8 滑動(dòng)區(qū)域法新型冪趨近律控制器輸出Fig. 8 Output of novel power reaching law controller based on sliding region method
圖9～12 分別為板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤及誤差跟蹤對(duì)比. 在同等的輸入條件下本文方案控制的小球在0.176 s 左右就能跟蹤到預(yù)定軌跡，而使用平滑滑?？刂圃?.330 s 左右跟蹤到預(yù)定軌跡，RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒控制的軌跡跟蹤用了0.450 s，通過軌跡跟蹤對(duì)比顯示出所設(shè)計(jì)控制器的快速性.
圖9 x 軸軌跡跟蹤曲線對(duì)比Fig. 9 Comparison of x-axis trajectory tracking curves
圖10 y 軸軌跡跟蹤曲線對(duì)比Fig. 10 Comparison of y-axis trajectory tracking curves
圖11 板球系統(tǒng)軌跡跟蹤曲線對(duì)比Fig. 11 Comparison of trajectory tracking curves of ball and plate system
圖12 x 軸誤差跟蹤對(duì)比Fig. 12 Comparison of x-axis error tracking
由圖12，本文設(shè)計(jì)的控制器使小球跟蹤誤差快速衰減. 當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定輸出后，誤差在(-0.46 ～0.23)×10-4m 時(shí)，誤差曲線較為平滑；平滑滑?？刂菩∏虻恼`差在 ( -0.25 ～0.91)×10-4m 時(shí)，誤差曲線存在高頻的振蕩；RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒控制小球的誤差值較大，在零誤差線上下進(jìn)行高幅值的來(lái)回波動(dòng).
通過控制器仿真對(duì)比可得，定義的新型趨近參數(shù)能夠使系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能，冪趨近律及滑動(dòng)區(qū)域法同時(shí)作用削弱了系統(tǒng)產(chǎn)生的高頻抖振，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，從而驗(yàn)證了設(shè)計(jì)控制器的有效性.
4 結(jié)論
本文設(shè)計(jì)控制器的控制對(duì)象為板球系統(tǒng)，主要是定義了新的趨近參數(shù)，同時(shí)用冪次函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，在此基礎(chǔ)上引入了滑動(dòng)區(qū)域的滑?？刂品椒? 此控制器旨在利用新定義的趨近參數(shù)來(lái)加快系統(tǒng)響應(yīng)的速度，且能在系統(tǒng)到達(dá)切面時(shí)具有較小的切換增益；同時(shí)，運(yùn)用冪次函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)，削弱符號(hào)開關(guān)函數(shù)引起的抖振；在此基礎(chǔ)上引入了滑動(dòng)區(qū)域，讓運(yùn)動(dòng)點(diǎn)受輔助切換面和設(shè)計(jì)切換面共同作用，進(jìn)一步削弱系統(tǒng)的抖振. 通過仿真對(duì)比分析驗(yàn)證了方法的可行性及輸出的穩(wěn)定性. 結(jié)果表明，相比于飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)的平滑滑?？刂破骷癛BF 自適應(yīng)魯棒控制器，本文所設(shè)計(jì)的控制器加快了板球系統(tǒng)的跟蹤速度，提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)及穩(wěn)態(tài)精度，還能有效地削弱系統(tǒng)所產(chǎn)生的抖振，證明了控制策略的有效性. 下一步的工作是針對(duì)x、y軸之間的耦合問題開展進(jìn)一步的研究.
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李江峰，向鳳紅
(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500)
板球系統(tǒng)作為一個(gè)典型的多變量、強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)結(jié)果的直觀性及模型的簡(jiǎn)易性，常用它來(lái)驗(yàn)證各種控制算法的性能. 針對(duì)板球系統(tǒng)的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)及軌跡跟蹤問題，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者做了大量的研究. Ali 等[1]運(yùn)用侵入性雜草優(yōu)化算法優(yōu)化參數(shù)，設(shè)計(jì)了板球系統(tǒng)的最優(yōu)非線性模型參考控制器. Bang 等[2]通過提高計(jì)算效率和應(yīng)用球板系統(tǒng)的地址來(lái)提高跟蹤性能，從而在微控制器上運(yùn)行，最終實(shí)現(xiàn)了嵌入式模型預(yù)測(cè)控制，增強(qiáng)了板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤性能. 王紅睿等[3]在板球系統(tǒng)小球質(zhì)量、半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量未知的條件下，提出了非線性自適應(yīng)控制，結(jié)合Lyapunov 穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了非線性自適應(yīng)位置控制器，進(jìn)而提高了板球系統(tǒng)的控制精度. 高多[4]將伺服補(bǔ)償、動(dòng)態(tài)輸出反饋以及二次型調(diào)節(jié)等控制理論相結(jié)合，設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)零靜差跟蹤，且控制器具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì).
