張啟鋒 童其林 李祎

摘? ? 要：“用教材教”的理念指的是用好教材、創(chuàng)造性地使用教材，目的是因材施教，提高教育教學質量.在教學中設計符合學生認知規(guī)律的問題串，是“用教材教”理念的體現(xiàn).教師應遵循有情境、有層次、有探索的原則，必要時可對教材進行適當?shù)恼{整以創(chuàng)設真實、自然的情境，讓課堂結構清晰順暢且符合學生認知，貼近學生的最近發(fā)展區(qū)，并由淺入深地引導學生展開思維探究，使學生逐步形成數(shù)學能力.問題串可從能力層次、函數(shù)模型的多樣性、情境化、數(shù)學實驗、課后作業(yè)等多個角度進行設計.

關鍵詞：用教材教;問題串;數(shù)學建模;三角恒等變換

在設計人教A版（2019）普通高中教科書《數(shù)學》必修第一冊（以下簡稱“教材”）第五章第五節(jié)第二目“簡單的三角恒等變換”第二課時的教學時，筆者發(fā)現(xiàn)教材中的“例10”具有建立函數(shù)模型、以角為自變量、多個三角公式同時使用等特點，而學生對此理解困難.因此，筆者從“用教材教”理念出發(fā)，以問題串形式對教材內容加以整合，設計新的教學方案，讓學生的思維有爬升過程并在知識上有所拓展.

“用教材教”是指教師依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“《課程標準》”），根據(jù)自身的實踐與研究，自主地領會、把握課程與教學，把教材作為一種重要的“中介”加以利用的教學行為.其核心理念就是把教材內容當作基本抓手，當成教學設計的想法庫、教學思路的靈感源泉，以此為“圓點”，科學拓展，適度豐富教學資源.也就是說，要用好教材，創(chuàng)造性地使用教材，根據(jù)實際情況對教材內容進行必要的取舍、調整甚至創(chuàng)造，從而實現(xiàn)對教材的“二次開發(fā)”.

一、基于問題串的設計視角

教師按照《課程標準》、教學目標和學生學情，對一節(jié)課的教學內容合理地進行取舍，設計一組或多組問題，組內問題要相互關聯(lián)，組外問題要層層遞進，并將主問題貫穿于整個教學活動中.當然，問題串的設計要貼近學生的最近發(fā)展區(qū)，遵循有情境、有層次、有探索的原則.基于問題串的課堂教學，能更好地引導學生由淺入深地展開思維探究，推進學生思維的發(fā)展，幫助學生形成良好的知識結構并深刻理解知識，從而在過程與結果、知識與能力之間架起橋梁.以下筆者從五個角度，結合實際教學談談如何設計問題串.

（一）從能力層次角度設計問題

知識的增長是以能力為媒介的，而能力的發(fā)展又以知識為基礎，二者相輔相成，一定條件下，還可相互轉化.學生能力層次有差異，問題的設計也要注意層次性，遵循先易后難的原則.設計簡單問題有兩個好處：一是問題層次低，能使每一個學生都積極參與到問題解決中來，都能在問題解決中有所收獲;二是切入點多，只要學生有想法、愿動筆，問題都能解決.

本設計首先要突破的就是自變量的選擇這一關，筆者從思維量小、切入點多方面出發(fā)，設計一道以角[α]為自變量，借助角[α]表示邊AB，BC的長度，從而求出矩形的面積的例題，為教材“例10”中以角為自變量作鋪墊.“例10”有三層作用：其一，示范作用，包括解題規(guī)范、分析方法、公式的綜合應用;其二，滲透數(shù)學思想，如函數(shù)建模思想、化歸思想;其三，發(fā)揮教材的育人作用，讓學生欣賞圖形、公式、運算符號之美，經(jīng)歷思維的策略，體驗嚴苛的邏輯.

據(jù)此，筆者在設計時把“例10”與教材第228頁的“練習2”進行對調，把“練習2”作為第一個問題，把“例10”作為第二個問題，讓問題串以遞進方式呈現(xiàn).這樣，不僅有利于知識、方法的自然生成，還有利于學生能力的提高、核心素養(yǎng)的培育.

