余瀚 孔令軍 王志偉 李琦

摘要：《離散數(shù)學(xué)》是計(jì)算機(jī)相關(guān)學(xué)科的核心基礎(chǔ)課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、抽象思維能力和理論結(jié)合實(shí)際的能力等有著不可或缺的作用。針對(duì)智能應(yīng)用日益增長(zhǎng)的需求，立足于國(guó)際工程教育改革發(fā)展前沿，該文用實(shí)例探討離散數(shù)學(xué)和人工智能時(shí)代相關(guān)應(yīng)用之間的緊密聯(lián)系。通過(guò)教學(xué)改革，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)理論課程的興趣，以解決問(wèn)題為導(dǎo)向提高學(xué)生的動(dòng)手能力，客觀提升教學(xué)雙方的參與度，強(qiáng)化相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用能力。在大數(shù)據(jù)和深度學(xué)習(xí)日益飛速發(fā)展的今天，強(qiáng)化面向智能應(yīng)用的離散數(shù)學(xué)教學(xué)，可以更好地構(gòu)建具有中國(guó)特色的計(jì)算機(jī)專業(yè)人才培養(yǎng)模式。

關(guān)鍵詞：大學(xué)教育;離散數(shù)學(xué);智能應(yīng)用;實(shí)踐教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）31-0235-02

目前，我國(guó)大學(xué)的教學(xué)科研處在“十四五”開(kāi)局和“二零三五遠(yuǎn)景規(guī)劃”的關(guān)鍵時(shí)期，國(guó)家最近出臺(tái)的相關(guān)教學(xué)指導(dǎo)方案對(duì)高校的教育工作有十分重要的指導(dǎo)作用。離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，在整個(gè)計(jì)算機(jī)教育環(huán)節(jié)中有著承上啟下、承前啟后的作用[1]。在當(dāng)今智能化無(wú)處不在的時(shí)代，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)和訓(xùn)練將為我國(guó)的計(jì)算機(jī)人才打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)理基礎(chǔ)[2-3]，教學(xué)質(zhì)量的好壞將直接影響后繼課程的學(xué)習(xí)效果，如：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫(kù)、最優(yōu)化理論與算法、信息論與編碼、大數(shù)據(jù)與機(jī)器學(xué)習(xí)、并行計(jì)算等。因此，從第三次信息技術(shù)革命的角度上看，離散數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升，將在戰(zhàn)略上對(duì)我國(guó)此輪技術(shù)革命的成功有積極影響。本文將從實(shí)例角度出發(fā)，探討離散數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和人工智能時(shí)代相關(guān)應(yīng)用之間的緊密聯(lián)系。

1 面向智能應(yīng)用的核心教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)

在機(jī)器學(xué)習(xí)[4]深入生活的今天，面向應(yīng)用的理念是當(dāng)今智能時(shí)代一個(gè)不可避免的主題，幾乎所有的工科教學(xué)或科研都會(huì)涉及人工智能的話題，而計(jì)算機(jī)專業(yè)正是這個(gè)最迅猛發(fā)展的領(lǐng)域排頭兵。因此，面向智能化應(yīng)用的離散數(shù)學(xué)教學(xué)[5-6]勢(shì)在必行，也符合開(kāi)設(shè)離散數(shù)學(xué)課程的計(jì)算機(jī)教育的初衷。從筆者約七年的離散數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷上看， 將應(yīng)用實(shí)例提煉出來(lái)，從而對(duì)核心章節(jié)的教學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，是離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革的第一步。所以，我們?cè)谠O(shè)計(jì)教案的時(shí)候，將離散數(shù)學(xué)最核心的部分知識(shí)點(diǎn)及其相關(guān)的應(yīng)用實(shí)例列出，如表1所示。

以核心知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)構(gòu)建智能應(yīng)用實(shí)例的出發(fā)點(diǎn)是面向大工程時(shí)代需要，對(duì)于正在或已經(jīng)畢業(yè)的若干屆學(xué)生，我們分析得出有必要開(kāi)展教學(xué)內(nèi)容改革的幾點(diǎn)原因：

（1）本科生在四年學(xué)習(xí)中，往往感覺(jué)實(shí)踐偏少。究其根本原因，在于計(jì)算機(jī)教育的考試和考查形式相對(duì)單一。如果說(shuō)閉卷考試能在客觀上督促學(xué)生學(xué)習(xí)的話，那么考查性的上機(jī)實(shí)驗(yàn)多半只能讓學(xué)生運(yùn)行一下現(xiàn)成的軟件，而現(xiàn)在的資訊時(shí)代，學(xué)生反而變得惰性較大，不愿意一行一行讀寫代碼，甚至系統(tǒng)學(xué)習(xí)某個(gè)應(yīng)用軟件的能力也有所下降。假如以應(yīng)用問(wèn)題為導(dǎo)向，則可以解決這樣的問(wèn)題，這可以調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考的能力和培養(yǎng)他們的實(shí)踐能力，教師只需要拋磚引玉相關(guān)知識(shí)即可。