滑模變結(jié)構(gòu)控制其本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制，能使系統(tǒng)按照預(yù)定的“滑動(dòng)模態(tài)”狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng). 滑?？刂凭哂许憫?yīng)快、對(duì)參數(shù)干擾不靈敏、不用系統(tǒng)在線識(shí)別、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，能使系統(tǒng)具有良好的魯棒性和控制精度. 然而，由于開關(guān)時(shí)間和空間的滯后、系統(tǒng)慣性等影響會(huì)引起系統(tǒng)抖振，這個(gè)問題成為了滑?？刂频耐怀稣系K. 高為炳[5]以指數(shù)趨近律s˙=-εsgn(s)-κs為例，調(diào)整參數(shù) ε 和 κ，使得系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)的到達(dá)過程具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，同時(shí)控制信號(hào)的抖振幅值也得以削弱，但系統(tǒng)會(huì)一直抖振最終無(wú)法收斂為零. 文獻(xiàn)[6]提出了板球系統(tǒng)的反步滑模自適應(yīng)控制，有效地減小了系統(tǒng)的控制誤差，但是卻忽略了系統(tǒng)所存在的摩擦等非線性因素，具有一定的局限性. 文獻(xiàn)[7-8]提出了擾動(dòng)觀測(cè)的滑?？刂疲苡行Ы鉀Q系統(tǒng)中存在非線性和激勵(lì)不足的軌跡跟蹤問題，但抖振抑制效果不夠明顯. 文獻(xiàn)[9-11]為了提高系統(tǒng)性能，提出了級(jí)聯(lián)分?jǐn)?shù)階控制器，但整體控制性能提升不顯著. 文獻(xiàn)[12]將滑模控制與監(jiān)督模糊控制的方法結(jié)合起來(lái)，提高了小球球定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確性，但在軌跡跟蹤控制時(shí)性能表現(xiàn)不佳.
為了使板球系統(tǒng)的滑?？刂颇軌蚩焖龠M(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)階段，本文定義了新的趨近參數(shù)，設(shè)計(jì)了用冪次函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)的新型冪趨近律（Novel Power Reaching Law，NPRL）滑?？刂破? 此控制器通過改變趨近參數(shù)調(diào)整趨近速度，同時(shí)冪次趨近律能夠一定程度上抑制抖振. 但當(dāng)冪趨近律的趨近參數(shù)過大使趨近速度加快的同時(shí)，系統(tǒng)會(huì)在滑模面產(chǎn)生高頻振蕩. 為此，本文通過在設(shè)計(jì)切換面的基礎(chǔ)上定義了兩條輔助切換面，引入了滑動(dòng)區(qū)域法. 此方法能使系統(tǒng)在滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)做低頻振動(dòng)，從而代替普通滑?？刂圃谠O(shè)計(jì)切換面上的高頻振蕩，最終系統(tǒng)穩(wěn)定收斂到原點(diǎn)位置，以達(dá)到抑制并削弱抖振的目的. 設(shè)計(jì)的控制器既提高了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，又削弱了快速性所引起的高頻抖振問題. 通過與飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)的平滑滑?？刂品桨竅13]、徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒控制方案[14]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了此控制策略的有效性.
1 板球系統(tǒng)的控制原理及系統(tǒng)模型
1.1 板球系統(tǒng)的控制原理選取深圳固高公司研發(fā)的GPB2001 板球系統(tǒng)來(lái)作為本文的實(shí)驗(yàn)研究平臺(tái). 板球系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)主要由兩個(gè)伺服電機(jī)、小球、球盤、連桿系統(tǒng)、控制器、攝像頭和直流電流源組成，實(shí)物模型如圖1 所示.