問題1? ?（即練習2）要在半徑為R的圓形場地內建一個矩形的花壇，應怎樣截取，才能使花壇的面積最大？

解析：設圓心為O，矩形[ABCD]的面積為S，[∠BAC=α（0<α<π2）]，則[AB=2Rcosα]，[BC=2Rsinα]，所以S=AB·BC[=4R2cosαsinα][=2R2sin2α].

所以，當[α]=[π4]時，花壇的面積最大，[S最大=2R2]，此時[AB=2R]，[BC=2R].

另外，此題還可假設[BC=x（0<x<2R）]，則[AB=4R2-x2]，依題意可得[S=AB·BC=]

[x4R2-x2]，[S2=x2（4R2-x2）≤][x2+4R2-x22]

[=4R4]，所以，[S最大=2R2]，此時[AB=2R]，[BC=2R].

解決此類問題有兩種思路：一是把長方形的一邊當變量，另一邊用這個變量表達出來，即可表達長方形的面積;二是引入輔助角，把長方形的兩邊都用含輔助角的三角函數(shù)表達，即可表達長方形的面積.

布魯姆的掌握學習理論認為，只要在提供恰當?shù)牟牧虾瓦M行教學的同時，給每個學生提供適度的幫助和充分的時間，幾乎所有的學生都能完成學習任務或達到規(guī)定的學習目標.

問題2? ?（即例10）在扇形OPQ（圖略）中，半徑OP=1，圓心角[∠POQ=π3]，C是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形.記[∠POC=α]，求當角[α]取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.

分析：可先建立矩形ABCD的面積S與[α]之間的函數(shù)關系[S=f（α）]，再求函數(shù)[S=f（α）]的最大值. 在此題的求解過程中，筆者把[y=asinx+bcosx]轉化為[y=a2+b2sin（x+φ）]的形式，這一過程蘊含了化歸思想（解題過程略）.

從問題1到問題2，學生經(jīng)歷了解題方法由易到難的建構過程.筆者的目的是通過問題驅動和公式之間的相互轉化，滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的思維品質.數(shù)學家波利亞說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義但不太復雜的題目，幫助學生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”

（二）從函數(shù)模型的多樣性角度設計問題

利用不同知識、選擇不同角度，函數(shù)模型的選擇也會有所不同，但要把握兩個基本原則：其一，內容要合適，比如有些函數(shù)模型只能在某類知識中使用，不能為了模型，生搬硬套;其二，方法的滲透要得當，最好是能用通法建立函數(shù)模型，也可以設計暫時無法求解的函數(shù)模型，后者在開拓解決問題的途徑方面很有價值，不能因為認識問題和解決問題的能力有限就因噎廢食，“雖不能至，心向往之”也是人類探索未知的一個動力，可以激發(fā)學生對后續(xù)學習的求知欲和興趣.把握這兩個原則設計的問題，既能鞏固所學知識，又能拓展學生思維，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng).教師設計多樣性的函數(shù)模型，可以使不同層次學生的思維得到相應的激發(fā)，讓學生在潛移默化中增長知識、提升能力，感悟數(shù)學模型思想.

問題3? ?如圖1，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角[∠POQ=π3]，[C]是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形，求矩形ABCD的最大面積.

問題3即把“例10”中的“記[∠POC=α]”這一條件去掉，設問改成“求矩形ABCD的最大面積”.去掉“記[∠POC=α]”這個條件，就突破了對學生思維的限制，學生可以自由選取符合自己能力的方法，如自變量的選取、函數(shù)模型等，盡管所得函數(shù)有一部分暫時還無法求出其最大值，但能促進學生對函數(shù)模型多樣性的理解，并能使學生感受到此題求解以角為自變量的優(yōu)越性.

思路1：與問題2解法相同，此處略.

思路2：在建立函數(shù)模型時，可設[AD=x（0<x<32）]，依題意可得[S=x（1-x2-33x）].如此，求矩形ABCD面積S的最大值，對高一學生來說雖然還比較困難，但至少多了一種自變量的選擇.

（三）從情境化角度設計問題

懷特海認為，將學科知識的學習嵌入廣泛的真實學習情境和真實社會發(fā)展情境，可以幫助學生在獲取相應的知識、技能和思維方式的同時，還能領會應用這些知識、技能和思維方式的情境化條件，由此為改變“呆滯”頑疾提供重要支撐[1].問題情境的選取應以學生熟悉的環(huán)境、身邊發(fā)生的事例為主，通過對背景材料的組織，構建起知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，從而向學生表明，在學校中所學的知識有什么樣的用處，賦予學習以實際意義.