（2）本科學(xué)生常感覺(jué)理論知識(shí)點(diǎn)的掌握不夠扎實(shí)。原因在于沒(méi)有針對(duì)性的實(shí)踐，由于離散數(shù)學(xué)概念化的特殊符號(hào)眾多，并且描述對(duì)象比較抽象，給學(xué)生較為清晰地講述每個(gè)符號(hào)傳遞的基本事實(shí)和原理是比較困難的工作。而面向工程應(yīng)用的實(shí)例則可以彌補(bǔ)和改進(jìn)這方面的不足，以歐拉圖和哈密爾頓圖為例，我們可以用機(jī)械硬盤的尋道設(shè)計(jì)問(wèn)題、快遞路線設(shè)計(jì)問(wèn)題、旅游問(wèn)題等為應(yīng)用對(duì)象，給學(xué)生講述清楚用這些工具抽象化具體應(yīng)用的原因，讓學(xué)生不僅了解，并且自己設(shè)計(jì)出相應(yīng)的軟件。只有通過(guò)軟件設(shè)計(jì)、程序調(diào)試中的試錯(cuò)、具體的模塊編寫等實(shí)踐，才能讓學(xué)生從頂層到細(xì)節(jié)上對(duì)所學(xué)知識(shí)都能較好得掌握。

（3）學(xué)生的工程應(yīng)用和團(tuán)隊(duì)配合等綜合素質(zhì)缺乏。對(duì)于一個(gè)具體的工程問(wèn)題，需要多名學(xué)生配合完成，而一般的理論課是無(wú)法達(dá)到這種目的，實(shí)踐課往往也流于形式，和理論脫節(jié)較大，所以開(kāi)展面向應(yīng)用的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革很有必要。一般來(lái)說(shuō)，團(tuán)隊(duì)中的各個(gè)成員從上游建模到下游實(shí)現(xiàn)都要照顧到，這就牽涉到各個(gè)方面協(xié)調(diào)的問(wèn)題，只有在實(shí)踐磨合中，這種綜合素質(zhì)才能得到鍛煉。因?yàn)槔碚摵苊篮玫乾F(xiàn)實(shí)不允許，或?qū)嶋H工具強(qiáng)大但需要更強(qiáng)理論支撐的例子很多，所以往往實(shí)踐中的成果是各方妥協(xié)的產(chǎn)物。

（4）用人單位對(duì)于學(xué)生動(dòng)手能力要求常不滿意。在智能應(yīng)用時(shí)代，用人單位不再滿足于學(xué)生的動(dòng)手能力，而對(duì)他們的理論知識(shí)提出了更高的要求，比如深度學(xué)習(xí)方向的基本數(shù)學(xué)工具等。而學(xué)生在校學(xué)習(xí)期間這兩方面能力往往隔離較深，所以面向工程應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)化培養(yǎng)勢(shì)在必行。在實(shí)踐過(guò)程中，往往可能所謂的“答案”并不具備理論課本上的唯一性，每個(gè)學(xué)生認(rèn)識(shí)世界的角度不一樣，所以就造成了建模的多樣性，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該鼓勵(lì)這種差異化，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的靈活性，也對(duì)后續(xù)工作中解決問(wèn)題起到比較積極的推動(dòng)作用。

需要說(shuō)明的是，以上我們列出的核心知識(shí)點(diǎn)也涵蓋了基本的離散數(shù)學(xué)基本知識(shí)點(diǎn)，如命題邏輯中的真值表、范式等內(nèi)容，一定是建立在邏輯運(yùn)算符號(hào)的基礎(chǔ)之上的，并不是說(shuō)其他知識(shí)點(diǎn)不重要。而面向核心知識(shí)的工程問(wèn)題，主要是為了更加扎實(shí)得打好運(yùn)用知識(shí)的能力，比如邏輯電路設(shè)計(jì)一定會(huì)用到命題邏輯的各方面知識(shí)，并且需要學(xué)生有較強(qiáng)的動(dòng)手能力配合才能完成，至于命題邏輯中的一些技巧性較強(qiáng)的推導(dǎo)，我們認(rèn)為教學(xué)中點(diǎn)到即可，并不一味強(qiáng)調(diào)，因其面過(guò)于狹窄，且應(yīng)用場(chǎng)景比較有限，這方面能力本科學(xué)生經(jīng)過(guò)高考已經(jīng)掌握，無(wú)需重復(fù)訓(xùn)練。

2 知識(shí)映射與建模實(shí)踐教學(xué)

選擇合適的智能應(yīng)用場(chǎng)景，對(duì)于離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用能力的訓(xùn)練至關(guān)重要。我們將每一章的核心知識(shí)點(diǎn)對(duì)照的應(yīng)用列出是為了提供一個(gè)參考，實(shí)際上離散數(shù)學(xué)有不少很有趣味性的應(yīng)用實(shí)例。教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于理論知識(shí)的掌握，經(jīng)過(guò)努力一般都能有所收獲，而最難的環(huán)節(jié)之一，是針對(duì)實(shí)際問(wèn)題抽象出能用理論工具解決的模型，所以知識(shí)映射和建模實(shí)踐是面向工程應(yīng)用教學(xué)的一大難點(diǎn)和重點(diǎn)。以下舉出幾個(gè)例子說(shuō)明上述問(wèn)題并提出相應(yīng)改進(jìn)方法。

