福建省廈門市第二外國語學校 陳建楷

隨著課程改革的深入，課程目標、課程體系結構、課程內容的變化最終要體現在課堂上，傳統數學課堂教學經常出現如教學過程僵化，技術融合生硬，教學設計呆板等現象將逐步克服，教師不再只關注學生是否掌握比百度更多的知識，運算速度是否快如計算機，而更多關注學生是否學會了，是否會學了，而不是教師自己是否教到。那么，在課堂中教師如何進行深度教學，讓學生深度學習，以達到深度育人，個人認為，教師應研讀教材，用好教材，創(chuàng)設教材中的數學探究“實驗”情景，進行深度教與學，以學定教，讓思維發(fā)生，讓學習可見，讓學科素養(yǎng)落地課堂。

所謂數學探究實驗，是指在數學學習過程中運用有關工具(如紙張、模型、測量工具、作圖工具以及信息技術等) ,教師提出有挑戰(zhàn)性的數學探究問題，創(chuàng)設數學實驗教學情境，學生在教師的指導下，教師協助學生設計實驗方案，以學生的動手操作、動腦思維為基點，在實驗觀察、猜想、試錯、分析、歸納等思維活動中，自己發(fā)現數學的驗證或探究過程，學生以研究者的身份進行研究性學習，將知識內化于心的數學學習方式。這種學習方式能使學生體驗數學建構，逐步理解數學，發(fā)現真理，激發(fā)學生的學習興趣，調動學生探究學習的主動性，培養(yǎng)學生獨立探究、創(chuàng)造性分析問題、解決問題、獲得知識的能力。

2019年11 月，教育部發(fā)布了關于加強和改進中小學實驗教學的意見，指出，要著力提升學生的觀察能力、動手實踐能力、創(chuàng)造性思維能力和團隊合作能力。數學探究性實驗是學生通過觀察、猜想、試錯、分析、歸納等方法獲得數學知識和經驗，逐步建構和發(fā)展自己的數學認知的過程。數學探究實驗不同于物理化學等其他學科，它涉及數量關系和空間形式等材料，學生通過這些材料進行探究、觀察、猜想、討論、驗證、總結等活動與體驗，與抽象的數學知識生動相遇。本文是在教學實踐中創(chuàng)設教材中的數學探究“實驗”情景的幾點做法及思考。

一、提煉學生身邊的的數學素材，創(chuàng)設生活化的實驗探究情景

數學源于生活又高于生活，教學中，借助學生身邊的一些幾何模型，如觸手可及的筆、紙、文具盒、水杯、書桌、教室等，從具體模型中抽象出直線、平面、棱柱、圓柱、長方體等模型，創(chuàng)設生活化的實驗探究學習情境，引起學生主動探究的學習熱情，同時還能讓學生在數學知識的產生、發(fā)展的過程中真正達成對數學概念、法則、原理的概念建構和內化，讓抽象的數學概念變得具體變得更接地氣，讓課堂教學有較低的起點又能有較高立意，

案例1：8.4.2 空間點、直線、平面之間的位置關系

選自人教版普通高中數學必修第二冊《立體幾何初步》，可以讓學生自己動手制作實驗材料，創(chuàng)設空間幾何模型演繹的實驗情境。

實驗材料：筆，紙、書桌、教室。

實驗主題一：探究直線與直線的位置關系。

實驗步驟：

（1）觀察、分析：學生借助具體的模型如筆、紙、書桌、教室等，觀察直線與直線的位置關系。

（2）猜想、試誤：提出問題，空間兩條直線的位置關系有幾種？除了相交、平行，還有嗎？兩條直線既不相交也不平行是什么位置關系？

（3）動手、探究、討論：學生獨立操作或者學習小組內學生與同伴一起合作，想象一下，筆抽象為直線，桌面抽象為平面，要求學生動手操作演示直線的各種位置關系，其他同學提問或者糾正。

（4）合作、歸納，填寫實驗報告：只有兩條直線相交或平行才能放置在同一平面上，即共面直線。同樣，兩條既不相交又不平行的直線，無論它們如何改變位置，都不能放在同一平面上，學生們一起抽象出不同在任何一個平面內的兩條直線的概念，叫做異面直線。

（5）遷移與應用：引導學生共同歸納數學對象的研究路徑，先概括直線研究的問題、線索和基本方法：定義（組成元素、分類）→直線的性質（變化中的不變性、規(guī)律性，從度量關系和位置關系入手）→共面直線（平行、相交），異面直線（異面直線所成的角和距離）→直線特殊位置的研究（平行直線、垂直直線）……類似地，拓展為空間立體幾何基本研究路徑：背景→概念→判定、性質→聯系（結構）→應用。師生共同總結數學對象研究路徑使學生知道研究問題的基本套路，類比的方法，再讓學生繼續(xù)動手做第二個實驗主題：探究直線與平面的位置關系，聯結數學的結構本源。