圖1 板球系統(tǒng)實(shí)物模型Fig. 1 Physical model of ball and plate system
系統(tǒng)啟動(dòng)后平板上方的攝像頭采集到小球的實(shí)際位置信息，控制器再將實(shí)際位置與目標(biāo)位置的偏差轉(zhuǎn)換成控制量，進(jìn)而控制兩個(gè)伺服電機(jī)拉動(dòng)連接桿，連接桿帶動(dòng)平板運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)平板傾角的控制，以完成小球在平板上定點(diǎn)鎮(zhèn)定或者軌跡跟蹤.
1.2 板球系統(tǒng)的系統(tǒng)建模由于板球系統(tǒng)是一個(gè)典型非線性系統(tǒng)，難以建立一個(gè)精確的數(shù)學(xué)模型，因此本文將模型進(jìn)行簡(jiǎn)化和線性化處理，忽略某些因素，建模過程中作出以下假設(shè)：①不計(jì)小球與平板間的所有摩擦；②小球在平板上的所有運(yùn)動(dòng)均為接觸式滾動(dòng)；③忽略平板的傾角和角速度；④球盤無(wú)限大.
在平板上建立坐標(biāo)系，選取平板的中心點(diǎn)處作為原點(diǎn) (0,0)， 平板的x軸方向傾斜角度為 α，y軸方向的傾斜角度為 β，板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析如圖2、3 所示[15].
圖2 板球系統(tǒng)的 x 軸物理模型Fig. 2 x-axis physical model of ball and plate system
圖3 板球系統(tǒng)的 y 軸物理模型Fig. 3 y-axis physical model of ball and plate system
本文采用拉格朗日方程建立板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型. 板球系統(tǒng)微分方程組[16]如下:
式中的各個(gè)變量參數(shù)及其意義說(shuō)明如表1 所示.
表1 微分方程組中各變量意義及單位Tab. 1 The meaning and unit of variables of the system of differential equations
實(shí)際情況下，伺服電機(jī)位置固定，平板傾角只需變化很小即可控制小球，故為簡(jiǎn)化系統(tǒng)可以忽略平板在x、y方向的轉(zhuǎn)矩，即
小球處于穩(wěn)定的狀態(tài)時(shí)，平板處于水平狀態(tài)，此時(shí)平板傾角 α 和 β 為0，控制小球時(shí)平板的傾角變化范圍也很小. 因此，傾角的正弦值可以近似為傾角本身，平板的角速度也近似為0，即
本文選取平板的傾角 α 和 β 來(lái)作為系統(tǒng)的輸入量ux和uy，小球所對(duì)應(yīng)位置坐標(biāo) (x,y) 和小球速度x˙、y˙ 分別作系統(tǒng)的狀態(tài)x1、x2、x3和x4，最終得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為
由于板球系統(tǒng)的兩個(gè)伺服電機(jī)分別控制平板的x軸、y軸兩個(gè)方向，且驅(qū)動(dòng)兩個(gè)方向解耦關(guān)系是相同的，故將系統(tǒng)分解成分別關(guān)于x軸和y軸的兩個(gè)子系統(tǒng)，對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)控制器. 關(guān)于x軸和y軸的兩個(gè)子系統(tǒng)有著相同的模型，故在本文設(shè)計(jì)分析x軸的子系統(tǒng)同樣也能在y軸子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn).
2 引入滑動(dòng)區(qū)域法的新型冪趨近滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
滑?？刂剖且环N特殊的非線性控制，它的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)會(huì)隨時(shí)間變化，其突出特點(diǎn)就是在滿足一定的條件下系統(tǒng)能沿預(yù)定軌跡運(yùn)動(dòng). 滑?？刂凭哂辛己玫膭?dòng)態(tài)性能，在實(shí)際工程中運(yùn)用較為廣泛，因此也受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視. 但是滑?？刂拼嬖谥鵁o(wú)法完全消除抖振的問題，為了加快系統(tǒng)響應(yīng)速度且解決滑模控制板球系統(tǒng)在切換面附近存在的高頻振動(dòng)問題，設(shè)計(jì)了引入滑動(dòng)區(qū)域法的新型冪次趨近律滑模控制器.