例1：集合計(jì)數(shù)的容斥原理與機(jī)器學(xué)習(xí)的多標(biāo)記問(wèn)題。當(dāng)今人工智能中的多標(biāo)記和多視角問(wèn)題經(jīng)常涉及容斥原理[]，這也是后續(xù)基于注意力的多視角分類的關(guān)鍵點(diǎn)之一。離散數(shù)學(xué)中的容斥原理比較形象地表達(dá)了多重屬性集合元素之間的屬性相容相斥問(wèn)題，正對(duì)應(yīng)著分類問(wèn)題或者聚類問(wèn)題中的多視角分類，因?yàn)楹芏鄷r(shí)候數(shù)據(jù)屬于某一類并不意味著不屬于其他類，很自然地我們?cè)诮虒W(xué)中需要拓寬學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中的思路，而工具就在很多經(jīng)典知識(shí)點(diǎn)中。

例2：圖的矩陣計(jì)算與旅行路線設(shè)計(jì)問(wèn)題。圖的矩陣計(jì)算涉及到了連通、通路、多跳等問(wèn)題。是圖當(dāng)中比較少有但是又很典型的有關(guān)計(jì)算的問(wèn)題，常常也是考察的重點(diǎn)和難點(diǎn)。以春運(yùn)旅行路線設(shè)計(jì)問(wèn)題為應(yīng)用切入點(diǎn)，可以讓學(xué)生更為形象地進(jìn)行知識(shí)抽象和數(shù)學(xué)建模。不僅如此，實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中考慮的時(shí)間、費(fèi)用等問(wèn)題往往比書本上地知識(shí)復(fù)雜得多，而面對(duì)全國(guó)飛機(jī)和鐵路等線路的復(fù)雜性往往也不是現(xiàn)在的相關(guān)網(wǎng)站能夠提供的解決方案的，所以這類問(wèn)題不僅可以將圖論應(yīng)用到實(shí)際過(guò)程之中，也可以鍛煉學(xué)生的思維靈活性。需要注意的是，可以引導(dǎo)學(xué)生先從一個(gè)省的公路和鐵路入手，先解決局部的旅行路線設(shè)計(jì)，再在學(xué)有余力的基礎(chǔ)之上深入解決全局問(wèn)題。

例3：等價(jià)類與登錄界面設(shè)計(jì)。所謂等價(jià)類本質(zhì)上是指輸入域的某個(gè)互不相交的子集合，所有等價(jià)類的并集便是整個(gè)登錄輸入域。我們教學(xué)中設(shè)計(jì)這一有關(guān)等價(jià)類的應(yīng)用實(shí)例，其目的在于測(cè)試用例的無(wú)冗余性。首先需要?jiǎng)澐值葍r(jià)類（valid/invalid）的兩種情況：有效等價(jià)類，檢驗(yàn)程序是否實(shí)現(xiàn)了規(guī)格說(shuō)明預(yù)先規(guī)定的功能和性能;無(wú)效等價(jià)類，檢查軟件功能和性能的實(shí)現(xiàn)是否有不符合規(guī)格說(shuō)明要求的地方。然后我們給出常用的等價(jià)類劃分原則：（1）按區(qū)間劃分;（2）按數(shù)值劃分;（3）按數(shù)值集合劃分;（4）按限制條件或規(guī)則劃分;（5）細(xì)分等價(jià)類。最后，我們?cè)O(shè)計(jì)一些測(cè)試用例，如表2和3所示。綜合來(lái)看，教學(xué)中嚴(yán)格的自反、對(duì)稱、傳遞關(guān)系構(gòu)成的等價(jià)類在現(xiàn)實(shí)中有了更加靈活的表達(dá)方式，所以在實(shí)際中拓展離散數(shù)學(xué)教學(xué)更能體現(xiàn)面向智能應(yīng)用時(shí)代工科教育的宗旨。

綜上，更加精準(zhǔn)的建模和實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)，需要的師資力量強(qiáng)大，教師的課程教學(xué)經(jīng)驗(yàn)比較豐富，且有較好的科研功底，絕非易事，也需要配合當(dāng)代學(xué)生的興趣愛(ài)好和實(shí)際技能。

3 結(jié)語(yǔ)

工科計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的教學(xué)需要強(qiáng)化對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的建模和實(shí)現(xiàn)，同時(shí)也需要正確的引導(dǎo)和授課方法，兩者相輔相成，不僅可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)好離散數(shù)學(xué)這門核心基礎(chǔ)課，更為他們?cè)诤罄m(xù)的科研和工作中打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，培養(yǎng)勤于邏輯思考和動(dòng)手的能力和習(xí)慣。

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【通聯(lián)編輯：李雅琪】

收稿日期：2021-05-22

基金項(xiàng)目：中國(guó)博士后基金特別資助項(xiàng)目（2018T110531）

作者簡(jiǎn)介：余瀚（1984—），男，副教授，南京郵電大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院、軟件學(xué)院，研究方向：反問(wèn)題計(jì)算、圖像處理等。