【設計意圖】選取學生身邊的實驗素材，創(chuàng)設空間幾何模型實驗情情景，給出富有挑戰(zhàn)性的實驗主題，學生動手、猜想、試錯、探索、分析、歸納等活動與體驗，視覺展示空間中直線與直線的直觀的位置關系及變化，從位置關系和度量關系入手，讓學生感受和體驗異面直線的概念由具體到抽象的形成過程。該實驗過程利用學生現有的平面幾何知識，即聯想和結構，進行轉化，并重新建構為新的知識結構，使學生對異面直線的概念就有了更深度的學習體驗。數學概念是抽象的，但抽象概念來源于現實生活實踐，因此，在概念數學中，通常借助于感覺和想象來描述，即回歸到直觀和具體的生活實踐中，通過創(chuàng)設適合學情的實驗探究情景，利用實物模型或演示實驗，使數學的抽象回歸到具體，讓數學概念更好理解，回歸到數學的生活本源，讓學生知其然更知其所以然，觸發(fā)深度學習，滲透核心素養(yǎng)，幫助學生體驗和理解數學概念。

二、設計實地考察與測量，創(chuàng)設體驗性的實驗情景

教材是我們教好數學的根本，很多教師往往只是教教材，圍繞著教材上的內容對學生教學填鴨或者灌輸,更多地運用死記硬背等學習方式，使課堂技術大多徘徊在低階思維水平上，而高階思維不是教師教出來的,而是學生主動學習出來的。因而，讀好教材，教好教材，活用教材，比如設計實地考察與測量活動，創(chuàng)設體驗性的實驗情景，把教師灌輸、填鴨式的教學轉化為學生主動的學習，讓深度學習發(fā)生,讓批判性思維等高階思維會發(fā)生。

案例2：探究學校的橢圓形操場的跑道是不是橢圓

選自人教版普通高中數學選擇性必修第一冊《圓錐曲線的方程》的橢圓，教師可以設計與實地考察測量實驗情境，并利用幾何畫板制作教學課件，創(chuàng)設直觀、可視化的實驗情境。

實驗材料：筆，紙、尺規(guī)、幾何畫板教學課件。

實驗主題：學校的橢圓形操場的跑道是不是橢圓。

實驗步驟：

（1）觀察、猜想：學生觀察生活中的橢圓形曲線，橢圓有何形與數的性質，能否探究一下學校的橢圓形操場的跑道是不是橢圓。

（2）分析、試誤：有人說，學校的橢圓形操場的跑道看起來像橢圓型曲線，請問：這些曲線是如何曲？是不是橢圓？為什么是橢圓？如何驗證？橢圓的定義是什么？橢圓的焦點去哪兒了？橢圓的圓與扁即形狀如何數量化？能說明一下嗎？

（3）合作探究、動手實踐：學生通過探究學校的橢圓形操場的跑道究竟是不是橢圓，進行合作研究討論，制定探究方案。

（4）討論、歸納，得出實驗報告：通過學生自主合作，展開聯想與想象，有同學用直接排除法，有同學求助專業(yè)，有同學用反證法，有同學回歸定義，得出了不同方案，并進行操作，形成實驗報告。

方案一：操場兩旁有一百米跑道是直線段不是曲線，故不是橢圓。

方案二：求助他人，如體育老師或者上網查找，得出操場曲線是由兩線段和兩半圓組合，故不是橢圓。

方案三：假設橢圓形操場的跑道是橢圓，學生小組合作，利用尺規(guī)和a,b,c 之間的勾股定理，定位橢圓的焦點位置，測量后發(fā)現不滿足橢圓的定義，即曲線上的任意一點到兩定點距離相等。

（5）提升拓展：學生歸納出研究一個數學對象的基本路徑：背景（現實需要、數學發(fā)展的需要）→概念（研究對象）→要素（對象、表示、分類）→性質（要素特征、要素、相關要素之間的關系，變化規(guī)律等）→結構（相關知識的聯系）→應用