問題4? ?某學校要修建一個矩形的觀賽場地.決定在半徑為30m，圓心角為[2π3]的扇形空地O的內部修建一矩形觀賽場地ABCD（圖略），請你確定[B]點的位置，使觀賽場地的面積最大，并求出最大面積.

分析：如圖2，設CD的中點為M，連接OM交AB于N，記∠COM=θ，[θ∈（0，π3）]，問題4轉化為問題2.

問題4中的矩形ABCD與“例10”中的矩形ABCD內接于扇形的內接方式不同，這就為問題5的提出創(chuàng)造了條件.

（四）從數(shù)學實驗角度設計問題

問題4與問題2中的矩形是以不同方式內接于扇形中的，那么，不同的內接方式，矩形面積的最大值會發(fā)生怎樣的變化？這就為數(shù)學實驗提供了機會.所謂數(shù)學實驗，是指按照數(shù)學思想發(fā)展的脈絡，創(chuàng)造問題情境，設計系列問題，引導學生自主、積極、批判地思考，然后給出驗證和理論證明，從而使學生親歷數(shù)學建構，逐步把握認識事物、發(fā)展真理的方式方法，培養(yǎng)創(chuàng)造能力和科學研究意識，提高數(shù)學素養(yǎng)的一種數(shù)學探索活動[2].讓學生動手進行數(shù)學實驗，利用一個由靜止的狀態(tài)到按某一規(guī)律運動的動態(tài)情境，通過觀察和計算，運用直觀感知與數(shù)學運算方法，得出一般規(guī)律，明確不同量之間的內在聯(lián)系，能激發(fā)學生的問題意識、求異思維和發(fā)散思維，進而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

課前，筆者預先安排學生4～6人為一組，每組準備1把扇子、1根橡皮筋、4個夾子，然后引導學生做如下3個實驗.

（1）把橡皮筋折成4段，構成一個矩形，把矩形內接到扇子上.內接方式一：把矩形一邊固定于扇形的母線OP上.內接方式二：把矩形相鄰的兩個頂點分別固定在扇形的兩條母線上，使得OA=OB.

（2）改變扇子夾角的大小.

（3）觀察內接矩形面積的大小變化.

讓學生動手實驗后，筆者再提出下面的問題.

問題5? ?在扇形OPQ中，設[OP=1]，圓心角∠POQ=θ（[0<θ≤π2]），[C]是扇形弧上的動點，矩形ABCD以兩種方式內接于扇形（圖略）.當角θ分別取[π6]，[π4]，[π3]，[π2]時，哪種內接方式可使矩形ABCD的面積更大？

（五）從課后作業(yè)角度設計問題

作業(yè)是課堂教學的延續(xù)，是教學過程中不可缺少的一部分，是使學生與教師在認識上達成共識、產(chǎn)生共鳴，并將數(shù)學知識內化為學生的個人素養(yǎng)、形成技能的有效方法.作業(yè)設計要能體現(xiàn)學生能力層次的差異性、解決問題模式的多樣性、解決方法的探索性、問題情境的熟悉性.作業(yè)可以布置3～5道題，在教師引導下供學生選擇，作業(yè)要有基本題、提高題、探索題，采用生活、生產(chǎn)和科技情境，緊扣教學內容，分層設計、多元呈現(xiàn)、開放探索，目的是鞏固所學知識、掌握主要方法、培養(yǎng)創(chuàng)新能力.比如以下設計的課后作業(yè)1是很具體的問題;課后作業(yè)2是利用兩個變量分別建立函數(shù)關系，以達到復習和鞏固之效;課后作業(yè)3通過引進變量θ，建立面積函數(shù)后，把問題轉化為求解三角函數(shù)的最值問題，通過三角恒等變換，鞏固化歸思想解決問題等.

課后作業(yè)1? ?如圖（略）所示，某交通協(xié)管員站在距L公路40米的P處測到一輛在公路L上行駛的轎車從A點到B點所用的時間為2秒，已知[∠APH=60°]，[∠BPH=30°]（[PH⊥L]），問轎車在這一段公路上是否超過80km/h的限制速度？

課后作業(yè)2? ? （改編自2008年高考江蘇卷理科第17題）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A，B，及CD的中點P處（圖略），已知AB=20km，CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A，B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm.