2.1 板球系統(tǒng)的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)滑?？刂葡到y(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程分為趨近運(yùn)動(dòng)過程和滑動(dòng)模態(tài)兩個(gè)階段，故可將滑?？刂坡蓇t(x,t) （ 文中簡(jiǎn)記為ut）分為切換控制un(x,t)（ 文中簡(jiǎn)記為un） 和等效控制ueq(x,t)（文中簡(jiǎn)記為ueq）.
板球系統(tǒng)x軸子系統(tǒng)為二階非線性單輸入單輸出系統(tǒng)，且在建模時(shí)忽略了摩擦以及不確定性時(shí)變干擾等因素，故引入不確定項(xiàng)kx(t)，則有
2.2 引入滑動(dòng)區(qū)域法的滑模等效控制在原設(shè)計(jì)切換面的基礎(chǔ)上引入輔助切換面概念，由輔助切換面所圍成的區(qū)域定義為滑動(dòng)區(qū)域. 以二維狀態(tài)空間為例，由誤差及誤差率構(gòu)成的相平面如圖4 所示[17]. 其中，s為原設(shè)計(jì)切換面，s1、s2為輔助切換面，且
圖4 滑動(dòng)區(qū)域二維模型Fig. 4 Two-dimensional model of sliding region
其中，a1和a2為大于零的參數(shù).
當(dāng)系統(tǒng)結(jié)束了趨近階段進(jìn)入到滑動(dòng)區(qū)域后，系統(tǒng)的等效控制將由輔助切換面及設(shè)計(jì)切換面同時(shí)發(fā)揮作用，以達(dá)到削弱高頻抖振的目的，使得控制系統(tǒng)得到優(yōu)化. 同時(shí)，必須滿足趨近運(yùn)動(dòng)階段與滑動(dòng)模態(tài)之間是連續(xù)的，并且當(dāng)系統(tǒng)處于設(shè)計(jì)切換面時(shí)，輔助切換面不起作用.
當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)區(qū)域并處于s1與s之間的點(diǎn)A(e,e˙) 時(shí)，過A作 垂 直e軸 的 直 線 與s1相 交 于C(e1,e˙1)， 與s相交于B(e0,e˙0). 同理，當(dāng)系統(tǒng)位于s與s2之間時(shí)則有D(e2,e˙2).
此時(shí)等效控制為
本文控制器輸出的目的是為了讓系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)階段既不單純地在設(shè)計(jì)切換面上運(yùn)動(dòng)，也不在輔助切換面上運(yùn)動(dòng)，從而避免了滑?？刂茙?lái)的抖振. 通過設(shè)計(jì)切換面和輔助切換面對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的控制差調(diào)整板球系統(tǒng)的滑模控制器. 當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)距離s較近點(diǎn)時(shí)，式（15）的分子增大分母減小，式（14）由s求得的控制量在總的控制量中占比較少，從而避免了系統(tǒng)在設(shè)計(jì)切換面附近可能會(huì)產(chǎn)生的系統(tǒng)狀態(tài)抖振. 當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)距離s1較近時(shí)，式（15）的分子減小分母增大，式（14）由s所求得的控制量在總的控制量中占比多，又將系統(tǒng)拉離s1，使系統(tǒng)始終在滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)且不長(zhǎng)時(shí)間停留在設(shè)計(jì)切換面上運(yùn)動(dòng).當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到s與s2之間時(shí)，原理同上. 隨著s1與s2最終收斂到相平面原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也將在滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)逐步收斂. 通過調(diào)整i值的大小優(yōu)化控制器的控制輸出品質(zhì).
2.3 新型冪趨近律當(dāng)系統(tǒng)在未進(jìn)入滑區(qū)時(shí)，只考慮設(shè)計(jì)切換面s的存在，輔助切換面s1和s2不起作用，此時(shí)控制器與普通滑?？刂破飨嗤?，直到系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)區(qū)域?yàn)橹? 此過程為趨近運(yùn)動(dòng).