【設計意圖】通過創(chuàng)設“學校的橢圓形操場的跑道是不是橢圓”實驗問題情境，重現了橢圓的發(fā)現、驗證、證明的過程。學生通過探究橢圓形跑道曲線是不是橢圓，動手測量動腦分析，以“做”實驗為支架，通過實際操作，自主探究，小組合作，互動交流等活動，經歷了發(fā)現問題、解決問題的過程。我們關注學生經歷了什么，感受了什么，體會了什么，注重學生的活動與體驗，讓學生可個性化地自主學習，學生在觀察、操作、猜測、試誤、驗證推理、反思等過程中，逐步體會數學知識的發(fā)生、發(fā)展與應用，讓學生在多向交流、合作探究中學會學習。整個課堂大部分時間讓學生參與思考、參與討論、參與質疑，教師主要起到的是引導、點撥、釋疑的作用，學生在合作討論、交流碰撞中沉浸式學習，體驗學習數學之樂，體現了學生主體地位。同時，課堂中，學生有機會和一定的時間進行展示自我，其他學生也可找出疑難，再進行合作探究，討論釋疑，學生在課堂上敢于表達疑難以及展示如何解決困難，小組其他同學也能夠進行補充、歸納解題策略，教師加以啟發(fā)，教學過程就是理解數學知識、驗證數學結論的思維活動，課堂翻轉成學堂，課堂有思辨就有了深度，數學學習過程也變得有趣有料有效，教與學就有了深度。

三、借助幾何畫板等信息技術手段，創(chuàng)設直觀、可視化的實驗情景

隨著課堂技術的發(fā)展，中學數學的學習和教學過程中，借助易學易用的第三方軟件如幾何畫板、超級畫板、3D 數學教學平臺、GeoGebra(動態(tài)數學軟件)等學科軟件，創(chuàng)設直觀、可視化的實驗情景，除了圖文并茂地幻燈片展示，還能根據學生實際情況和具體的教學環(huán)境將難以理解的知識直觀化、可視化，讓隱性思維變得顯性化。以幾何畫板為例，其作圖方法步驟和教師在黑板上尺規(guī)作圖基本相同，能快速、準確、便捷地在屏幕上完成尺規(guī)作圖，且圖形可變大小可移動且保持幾何性質和圖形間的關系，同時，可以在圖形上輕松地測算出圖形對象的相應數值(如點的坐標、線段的長度、圓的方程、直線的方程以及函數表達式等),并能把數和形的隱性關系及其變化規(guī)律動態(tài)地顯現出來，呈現形與數的同步化和幾何圖形的動態(tài)化，更形象生動的展示數學知識的產生過程，無論在學習還是教學中都會起到事半功倍的效果，構建以學習者為中心的生態(tài)課堂，拓展學生對知識認知水平,讓學生對自己學習的知識脈絡和所處層次有更清楚的了解,讓學習深度發(fā)生。

案例3：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象及變換

選自人教版普通高中數學必修第一冊《三角函數》，函數y=Asin（ωx+φ）圖象及變換，圖像變換，如何變，如何換？若采用傳統的黑板，作圖量大，耗時耗力，因而專門設計了一節(jié)數學探究實驗。

實驗材料：幾何畫板教學課件，學生學習課件，計算機教室。

實驗步驟：

（1）分組，各組設計方案。設置恰當的實驗探究起點，由于函數y=Asin(ωx+φ)，（A>0、ω>0）受到三個參數A、ω、φ 的影響，將問題分解為各個參數對函數圖像的影響，使復雜問題簡單化。

（2）學生確立實驗探究方向，小組合作探究，教師有必要技術支持和圖像變換指導。

（3）動手操作計算機，觀察，分析參數A、ω、φ 對函數圖像的影響。

（4）小組討論、歸納形成實驗報告，小組派代表進行展示，營造濃厚的實驗探究氛圍

（5）遷移與應用，能否推廣到一般函數如y=Af(ωx+φ) 的圖像變換。

【設計意圖】：當函數圖像變換遇見幾何畫板軟件，深度的學習從遇見到預見，學生動手操作，運用計算機中幾何畫板軟件探究函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，借助其強大的作圖和分析功能，操作改變三個參數A、ω、φ 進行數學實驗，觀察各個參數對圖象的影響，獨立探究，動腦分析,小組合作，把圖形的直觀感受與已知的經驗相互轉化，培養(yǎng)學生探究和解決實際問題的能力，充分體現數學源于實踐,源于生活；充分體現“以學生發(fā)展為本”的新課標要求。在教學中，當完成函數圖像變換的學習后，教師應引導學生進行回顧，引導學生對各個函數的關系與圖象的結構進行對比分析，通過整理上述探究所得的信息，使學生全面認識與理解函數圖象的變換關系，從而升華實驗探索，學習更有深度。

創(chuàng)設教材中的數學探究“實驗”情景，以生為本，以學定教，創(chuàng)造性地使用教材而不僅僅是教教材，讓學生有機會進行實驗探究，親身體驗數學知識的形成，參與數學知識的探究活動，在猜想、試錯、探究、分析、歸納等活動與體驗中，讓思維發(fā)生，讓學生與抽象的數學知識生動相遇，達到深度的教與學，讓深度學習變得可見。