（1）設[∠BAO=θ（rad）]，將y表示成θ的函數(shù)關系式;

（2）設[OP=x（km）]，將y表示成θ的函數(shù)關系式.

課后作業(yè)3? ?如圖3，ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中AST是一半徑為AT=90m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在弧ST上，相鄰兩邊CQ，CR落在正方形的邊BC，CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值.

二、教學設計反思

（一）體現(xiàn)課標新理念，彰顯教材育人價值

新教材是在《課程標準》理念指導下根據(jù)數(shù)學學科特點和需要編寫的，是具有一定范圍和深度的體現(xiàn)知識和技能的指導性文本.因此，教師設計教學時，可在遵循《課程標準》原有架構的基礎上，進行適當?shù)恼{整，創(chuàng)設真實、自然的情境，讓課堂結構清晰順暢且符合學生認知，最大限度地調動學生的學習興趣，避免機械灌輸和“填鴨”.本課教學設計從學生認知特點與學情出發(fā)，把課后練習與例題進行對調，建構更加符合數(shù)學邏輯和學生心理的教學過程，利于學生理解數(shù)學知識，形成數(shù)學能力，實現(xiàn)數(shù)學學科的育人價值.

（二）一般觀念引領，通過問題串提煉思想方法

章建躍博士認為，一般觀念指的是對內容及其反映的數(shù)學思想和方法的進一步提煉和概括……對學生學會用數(shù)學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題等都具有指路明燈的作用[3].因此，在一般觀念的指導下，問題串的設計從四個角度出發(fā)，借助自變量的選取、情境的類比、函數(shù)模型的變化等，觸發(fā)繁與簡的對比，再用矩形放置位置的不同、扇形角度大小的改變、不同角的選擇等，引發(fā)學生思考，形成研究解決問題的一般思路，在變與不變中提煉出函數(shù)建模的數(shù)學思想方法.

（三）布置探索性問題，促進知識和經(jīng)驗的遷移

教材只是對知識體系中的主要知識、數(shù)學思想作了介紹，不可能面面俱到，教師需要主動挖掘知識的深度與思維的廣度，不斷拓寬學生的思維通道，探索性問題就是很好的載體.比如，問題5讓學生在獨立思考、自主探究、合作交流下，經(jīng)歷實質性思維參與過程，提升學生的素養(yǎng)，從而實現(xiàn)了數(shù)學實驗把“抽象問題具體化、隱性問題顯性化、靜態(tài)問題動態(tài)化”的功能.因此，依據(jù)教學內容恰當?shù)卦O計探索性問題，促進知識和經(jīng)驗的遷移，能激發(fā)學生的好奇心和求知欲，也是體現(xiàn)學科寬度、培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的重要途徑.

由于受到各種限制，教材不能將編寫者全部的、可能的想法與方案都呈現(xiàn)出來，通常展示的只是一種（或幾種）選擇（呈現(xiàn)方式、編排順序、內容載體等），因此，在設計教學時，教師必須考慮更多的因素與可能，從學生獲得最大發(fā)展的角度進行加工[4].“用教材教”作為一種理念，雖然沒有放之四海而皆準的模式和方法，但卻是有效教學的重要組成部分，是教師創(chuàng)造力的體現(xiàn).貫徹“用教材教”這種理念的核心，必須充分發(fā)揮教材的示范和價值引領作用，把編寫者的智慧與希冀，實實在在地落實在對學生數(shù)學能力、意識、品質、素養(yǎng)的提升上.

參考文獻：

[1]懷特海.教育的目的[M].莊蓮平，王立中，譯.上海：文匯出版社，2012：2-3.

[2]邵瀟野.數(shù)學復習課教學中問題串的設計例談[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2011（6）：14-16.

[3]林淑晶，陳佩鳳.用數(shù)學實驗解決數(shù)學問題[J].課程教育研究（學法教法研究），2016（25）：280-282.

[4]丁福珍.整體觀指導下的初中函數(shù)單元總復習實踐研究[J].數(shù)學通報，2020（4）：47-51.