因符號(hào)開關(guān)函數(shù)的存在，滑?？刂撇豢杀苊獾貢?huì)在切換面附近產(chǎn)生抖振，但變結(jié)構(gòu)是由開關(guān)函數(shù)所定義的，去除開關(guān)函數(shù)系統(tǒng)會(huì)失去魯棒性[18]. 此外，趨近參數(shù)（切換增益）也是引起抖振的重要原因. 因此本文設(shè)計(jì)了新的趨近參數(shù)，同時(shí)用冪次函數(shù)代替符號(hào)開關(guān)函數(shù)的NPRL 方案.
相較于傳統(tǒng)的符號(hào)函數(shù)和飽和函數(shù)，新型冪次函數(shù)的趨近參數(shù)具有較好的自適應(yīng)調(diào)節(jié)效果. 當(dāng)s較大（遠(yuǎn)離切換面）時(shí)趨近參數(shù)也增大，從而有更快的趨近速度；s較小（靠近切換面）時(shí)趨近速度也相應(yīng)減??；當(dāng)s為0（到達(dá)切換面）時(shí)，趨近速度為0，保證了切換增益隨著運(yùn)動(dòng)點(diǎn)變化而變化，以達(dá)到加快趨近速度且降低抖振的效果. 同時(shí)，在穿越切換面時(shí)冪次函數(shù)的開關(guān)函數(shù)過渡曲線連續(xù)光滑，可有效降低滑?？刂浦械亩墩? 新型冪次函數(shù)、符號(hào)函數(shù)和飽和函數(shù)如圖5 所示.
圖5 開關(guān)函數(shù)Fig. 5 Switching function
新型冪趨近律表達(dá)式為
2.4 穩(wěn)定性分析當(dāng)系統(tǒng)未到達(dá)滑動(dòng)區(qū)域而處于趨近模態(tài)的過程中，為了保證系統(tǒng)能夠進(jìn)入到滑動(dòng)區(qū)域并且保持系統(tǒng)穩(wěn)定，建立了Lyapunov 函數(shù)
顯然（20）及（21）式均負(fù)定，因此系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定. 系統(tǒng)將存在s0、s1和s23 個(gè)平衡點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入到滑動(dòng)區(qū)域后將最終收斂于原點(diǎn). 當(dāng)系統(tǒng)位于輔助切換面上時(shí)，因設(shè)計(jì)切換面控制輸出起主要作用，會(huì)將系統(tǒng)拉到設(shè)計(jì)切換面附近，但由式（14）可知，系統(tǒng)位于設(shè)計(jì)切換面上時(shí)，輔助切換面卻不發(fā)揮作用，但實(shí)際的滑?？刂破鞑粫?huì)讓系統(tǒng)始終位于設(shè)計(jì)切換面上，因此系統(tǒng)會(huì)在滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)做低頻的振蕩，以達(dá)到減弱抖振的效果.
3 仿真結(jié)果和分析
為了驗(yàn)證在NPRL 基礎(chǔ)上引入滑動(dòng)區(qū)域的板球系統(tǒng)滑模控制的軌跡跟蹤精度和動(dòng)態(tài)性能，設(shè)計(jì)了板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤模型，通過與飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)的平滑滑?？刂?、RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒滑?？刂破鬟M(jìn)行仿真對(duì)比，分別對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了軌跡跟蹤及誤差跟蹤，同時(shí)對(duì)控制輸出也進(jìn)行了仿真對(duì)比. 跟蹤的預(yù)設(shè)曲線為心形曲線，表達(dá)式如（22）式，參數(shù)變量取值如表2，單位參照表1.
表2 變量參數(shù)值Tab. 2 Parameter values of variables
為了驗(yàn)證受到外界干擾下設(shè)計(jì)控制器的性能，引入了干擾函數(shù)如下所示：
經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比，3 種控制器輸出如圖6～8所示. 由此可得，僅用飽和函數(shù)替換符號(hào)開關(guān)函數(shù)的平滑滑?？刂破鬏敵霎a(chǎn)生了高頻、幅值為1.5 左右的振蕩，且振蕩一直持續(xù)，易引起模型的攝動(dòng)；RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒滑?？刂破鬏敵鼍哂休^低的抖振頻率，但平穩(wěn)后振蕩的幅值在-2～1，且開始輸出具有-3.5～5.9 的高幅突變；引入滑動(dòng)區(qū)域法的NPRL 控制器輸出僅在開始有輕微的抖振，隨后能保持低頻低幅值抖振穩(wěn)定輸出，說(shuō)明所設(shè)計(jì)控制器對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度均有保證.
圖6 平滑滑?？刂破鬏敵鯢ig. 6 Output of smooth sliding mode controller
圖7 RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒控制器輸出Fig. 7 Output of adaptive robust controller based on RBF network
圖8 滑動(dòng)區(qū)域法新型冪趨近律控制器輸出Fig. 8 Output of novel power reaching law controller based on sliding region method
圖9～12 分別為板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤及誤差跟蹤對(duì)比. 在同等的輸入條件下本文方案控制的小球在0.176 s 左右就能跟蹤到預(yù)定軌跡，而使用平滑滑?？刂圃?.330 s 左右跟蹤到預(yù)定軌跡，RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒控制的軌跡跟蹤用了0.450 s，通過軌跡跟蹤對(duì)比顯示出所設(shè)計(jì)控制器的快速性.
圖9 x 軸軌跡跟蹤曲線對(duì)比Fig. 9 Comparison of x-axis trajectory tracking curves
圖10 y 軸軌跡跟蹤曲線對(duì)比Fig. 10 Comparison of y-axis trajectory tracking curves
圖11 板球系統(tǒng)軌跡跟蹤曲線對(duì)比Fig. 11 Comparison of trajectory tracking curves of ball and plate system
圖12 x 軸誤差跟蹤對(duì)比Fig. 12 Comparison of x-axis error tracking
由圖12，本文設(shè)計(jì)的控制器使小球跟蹤誤差快速衰減. 當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定輸出后，誤差在(-0.46 ～0.23)×10-4m 時(shí)，誤差曲線較為平滑；平滑滑?？刂菩∏虻恼`差在 ( -0.25 ～0.91)×10-4m 時(shí)，誤差曲線存在高頻的振蕩；RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)魯棒控制小球的誤差值較大，在零誤差線上下進(jìn)行高幅值的來(lái)回波動(dòng).
通過控制器仿真對(duì)比可得，定義的新型趨近參數(shù)能夠使系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能，冪趨近律及滑動(dòng)區(qū)域法同時(shí)作用削弱了系統(tǒng)產(chǎn)生的高頻抖振，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，從而驗(yàn)證了設(shè)計(jì)控制器的有效性.
4 結(jié)論
本文設(shè)計(jì)控制器的控制對(duì)象為板球系統(tǒng)，主要是定義了新的趨近參數(shù)，同時(shí)用冪次函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，在此基礎(chǔ)上引入了滑動(dòng)區(qū)域的滑?？刂品椒? 此控制器旨在利用新定義的趨近參數(shù)來(lái)加快系統(tǒng)響應(yīng)的速度，且能在系統(tǒng)到達(dá)切面時(shí)具有較小的切換增益；同時(shí)，運(yùn)用冪次函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)，削弱符號(hào)開關(guān)函數(shù)引起的抖振；在此基礎(chǔ)上引入了滑動(dòng)區(qū)域，讓運(yùn)動(dòng)點(diǎn)受輔助切換面和設(shè)計(jì)切換面共同作用，進(jìn)一步削弱系統(tǒng)的抖振. 通過仿真對(duì)比分析驗(yàn)證了方法的可行性及輸出的穩(wěn)定性. 結(jié)果表明，相比于飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)的平滑滑?？刂破骷癛BF 自適應(yīng)魯棒控制器，本文所設(shè)計(jì)的控制器加快了板球系統(tǒng)的跟蹤速度，提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)及穩(wěn)態(tài)精度，還能有效地削弱系統(tǒng)所產(chǎn)生的抖振，證明了控制策略的有效性. 下一步的工作是針對(duì)x、y軸之間的耦合問題開展進(jìn)一步的研究.
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